第三章 必刷小题5 导数及其应用 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心考法，融合多方法体系，构建从基础概念到综合应用的逻辑链条，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数及其应用|14题（单选8+多选3+填空3）|导数几何意义、参数分离、极值点偏移、指对放缩、双变量构造|从导数定义与计算出发，通过单调性、极值最值建立基础应用，延伸至零点问题、含参恒成立等综合问题，形成概念生成-原理推导-应用拓展的完整逻辑|

第三章　一元函数的导数及其应用 必刷小题5　导数及其应用 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考导数及其应用为数学压轴核心必考模块，考查频次拉满，题型涵盖选择填空小题与解答压轴大题，重点考查导数几何意义、切线方程、单调性极值最值、零点问题、含参恒成立与存在性问题，同时深度融合隐零点、端点效应、参数分离、极值点偏移、指对放缩、双变量构造等高频重难点，综合性与区分度极强；预测2027 年高考导数依旧稳居压轴核心地位，命题会更加侧重情境化设问、多方法融合解题，强化分类讨论、等价转化与数形结合思想，增多复合型超越函数、限定区间探究、双变量综合证明题型，弱化固化答题套路，注重考查学生逻辑推演、式子变形、估值研判与严谨书面论证的综合实战能力。 【限时训练】 （45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知函数f(x)=sin x-x，则f(x)在[0，π]上的最小值是(　　) A.1- B.0 C.-π D.- 2.函数f(x)=x+-3ln x的单调递减区间是(　　) A.(0，4) B.(0，1) C.(4，+∞) D.(1，4) 3.已知某物体在运动过程中，其位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式S(t)=sin t-2cos t+t+1，则该物体在t=时的瞬时速度为(　　) A.3 m/s B.2 m/s C. m/s D.1 m/s 4.已知曲线f(x)=x2-ln x在点A处的切线与直线x+y-2=0垂直，则点A的横坐标为(　　) A.e B.1 C. D. 5.已知函数f(x)=aex-x3在(0，+∞)上单调递增，则a的最小值为(　　) A. B. C. D.e 6.(2026·莆田模拟)已知a=1+，b=ln 3+，c=ln 4+，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 7.(2026·济宁期中)已知函数f(x)=x3-x2，过点(-1，t)可作三条曲线y=f(x)的切线，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.若ln -b0ax≥-b-1ln ebx+ln(ax)，则正实数a的取值范围为(　　) A. B.(0，e] C. D.(e，+∞) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列命题正确的是(　　) A.(cos x)'=sin x B.已知函数h(x)在R上可导，若=2，则h'(1)=2 C.已知函数f(x)=ln x-，若f'(x0)=2，则x0=1 D.设函数φ(x)的导函数为φ'(x)，且φ(x)=x3-x2φ'(1)-x，则φ'(1)=1 10.已知函数f(x)=，则下列结论正确的是(　　) A.x=e是函数f(x)定义域内的极小值点 B.f(x)的单调递减区间是(0，e) C.若f(x)=m(m∈R)有两个不等实根，则m>e D.f(x)在定义域内既无最大值又无最小值 11.(2025·衡水模拟)数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号O来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数f(x)与g(x)，若存在正常数c，同时存在常数k∈N*，对任意x>k，|f(x)|≤ c|g(x)|，则称f(x)是O(g(x))的复杂函数，则下列函数中，满足f(x)是O(g(x))的复杂函数的有(设an均为非零实数)(　　) A.f(x)=100，g(x)=ln x B.f(x)=2x2+x，g(x)=2x-3x C.f(x)=9·2-x，g(x)=3-x D.f(x)=aixi，g(x)=anxn 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=x2-2ln x+x的极值是　　　　.  13.(2026·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)，f'(x)为f(x)的导函数，f'(x)的定义域为R，f(x)满足f(x+1 012)-f(1 014-x)=4x-4，则f'(i)=　　　　　　　.  14.(2025·鹰潭模拟)若正实数a，b满足条件：ea+b=e(a+b)(e是自然对数的底数)，则ab的最大值是　　　　.  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 必刷小题5　导数及其应用 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考导数及其应用为数学压轴核心必考模块，考查频次拉满，题型涵盖选择填空小题与解答压轴大题，重点考查导数几何意义、切线方程、单调性极值最值、零点问题、含参恒成立与存在性问题，同时深度融合隐零点、端点效应、参数分离、极值点偏移、指对放缩、双变量构造等高频重难点，综合性与区分度极强；预测2027 年高考导数依旧稳居压轴核心地位，命题会更加侧重情境化设问、多方法融合解题，强化分类讨论、等价转化与数形结合思想，增多复合型超越函数、限定区间探究、双变量综合证明题型，弱化固化答题套路，注重考查学生逻辑推演、式子变形、估值研判与严谨书面论证的综合实战能力。 【限时训练】 （45分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知函数f(x)=sin x-x，则f(x)在[0，π]上的最小值是(　　) A.1- B.0 C.-π D.- 【答案】C 【解析】因为f'(x)=cos x-1≤0在区间[0，π]上恒成立，当且仅当x=0时取等号， 所以f(x)在区间[0，π]上单调递减，则f(x)在[0，π]上的最小值是f(π)=sin π-π=-π. 2.函数f(x)=x+-3ln x的单调递减区间是(　　) A.(0，4) B.(0，1) C.(4，+∞) D.(1，4) 【答案】A 【解析】易知函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=1--==， 令f'(x)<0，可得0<x<4， 因此函数f(x)的单调递减区间是(0，4). 3.已知某物体在运动过程中，其位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式S(t)=sin t-2cos t+t+1，则该物体在t=时的瞬时速度为(　　) A.3 m/s B.2 m/s C. m/s D.1 m/s 【答案】A 【解析】由题知，S'(t)=cos t+2sin t+1， 所以S'=cos +2sin +1=3， 即该物体在t=时的瞬时速度为3 m/s. 4.已知曲线f(x)=x2-ln x在点A处的切线与直线x+y-2=0垂直，则点A的横坐标为(　　) A.e B.1 C. D. 【答案】B 【解析】f(x)=x2-ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-.设A(x0，y0)， 又直线x+y-2=0的斜率为-1， 所以f'(x0)×(-1)=-1， 即f'(x0)=2x0-=1， 即2-x0-1=0，解得x0=-或x0=1. 又因为x0>0，所以x0=1. 5.已知函数f(x)=aex-x3在(0，+∞)上单调递增，则a的最小值为(　　) A. B. C. D.e 【答案】A 【解析】∵函数f(x)=aex-x3在(0，+∞)上单调递增，∴f'(x)=aex-3x2≥0， 即a≥在(0，+∞)上恒成立. 令h(x)=，x>0， 则h'(x)=，令h'(x)>0，得0<x<2， 令h'(x)<0，得x>2， ∴h(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， ∴a≥h(x)max=h(2)=，故a的最小值为. 6.(2026·莆田模拟)已知a=1+，b=ln 3+，c=ln 4+，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 【答案】C 【解析】构造函数f(x)=ln x+，其中x>0， 则f'(x)=-==>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 由a=1+=ln e+=f(e)， b=ln 3+=f(3)，c=ln 4+=f(4)， 因为4>3>e，所以f(4)>f(3)>f(e)， 所以c>b>a. 7.(2026·济宁期中)已知函数f(x)=x3-x2，过点(-1，t)可作三条曲线y=f(x)的切线，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设曲线y=f(x)在点(x0，y0)处的切线过点(-1，t)， 由f(x)=x3-x2，得f'(x)=3x2-2x， 所以f'(x0)=3-2x0， 所以曲线f(x)=x3-x2在(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(3-2x0)(x-x0)， 因为过点(-1，t)可作三条曲线y=f(x)的切线， 所以t-y0=(3-2x0)(-1-x0)有三个不同的解，即2+2-2x0+t=0有三个不同的解， 设g(x)=2x3+2x2-2x+t，则该函数有三个不同的零点，求导得g'(x)=6x2+4x-2， 令g'(x)=0，得x=或x=-1， 当x∈(-∞，-1)∪时，g'(x)>0， 当x∈时，g'(x)<0， 所以函数g(x)在上单调递减，在(-∞，-1)和上单调递增， 所以函数g(x)在x=-1和x=处分别取得极大值和极小值，要想函数g(x)有三个不同的零点， 则即解得-2<t<， 即t的取值范围是. 8.若ln -b0ax≥-b-1ln ebx+ln(ax)，则正实数a的取值范围为(　　) A. B.(0，e] C. D.(e，+∞) 【答案】B 【解析】原不等式可化为不等式ex-ax≥-x+ln(ax)，又可化为ex+x≥eln(ax)+ln(ax)， 设g(x)=ex+x，则g'(x)=ex+1>0， 即g(x)在R上单调递增， 则不等式等价于g(x)≥g(ln(ax))， 因为a>0，x>0，所以x≥ln(ax)=ln a+ln x， 则ln a≤x-ln x在(0，+∞)上恒成立， 令f(x)=x-ln x(x>0)， 则f'(x)=1-， 当0<x<1时，f'(x)<0，即f(x)单调递减； 当x>1时，f'(x)>0，即f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(1)=1，故ln a≤1，即a≤e. 又a>0，所以a的取值范围为(0，e]. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列命题正确的是(　　) A.(cos x)'=sin x B.已知函数h(x)在R上可导，若=2，则h'(1)=2 C.已知函数f(x)=ln x-，若f'(x0)=2，则x0=1 D.设函数φ(x)的导函数为φ'(x)，且φ(x)=x3-x2φ'(1)-x，则φ'(1)=1 【答案】BC 【解析】对于A，(cos x)'=-sin x，故选项A错误； 对于B，由导数定义知h'(1)==2，故选项B正确； 对于C，f(x)=ln x-，x>0， 则f'(x)=+=. 由f'(x0)=2，得=2， 即2-x0-1=(2x0+1)(x0-1)=0， 解得x0=1或x0=-(舍去)，故选项C正确； 对于D，由φ(x)=x3-x2φ'(1)-x， 得φ'(x)=x2-xφ'(1)-1， 故φ'(1)=12-φ'(1)-1=-φ'(1)， 所以φ'(1)=0，故选项D错误. 10.已知函数f(x)=，则下列结论正确的是(　　) A.x=e是函数f(x)定义域内的极小值点 B.f(x)的单调递减区间是(0，e) C.若f(x)=m(m∈R)有两个不等实根，则m>e D.f(x)在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】ACD 【解析】对于A，函数f(x)=的定义域满足解得x∈(0，1)∪(1，+∞)， f'(x)=， 当0<x<1或1<x<e时，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减； 当x>e时，f'(x)>0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递增，所以x=e是f(x)的极小值点，A正确； 对于B，f(x)的单调递减区间是(0，1)，(1，e)，故B不正确； 对于D，由A可得f(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，且f(e)==e， 作出f(x)的简易图象，可得f(x)的值域是(-∞，0)∪[e，+∞)，故D正确； 对于C，由题意可得，直线y=m与y=f(x)的图象有两个交点，则m>e，故C正确. 11.(2025·衡水模拟)数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号O来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数f(x)与g(x)，若存在正常数c，同时存在常数k∈N*，对任意x>k，|f(x)|≤ c|g(x)|，则称f(x)是O(g(x))的复杂函数，则下列函数中，满足f(x)是O(g(x))的复杂函数的有(设an均为非零实数)(　　) A.f(x)=100，g(x)=ln x B.f(x)=2x2+x，g(x)=2x-3x C.f(x)=9·2-x，g(x)=3-x D.f(x)=aixi，g(x)=anxn 【答案】ABD 【解析】对于A，存在正常数c=100，取k=3，对任意x>3，100|g(x)|=100ln x>100ln 3≥100=|f(x)|， 因此f(x)是O(g(x))的复杂函数，A符合题意； 对于B，存在正常数c=1，取k=7，对任意x>7，令h(x)=g(x)-f(x)=2x-2x2-4x， 求导得h'(x)=2xln 2-4x-4，令φ(x)=2xln 2-4x-4(x>7)， 求导得φ'(x)=2x(ln 2)2-4>·2x-4>0，函数h'(x)在(7，+∞)上单调递增， 则h'(x)>h'(7)=27ln 2-32>27×-32>0，函数h(x)在(7，+∞)上单调递增， h(x)>h(7)=27-2×72-4×7=2>0， 则g(x)>f(x)>0， 又当x>7时，|g(x)|=g(x)，|f(x)|=f(x)， 因此|f(x)|≤|g(x)|，f(x)是O(g(x))的复杂函数，B符合题意； 对于C，=9·，函数y=9·在R上单调递增，值域为(0，+∞)， 因此不存在正常数c，使得c≥成立， 而f(x)>0，g(x)>0，即不存在正常数c和常数k，使得当x>k时，|f(x)|≤c|g(x)|成立， 所以f(x)不是O(g(x))的复杂函数，C不符合题意； 对于D，存在常数c=|ai|，取k=1，对任意x>1，|f(x)|=|aixi|≤|ai|xi=xn|ai|xi-n≤|ai|·|an|xn=c|g(x)|， 因此f(x)是O(g(x))的复杂函数，D符合题意. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=x2-2ln x+x的极值是　　　　.  【答案】 【解析】f(x)=x2-2ln x+x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-+1==， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0， 则f(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 则f(x)在(1，+∞)上单调递增， 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-2ln 1+1=，无极大值. 13.(2026·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)，f'(x)为f(x)的导函数，f'(x)的定义域为R，f(x)满足f(x+1 012)-f(1 014-x)=4x-4，则f'(i)=　　　　　　　.  【答案】4 050 【解析】因为f(x+1 012)-f(1 014-x)=4x-4， 所以f'(x+1 012)+f'(1 014-x)=4， 所以y=f'(x)图象的对称中心为(1 013，2)， 又因为1+2 025=2+2 024=…=1 012+1 014=1 013×2， 所以f'(1)+f'(2 025)=f'(2)+f'(2 024)=…=f'(1 012)+f'(1 014)=f'(1 013)×2=4， 所以f'(i)=f'(1)+f'(2)+…+f'(2 025) =[f'(1)+f'(2 025)]+[f'(2)+f'(2 024)]+…+[f'(1 012)+f'(1 014)]+f'(1 013) =1 012×4+2=4 050. 14.(2025·鹰潭模拟)若正实数a，b满足条件：ea+b=e(a+b)(e是自然对数的底数)，则ab的最大值是　　　　.  【答案】 【解析】方法一　构造函数f(x)=ex，g(x)=ex， f'(x)=ex，则f'(1)=e，f(1)=e， 故f(x)在x=1处的切线方程为y-e=e(x-1)， 即y=g(x)=ex， 画出f(x)，g(x)的图象， 所以由ea+b=e(a+b)可得a+b=1，又a，b为正实数， 所以a+b=1≥2， 即ab≤， 当且仅当a=b=时取等号， 所以ab的最大值是. 方法二　令f(x)=ex-ex(x>0)， 则f'(x)=ex-e， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min=f(1)=0， 又ea+b=e(a+b)， 即ea+b-e(a+b)=0， 所以a+b=1， 所以a+b=1≥2，即ab≤， 当且仅当a=b=时等号成立， 所以ab的最大值为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $