专题02 期末复习重难点41个考点 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦期末41个重难点考点，以题载法构建代数、几何、统计知识网络，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|5考点|分母有理化、性质化简技巧|从概念（有意义条件）到运算（混合运算、化简求值）| |勾股定理|6考点|折叠问题方程法、最短路径展开法|从定理应用到实际问题（存在性、逆定理应用）| |四边形|10考点|特殊四边形判定流程、动点问题分类讨论|从平行四边形到特殊四边形（性质→判定→综合应用）| |一次函数|11考点|图像平移规律、函数与方程不等式转化|从定义到图像性质再到实际应用（存在性、面积计算）| |统计|9考点|数据描述（中位数、方差）、统计量选择|从数据整理到分析决策（图表信息获取→统计量应用）|

专题02 期末复习重难点41个考点 【新教材人教版】 【考点1 二次根式有意义的条件】.............................................................................................................. 【考点2 利用二次根式的性质化简】.......................................................................................................... 【考点3 二次根式的混合运算】.................................................................................................................. 【考点4 化简求值】...................................................................................................................................... 【考点5 比较二次根式大小】...................................................................................................................... 【考点6 勾股定理解直角三角形】.............................................................................................................. 【考点7 勾股定理与折叠问题】.................................................................................................................. 【考点8 勾股定理的实际应用】.................................................................................................................. 【考点9 最短路径问题】.............................................................................................................................. 【考点10 特殊三角形的存在性问题】........................................................................................................ 【考点11 判断能否构成直角三角形】........................................................................................................ 【考点12 勾股定理逆定理的实际应用】.................................................................................................... 【考点13 多边形内角和与外角和综合】.................................................................................................... 【考点14 添一个条件成为（特殊）平行四边形】.................................................................................... 【考点15 平行四边形的存在性问题】........................................................................................................ 【考点16 （特殊）平行四边形性质的应用】............................................................................................ 【考点17 判定能否构成（特殊）平行四边形】........................................................................................ 【考点18 （特殊）平行四边形的证明】.................................................................................................... 【考点19 三角形中位线的实际应用】........................................................................................................ 【考点20 斜中半】....................................................................................................................................... 【考点21 正方形折叠问题】....................................................................................................................... 【考点22 中点四边形】............................................................................................................................... 【考点23 （特殊）平行四边形动点问题】............................................................................................... 【考点24 四边形中的线段最值问题】....................................................................................................... 【考点25 从函数图像获取信息】............................................................................................................... 【考点26 动点问题的函数图像】............................................................................................................... 【考点27 根据一次函数的定义求参数】................................................................................................... 【考点28 判断一次函数图像】................................................................................................................... 【考点29 一次函数图像平移问题】........................................................................................................... 【考点30 求一次函数的解析式】............................................................................................................... 【考点31 比较一次函数值大小】................................................................................................................ 【考点32 一次函数的规律探究问题】........................................................................................................ 【考点33 一次函数与方程（组）、不等式（组）】.................................................................................... 【考点34 求直线围成的图形面积】............................................................................................................ 【考点35 一次函数中的存在性问题】........................................................................................................ 【考点36 实际问题与一次函数】................................................................................................................ 【考点37 平均数、中位数、众数】............................................................................................................ 【考点38 离差平方和、方差】.................................................................................................................... 【考点39 四分位数、箱线图】.................................................................................................................... 【考点40 选择合适的统计量】.................................................................................................................... 【考点41 统计综合】.................................................................................................................................... 考点1 二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数，列不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得，． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期中）使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 4．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不能为0列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解不等式得， 解不等式得， ∴等式成立的条件是． 1．（25-26八年级下·全国·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ）考点2 利用二次根式的性质化简 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 考点3 二次根式的混合运算 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别利用完全平方公式、平方差公式化简，再合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则以及二次根式的性质化简，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点4 化简求值 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先分母有理化得到，，从而计算出，，，把因式分解为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ， ∴，，， ∴ ． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 考点5 比较二次根式大小 1．（2026·陕西西安·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 4．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 考点6 勾股定理解直角三角形 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知，直角三角形的两边长分别为6和10，则斜边长可能为（   ） A．8 B． C．10或 D．10 【答案】C 【分析】本题未明确已知两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，运用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当长为的边是斜边时， ∵此时斜边就是， ∴斜边长为； 情况2：当长为的边是直角边时，长为的边也是直角边， ∵直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴斜边长； 综上，斜边长为或 选项B（ ）和选项D（10）均为斜边长的可能值，都被包含在选项C中，不符合单选题最优选项唯一性的原则． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形勾股定理，通过两个已知正方形的面积求出，再开方得到正方形的边长． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ，即正方形的边长是． 3．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 4．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 【答案】8 【分析】先利用勾股定理得到的值，再结合完全平方公式变形求出，最后根据直角三角形面积公式计算得到结果 【详解】解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 考点7 勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 2.（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 考点8 勾股定理的实际应用 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后分别根据小明和小亮的说法画出图形，利用勾股定理求解判断即可． 【详解】解：根据题意得，米，米， ∴（米） 如图，将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴（米） ∴木棍的底端向左移动0.4米，故小明正确； 如图，将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴ ∴木棍的底端向右移动米，故小亮错误． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 4．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 考点9 最短路径问题 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 4．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果． 【详解】解：分三种情况： 如图①，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图②，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图③，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是． 考点10 特殊三角形的存在性问题 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)；或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 考点11 判断能否构成直角三角形 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ）． A．，， B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4 【答案】B 【分析】判断三边能否构成直角三角形，只需验证两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可． 【详解】解：A．，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．，，即，能构成直角三角形，符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．1，2，3 C．3，4，6 D．5，6，7 【答案】A 【详解】解：选项A：最长边为， ，， ，可以构成直角三角形． 选项B：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项C：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项D：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解： A．∵，，，∴A不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵，，∴，∴B能构成直角三角形，符合题意； C．∵，，，∴C不能构成直角三角形，不符合题意； D．最大边为，∵，，，∴D不能构成直角三角形，不符合题意． 4．（25-26八年级下·北京·期中）若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（    ） A． B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，，， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 考点12 勾股定理逆定理的实际应用 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为． 【分析】连接，则为直角三角形，为斜边，通过勾股定理求，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积． 【详解】解：连接， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 答：该四边形土地的面积为． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 考点13 多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】B 【分析】多边形的外角和恒为，根据题意可得内角和，再结合多边形内角和公式，其中为边数，列方程求解即可； 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵ 任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍，且边形内角和为， ∴ 列方程得 解得 ， 因此这个多边形的边数是六． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 【答案】 【分析】任意多边形的外角和恒为，根据已知条件先求出该多边形的内角和，再利用多边形内角和公式列方程求解边数即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 【答案】D 【分析】先利用多边形外角和为定值的性质，结合题目条件求出内角和，再根据内角和公式求出多边形边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形内角和为 ， 设该多边形边数为，由多边形内角和公式可得， 解得，即该多边形为六边形， ∵从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，共有条对角线， 这样所有的对角线重复计算一次， ∴边形对角线条数公式为， 将代入得： 即该多边形对角线条数为． 考点14 添一个条件成为（特殊）平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·期末）已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】平行四边形一般有五种判定方法，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；本题根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行选择即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 若要使平行四边形成为矩形， 根据矩形的判定定理，需添加对角线相等或有一个角是直角， A. 添加，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定，A符合题意； B. 添加，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定，B不符合题意； C. 添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定，C不符合题意； D. 添加，无法判定四边形是矩形，D不符合题意． 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 考点15 平行四边形的存在性问题 1.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期中）平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 4．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 考点16 （特殊）平行四边形性质的应用 1．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点． 因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点， 所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积． 所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半． 因为平行四边形的面积是， 所以阴影部分的面积为． 2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 【答案】6 【分析】设交于点，根据矩形的性质证明，证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：设交于点， 矩形， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 考点17 判定能否构成（特殊）平行四边形 1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解∶如图， A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故A不符合题意． B．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故B不符合题意． C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意． D．， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 3．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）下列命题中，真命题的个数为（     ） ①对角线相等的四边形是矩形     ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形     ④对角线互相垂直相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各命题的真假，统计真命题的个数即可得到答案． 【详解】解：①对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形，故①是假命题； ②根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故②是真命题； ③根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③是真命题； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直相等的四边形不是正方形，故④是假命题； ∴真命题的个数为2个． 考点18 （特殊）平行四边形的证明 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：①于点于点， ， ， ， ， ； ②， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，，再由，即可得出结论； （2）先求出，由勾股定理求出，证出是的中位线得出，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       ， 即，       ，平分， ，       又， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点．       ， ， ，       ，即D是的中点． 是的中位线． ，       3．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的边的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交、于点和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，中垂线的性质，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴菱形的面积， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)证明：过点D作于点H，如图所示： ∵分别平分，且，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行求证即可； （2）过点D作于点H，根据角平分线的性质定理可得，则有，然后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 考点19 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、．为了测出之间的距离，需要步测出哪段长度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ∴， ∴为了测出之间的距离，需要步测出长度． 2．（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 4．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 【答案】C 【分析】根据中点定义可知为的中位线，由定理可知．由于固定，长度不变，故长度不变． 【详解】解：点、点分别为，的中点， 是的中位线， ， ，为固定点， 的长度不变， 拉动点至的过程中，的长度不变． 考点20 斜中半 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，结合斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断即可. 【详解】解：在中，，为的中线， ∴， ∴均为等腰三角形， 又∵， ∴也是等腰三角形， 故共有3个等腰三角形. 2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，是的中位线，，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，利用线段的和差关系计算即可 【详解】解：在 中，，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 4．（25-26八年级下·全国·期末）如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用三角形中位线的性质求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出． 【详解】解：是的中点，F是的中点， ， ， ，点D为的中点， ． 考点21 正方形折叠问题 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 考点22 中点四边形 1．（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 【答案】B 【详解】解：原矩形对角线长为，顺次连接各边中点得到新四边形，新四边形的每条边都是对应三角形中以矩形对角线为第三边的中位线， ∵三角形中位线的长度等于矩形对角线长度的，矩形对角线长度相等， ∴新四边形每条边的长度， ∴新四边形的边长为． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 【答案】 互相垂直 【分析】根据三角形中位线定理得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置关系，再结合矩形的内角特征推导原四边形对角线的关系即可. 【详解】解：设原四边形为，四边中点依次为，，，，顺次连接，，，得到四边形， 根据三角形中位线定理可得：，， 因为四边形是矩形， 所以，即， 因此， 即这个四边形的对角线互相垂直. 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 考点23 （特殊）平行四边形动点问题 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 4．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 考点24 四边形中的线段最值问题 1．（2026·广西崇左·一模）如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】由于点B与点D关于对称，连接，交于点P，那么的周长最小，此时的周长．在中，由勾股定理先计算出的长度，再得出结果． 【详解】解：如图所示,连接， 当点三点共线时,的周长最小, 即当点在处时,的周长最小. 因为为的中点, 所以在Rt中, 连接, 因为四边形是正方形, 所以垂直平分, 所以, 所以周长的最小值的周长 ． 2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小， ∵菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：. 3．（2026·山东威海·模拟预测）如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设其中，则，则的最小值转化为的最小值，进一步求解即可． 【详解】解：以点B为原点建立平面直角坐标系，如图， ∵矩形，，， ∴， 设其中，则， 所以，， ∴的最小值转化为的最小值， ∵ 表示到距离与到的距离之和， 当，，三点共线时，取得最小值，即为的长度， ， 即的最小值是． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项． 【详解】解：A选项，∵四边形是菱形，且， 是等边三角形． 是上的动点， ∴当时，最小，此时，， 故A选项不符合题意； B选项，∵四边形是菱形， ∴点关于对称， ． 如图1，连接交于点，当点与点重合时，， 此时，的值最小，过点作交的延长线于点F． ， ， ， ， ，， ，故B选项不符合题意； C选项，如图2，当是的中点时，连接，当三点共线时，的值最小． 是的中点， ， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当时，的值最小，此时，故D选项不符合题意． 【点睛】解题时，首先要分析清楚该问题属于哪一种最值题型，再去运用相关类型题目的解题方法求解． 考点25 从函数图像获取信息 1．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图，则当乙加工了这种产品320件时，甲加工了________件． 【答案】80 【分析】根据图象可以求出甲、乙的工作效率，甲的用时与乙加工320件产品所用的时间相等，再根据工作量=工作效率×工作时间，求出答案． 【详解】解：由函数图象的信息得出：甲的工作效率为：（件/分）， 乙的工作效率为：（件/分）， 依题意，（件）， ∴当乙加工了这种产品320件时，甲加工了80件． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程（单位）与行驶时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)A、B两地的路程是__________． (2)出发较早的是__________，早__________． (3)求乙在距A地多少千米处追上甲？ 【答案】(1)80 (2)甲；3 (3)乙在距A地40千米处追上甲 【分析】（1）从函数的图象可以看出路程为80千米； （2）由图象可知，甲早出发3小时； （3）先求出甲乙的速度，设甲行驶了小时乙追上甲，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：从图象上可以看出两地的路程为80千米； （2）解：出发较早的是甲，早3小时； （3）解：甲的速度为：千米/小时； 乙的速度是千米/小时； 设甲行驶了小时乙追上甲， 根据题意，， 解得：， 千米， ∴乙在距A地40千米处追上甲． 3．（25-26八年级下·北京·期中）2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； (2)在上升或下降过程中，无人机速度为____； (3)图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； (4)当第时无人机的飞行高度是_____． 【答案】(1)操控无人机的时间；5 (2)25 (3)2；15 (4)25 【分析】（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（2）中的速度代入行程公式即可得到答案； （4）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得，∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t）； 由图象可得，分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟； （2）解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， （3）解：由（2）可得， ，， 解得：，， （4）解：由（2）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 4．（25-26八年级下·全国·期末）去年是中法建交61周年，法国龙舟委员会希望借由龙舟这一中国传统体育项目，在法国推广中国的传统体育文化，加强两国民众间的体育文化交流．某甲、乙两龙舟队比赛时行驶的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，其中直线段表示甲队，折线段表示乙队，请你根据图象，回答下列问题： (1)图象中的变量是 和 ； (2)这次比赛的全程是 米， 队先到达终点； (3)甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度是 米/分钟； (4)求乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程． 【答案】(1)时间，路程 (2)，乙 (3) (4)甲队行驶的路程为米 【分析】(1) 观察图象横纵轴，确定变量为时间和路程； (2) 由纵轴最大值得全程，比较两队到达时间，判断乙队先到终点； (3) 计算乙队提速后的速度，判断相遇在提速阶段，即可得此时乙队速度； (4) 先求甲乙两队速度，根据路程相等列方程，求解后即可计算甲队行驶路程． 【详解】（1）解：观察图象，横轴为时间，纵轴为路程，故变量为时间和路程； （2）解：由图像可知，这次比赛的全程是米，乙队先到达终点； （3）解：甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度为：（米/分钟）； （4）解：甲队的速度为：（米/分钟）， 分钟后乙队的速度为：（米/分钟）， 两队相遇时，， 解得， （米）， 故乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程为米． 考点26 动点问题的函数图像 1．（2026·山东菏泽·二模）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）如图1，正方形的边长为，E为边上一点，连接，点P从点D出发，沿以的速度匀速运动到点B．图2是的面积y（单位：）随时间x（单位：）的变化而变化的图象，其中，则b的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由图象可得当时，的面积，此时点P与点E重合，由三角形的面积公式可求，可得，由勾股定理可求AE的长，即可求解． 【详解】解：由图象得：当时，的面积，此时点P与点E重合， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 【答案】4或16 【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质，正确理解函数图象，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24，当时，点P到达点C，据此建立方程组求出矩形、长，再根据这一条件，结合图象判断点P可能位于或边上，分类讨论计算对应的路程值即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 由图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24， ，即， ， 当时，点P到达点C， ， 联立， 解得：或（舍去）， 、， 分情况讨论： 当时，若点P在上时，， 则， 解得：， 若点P在上时，设， 则， 解得：， 此时， 综上所述，的值为4或16． 4．（2026·河南商丘·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图2所示，则（     ） A．37 B．36 C．17 D．16 【答案】B 【分析】由与之间的函数关系图可知点从点运动到点所用的时间为，，由平行四边形的性质，结合运动过程可得，，，结合运动过程可得点从点运动到点所用的时间为，分别过点，作的垂线于，交的延长线于，由，可得，由勾股定理得，证明，可得，，由勾股定理得，可得点从点运动到点所用的时间，即可求解． 【详解】解：由图2可知点从点运动到点所用的时间为， 点运动的速度为， ， 四边形为平行四边形，， ，，， 点从点运动到点所用的时间为， 点从点运动到点所用的时间为， ； 分别过点，作的垂线于，交的延长线于，则， 由图2知， ， 即， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， 在中，，， 由勾股定理得， 点从点运动到点所用的时间为， 点的运动时间为， ． 考点27 根据一次函数的定义求参数 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）若函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义得到，，进而可知的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：且， ∴． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，可得自变量的次数为，且一次项系数不为，据此可判断n的值． 【详解】解：根据一次函数的定义，若是关于的一次函数，需满足： 且， 因此． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 考点28 判断一次函数图像 1．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系，选定一个函数图象确定系数k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合． 【详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 考点29 一次函数图像平移问题 1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平移规律“左加右减（对x操作），上加下减（对y操作）”得到平移后的函数解析式，再结合正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为： ， 整理得 ， ∵平移后得到正比例函数的图象， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·全国·期末）将直线沿y轴向上平移2个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【分析】由平移得平移后的函数式，再把点代入即可求解． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移2个单位长度后得到， ∵经过点， ∴， 解得：． 3．（2026·陕西西安·三模）将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图像平移的“左加右减”规律，写出平移后的解析式，再对比已知平移后的解析式，列方程求解即可． 【详解】解：将原直线向左平移个单位，则平移后的解析式为：， 展开得， ∵平移后得到的直线为， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）直线可以由直线（   ）得到 A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，掌握“上加下减 左加右减”的平移法则即可求解． 【详解】解：， 直线向上平移3个单位长度可以得到直线． 考点30 求一次函数的解析式 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设， 代入和得， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点C在该一次函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入，根据计算得到的y值与的纵坐标是否相等进行判断． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 将点和点代入，得：， 解得， 故该一次函数的解析式为； （2）解：点C在该一次函数的图象上．理由如下： 将代入，得： ∵计算得到的y值与的纵坐标相等， 点C在该一次函数的图象上． 3．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y是x的一次函数，设，再运用待定系数法求解函数的解析式，即可作答． （2）结合，以及根据一次函数的函数值为，建立方程，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 由条件可得， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：由（1）知y与x之间的函数解析式为， ∵一次函数的函数值为， 即， 故， 解得． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式，并判断此时是的什么函数？ (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)5 (3) 【分析】（1）结合正比例函数得出，再代入数值计算，得，即可作答． （2）直接把代入计算，即可作答． （3）直接把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 把，代入，得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得， 当时，． （3）解：由（1）得， 当时，， ∴． 考点31 比较一次函数值大小 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）若点，都在直线上，则与的大小关系是____． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，比较与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于的一次函数的图象经过点、，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断一次函数增减性，再比较自变量大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，自变量系数， ∴随的增大而减小， 又∵点，的横坐标满足， ∴对应函数值满足． 3．（2026·广西贵港·三模）点，点是一次函数图象上两点，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数 ， ∴ 随 的增大而减小． ∵ ，且点，在该一次函数图象上， ∴ ． 4．（25-26八年级下·全国·期末）已知点和在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：中， 随x的增大而减小， ， ． 考点32 一次函数的规律探究问题 1．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 2．（2026·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意及一次函数的表达式及点，求出x轴上线段对应的规律为，及对应正方形的边长对应的规律，总结规律便可求出点的坐标，即可得出当时，点的坐标． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点， ∴，点， ∵以为边向右作正方形， ∴， ∴，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点． ∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 【点睛】解决这类规律问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 4．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 考点33 一次函数与方程（组）、不等式（组） 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 考点34 求直线围成的图形面积 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得的坐标为，点的坐标为，由可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点P是两直线的交点， ∴将点代入， 得， 解得， ∴的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：． 的解析式为：． （2）解：对于，当时，， 对于，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ∵点， ∴，， ∵， ． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 【答案】(1)点P的坐标为， (2)点M运动到时，与面积相等， 【分析】（1）先把代入，求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由与有相同的高，即．当时， 与面积相等，可求，求得，则点M运动到时， 与面积相等，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， ∴点P的坐标为． 把点分别代入中，得 ， 解得， ∴直线l1的解析式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 由（1）得点P的坐标为， ∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上， 如图， ∴在x轴上取点M，当时，与面积相等． ∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ， ∴， 即， ∴， 则点M运动到时，与面积相等． ∴． 3．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可. 【详解】（1）解：将代入，得： ， ， 将代入，得： ， 解得：． （2）解：根据函数图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为：． （3）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为，如图， ． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；直线的函数表达式为 (2) (3)存在，或 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 考点35 一次函数中的存在性问题 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求的值和直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为2，求点的坐标； ②连接，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②点M的坐标为或或或． 【分析】（1）根据与轴交于点，求出，得到，可求出，根据轴对称得到，即可求出直线的解析式为； （2）①设点，得到，，得到，根据的面积为2，得到，求出或，得到或；②根据，，，得到，根据是等腰三角形，分当时，当时，当时，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴， 令， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①设点， 则，， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得或， ∴或． ②设， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，， ∴， 解得或， ∴，； 当时，， ∴， 解得， ∴， 故点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题，分类讨论，是解本题的关键． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再设直线的解析式为，然后代入点坐标求解即可； （2）先求出，则，设，由轴，得，则，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，把代入，得 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把 代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，得， ∴， ∴， 设，由轴，得， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍） ∴． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)填空：______，点的坐标为______； (2)根据图象写出的解集； (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）将点代入直线的表达式求出的值，再联立直线与直线求出点的坐标； （2）结合图象判断解集即可； （3）先求出点和点的坐标，利用割补法求出的面积； （4）分两类讨论，当点在的左侧时，由，可得，则，求出直线的表达式，再求出点的坐标；当点在的右侧时，由勾股定理可计算出，，则，进而可得，容易证明，则，最后求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：由图象可知，在点以及点的右侧部分，直线不高于直线， ∴的解集为； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：①当点在的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 将点代入，得， ∴点的坐标为； ②当点在的右侧时，如图， 由勾股定理可得，，， 由（3）可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 考点36 实际问题与一次函数 1．（2026·山东济南·二模）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 【答案】 60 80 【分析】观察函数图象，得到快车和慢车的路程和时间，计算即可求解． 【详解】解：由图可知，A地和B地的距离为，慢车的时间为，当快车到达B地时，两车相距，即此时慢车的路程为， 慢车的速度为：； 快车的时间为：， 快车的速度为：． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在靠墙（墙长为）的地方围成一个长方形养鸡场，另三边用总长为的竹篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，另一边长为，围成的长方形面积为． (1)请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当垂直于墙的一边长为时，求围成的矩形的面积． 【答案】(1)； (2) (3)矩形的面积为 【分析】（1）根据三边竹篱笆总长为得出；根据墙长限制，得，即，即可求出自变量的取值范围； （2）根据求解即可； （3）将代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵三边竹篱笆总长为， ∴，整理得：， 根据墙长限制，得， 即， 解得：； （2）解：长方形面积， 将代入得：， 整理得：； （3）解：当时，， 即围成矩形的面积为． 3．（25-26八年级下·全国·期末）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元； (2)商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大 【分析】（1）设每台A型电脑的销售利润是t元，每台B型电脑的销售利润是n元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元，根据题意列出一次函数，再根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍求出x的范围，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润是t元，每台B型电脑的销售利润是n元， 根据题意得，， 解得， 答：每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元； （2）解：设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元， 据题意得，，即， 解得， ， 随x的增大而减小， 为正整数， ∴当时，y取最大值，则， 答：商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大． 4．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 考点37 平均数、中位数、众数 1．（2026·广东河源·一模）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试．其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲员工的听、说、读、写的各项测试成绩分别为70分，80分，90分，90分，则甲员工的最终成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．86分 D．90分 【答案】A 【详解】解：∵听、说、读、写各项成绩的比例为，总权重为， ∴甲员工的最终成绩为：分． 即甲员工最终成绩为79分． 2．（2026·浙江丽水·二模）据调查，某班名学生所穿鞋子鞋号统计如表所示，则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数是_______． 鞋号 20 21 22 23 24 频数 【答案】 【分析】找中位数需要把数据按从小到大的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数为最中间两个数的平均数，通过累计频数确定中间两个数即可求解． 【详解】解：总共有个数据， ∴数据个数为偶数， 中位数是从小到大排列后，第个和第个数据的平均数， 累计频数可得：鞋号的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 因此第个和第个数据都是， 中位数为 3．（2026·辽宁辽阳·二模）某校机器人编程团队参加全省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：， ∵这组数据共个，个数为奇数， ∴中位数为第个数，即． ∵数据中出现的次数最多（共出现次）， ∴众数为． 4．（2026·湖南邵阳·一模）小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（     ） A．162.5，163 B．163，162 C．162，162 D．163，163 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的概念，先计算总数据个数，再根据定义分别计算中位数和众数即可求解． 【详解】解：先计算总数据个数：，即共有个数据， 将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数． ，即前三个身高段累计有个数据，第个数据为，第个数据为， 中位数为， 众数是一组数据中出现次数最多的数， 身高的人数最多， 众数为． 考点38 离差平方和、方差 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 2．（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 【答案】B 【分析】根据每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 【详解】解：每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 10个数据有9个间隔，所以有9种不同的分法． 3．（2026·福建南平·一模）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（   ） A．30 B．38 C．39 D．41 【答案】A 【分析】根据方差的计算公式，分子中各项的系数为对应数据出现的频数，样本容量等于所有频数之和，将各频数相加即可得到样本容量． 【详解】解：在方差计算公式中，公式分母的为样本容量，分子中各项的系数是对应数据的频数，样本容量等于所有频数的和， 又∵本题中各频数分别为13，14，3， ∴ ，即样本容量为30． 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 考点39 四分位数、箱线图 1．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 【答案】C 【详解】解：根据箱线图可知，则该组数据的上四分位数为163． 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    (1)在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， (2)本次调查样本中数据的众数为 (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【答案】(1)28，， (2) (3)120 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值； （2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解； （3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可． 【详解】（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数： 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中， 第12、13个数据均为，故； （2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为：， 该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人． 考点40 选择合适的统计量 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）衡量一组数据波动大小的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】只需区分反映数据集中趋势和波动大小的对应统计量即可。 【详解】解：∵平均数，众数，中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，只有方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量. 2．（25-26八年级下·全国·期末）下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 【答案】C 【分析】根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：离差平方和是每个数据与该组平均数之差的平方和，它能够很好地反映一组数据的分散程度（即离散程度）． 3．（2026·上海虹口·三模）对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（     ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差 【答案】B 【分析】本题考查不同统计量的意义，该组数据存在极端值，需根据各统计量的特点判断能反映数据平均水平的量． 【详解】解：这组数据为1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，存在极端大值50. ∵ 平均数受极端值影响较大，计算得平均数为，远大于大部分数据的值，不能反映平均水平；众数为，数值过小，远小于大部分数据的值，不能反映平均水平；方差反映数据的波动程度，不能反映数据的平均水平； ∴ A、C、D不符合要求， 这组数据共10个数，中位数为排序后第5、第6个数的平均数，计算得，中位数不受极端值影响，能较好反映这组数据的平均水平． 4．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据各统计量的含义即可选出正确答案． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，一组数据中有一半数据不大于中位数，一半数据不小于中位数；平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数值，方差反映数据的波动程度，这三个统计量都无法直接判断成绩是否超过全校一半学生； ∴小明需要判断自己的成绩是否超过全校一半学生，只需将自己成绩与中位数比较即可， ∴他最应该关注的统计量是中位数． 考点41 统计综合 1．（2026年浙江省金衢十二校6月份联考九年级数学试题）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 (1)填空：_______，_______，_______； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)，， (2) (3)对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数； “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； “”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：， 则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故； （2）解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校为了解初三学生的心理健康状况，对全校所有的初三学生进行了心理健康知识测试，测试的结果用x（单位：分）表示，并随机抽取了50名学生，将他们的测试结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 6 8 14 a 7 请根据以上信息，完成下列问题． (1)________． (2)这50名学生的测试成绩的中位数落在________组． (3)已知该校初三学生共有600人，且规定测试成绩低于65分则判定测试成绩不合格，请估计全校初三学生测试成绩不合格的人数． 【答案】(1) (2)C (3)成绩不合格的人数约为人 【分析】（1）用抽取的学生总数减去其他组的人数即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）计算出样本中不合格人数的占比，再乘以全校初三学生的人数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵这50名学生的测试成绩的第25个数和第26个数都在C组， ∴中位数落在C组； （3）解：（人）． 答：全校初三学生测试成绩不合格的人数约为人． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域．某中学数学小组在某个周末随机选取100名游客进行满意度调查．调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分．数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息： 信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组． 如图是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如表： 项目统计量 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利 平均分 方差 结合以上信息解决下列问题： (1)将频数分布直方图补全； (2)据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万．请估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数； (3)请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量． 【答案】(1) (2)万人 (3)交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作．（言之有理即可） 【分析】（1）利用统计图计算出第2组和第4组的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）计算出样本中满意度分数不低于80分的人数的占比，乘以当天游客总人数即可； （3）根据各项目的平均数和方差，结合生活经验，提出建议即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，第2组占比为， ∴第2组的人数为（人）， ∴第4组的人数为（人）， 频数分布直方图略； （2）解： （万人）， 答：这8万人中满意度分数不低于80分的人数约为万人； （3）解：交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作．（言之有理即可） 4．（2026·内蒙古通辽·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)85.5，85，20 (2)乙款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下：甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，所以乙款人工智能软件比较稳定，乙款人工智能软件更受用户欢迎． (3)估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为170名 【分析】（1）中位数：将甲数据从小到大排序后取第10、11位平均数； 众数：甲出现次数最多的数； 先求乙C组占比，再算D组百分比得； （2）平均数相同，方差越小数据越稳定，据此判断； （3）算出甲、乙D组样本占比，乘对应总人数再相加． 【详解】（1）解：甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100， 一共20个数据，中位数是第10、11个数据的平均数，为（分），即； 甲款人工智能软件的所有得分数据中85出现的次数最多，则众数为85，即； 乙款人工智能软件中，C组所占的百分比为，， 即． （2）略 （3）解：（名）， 估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为170名． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习重难点41个考点 【新教材人教版】 【考点1 二次根式有意义的条件】.............................................................................................................. 【考点2 利用二次根式的性质化简】.......................................................................................................... 【考点3 二次根式的混合运算】.................................................................................................................. 【考点4 化简求值】...................................................................................................................................... 【考点5 比较二次根式大小】...................................................................................................................... 【考点6 勾股定理解直角三角形】.............................................................................................................. 【考点7 勾股定理与折叠问题】.................................................................................................................. 【考点8 勾股定理的实际应用】.................................................................................................................. 【考点9 最短路径问题】.............................................................................................................................. 【考点10 特殊三角形的存在性问题】........................................................................................................ 【考点11 判断能否构成直角三角形】........................................................................................................ 【考点12 勾股定理逆定理的实际应用】.................................................................................................... 【考点13 多边形内角和与外角和综合】.................................................................................................... 【考点14 添一个条件成为（特殊）平行四边形】.................................................................................... 【考点15 平行四边形的存在性问题】........................................................................................................ 【考点16 （特殊）平行四边形性质的应用】............................................................................................ 【考点17 判定能否构成（特殊）平行四边形】........................................................................................ 【考点18 （特殊）平行四边形的证明】.................................................................................................... 【考点19 三角形中位线的实际应用】........................................................................................................ 【考点20 斜中半】....................................................................................................................................... 【考点21 正方形折叠问题】....................................................................................................................... 【考点22 中点四边形】............................................................................................................................... 【考点23 （特殊）平行四边形动点问题】............................................................................................... 【考点24 四边形中的线段最值问题】....................................................................................................... 【考点25 从函数图像获取信息】............................................................................................................... 【考点26 动点问题的函数图像】............................................................................................................... 【考点27 根据一次函数的定义求参数】................................................................................................... 【考点28 判断一次函数图像】................................................................................................................... 【考点29 一次函数图像平移问题】........................................................................................................... 【考点30 求一次函数的解析式】............................................................................................................... 【考点31 比较一次函数值大小】................................................................................................................ 【考点32 一次函数的规律探究问题】........................................................................................................ 【考点33 一次函数与方程（组）、不等式（组）】.................................................................................... 【考点34 求直线围成的图形面积】............................................................................................................ 【考点35 一次函数中的存在性问题】........................................................................................................ 【考点36 实际问题与一次函数】................................................................................................................ 【考点37 平均数、中位数、众数】............................................................................................................ 【考点38 离差平方和、方差】.................................................................................................................... 【考点39 四分位数、箱线图】.................................................................................................................... 【考点40 选择合适的统计量】.................................................................................................................... 【考点41 统计综合】.................................................................................................................................... 考点1 二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期中）使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级下·全国·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ）考点2 利用二次根式的性质化简 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 3．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如果，那么（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 考点3 二次根式的混合运算 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）计算： (1) (2)． 4．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）计算： (1)； (2) 考点4 化简求值 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知：，，求代数式的值． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 考点5 比较二次根式大小 1．（2026·陕西西安·三模）比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 4．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 考点6 勾股定理解直角三角形 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知，直角三角形的两边长分别为6和10，则斜边长可能为（   ） A．8 B． C．10或 D．10 2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 考点7 勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 考点8 勾股定理的实际应用 1．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 4．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 考点9 最短路径问题 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 4．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 考点10 特殊三角形的存在性问题 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 考点11 判断能否构成直角三角形 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ）． A．，， B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4 2．（25-26八年级下·全国·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．1，2，3 C．3，4，6 D．5，6，7 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·北京·期中）若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（    ） A． B．，， C．，， D．， 考点12 勾股定理逆定理的实际应用 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 考点13 多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形的对角线条数为（     ） A．36 B．18 C．12 D．9 考点14 添一个条件成为（特殊）平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·期末）已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 考点15 平行四边形的存在性问题 1.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期中）平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 4．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 考点16 （特殊）平行四边形性质的应用 1．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______． 2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，，，则的值为_____． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 考点17 判定能否构成（特殊）平行四边形 1．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）下列命题中，真命题的个数为（     ） ①对角线相等的四边形是矩形     ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形     ④对角线互相垂直相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点18 （特殊）平行四边形的证明 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 2．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 3．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的边的长． 4．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 考点19 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、．为了测出之间的距离，需要步测出哪段长度（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 考点20 斜中半 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，是的中位线，，若，，则的长为_______． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 4．（25-26八年级下·全国·期末）如图，中，，点D为的中点，点E在上，且，连接，点F为的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点21 正方形折叠问题 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 考点22 中点四边形 1．（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 考点23 （特殊）平行四边形动点问题 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 2．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 4．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 考点24 四边形中的线段最值问题 1．（2026·广西崇左·一模）如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东威海·模拟预测）如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 考点25 从函数图像获取信息 1．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图，则当乙加工了这种产品320件时，甲加工了________件． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程（单位）与行驶时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)A、B两地的路程是__________． (2)出发较早的是__________，早__________． (3)求乙在距A地多少千米处追上甲？ 3．（25-26八年级下·北京·期中）2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； (2)在上升或下降过程中，无人机速度为____； (3)图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； (4)当第时无人机的飞行高度是_____． 4．（25-26八年级下·全国·期末）去年是中法建交61周年，法国龙舟委员会希望借由龙舟这一中国传统体育项目，在法国推广中国的传统体育文化，加强两国民众间的体育文化交流．某甲、乙两龙舟队比赛时行驶的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示，其中直线段表示甲队，折线段表示乙队，请你根据图象，回答下列问题： (1)图象中的变量是 和 ； (2)这次比赛的全程是 米， 队先到达终点； (3)甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度是 米/分钟； (4)求乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程． 考点26 动点问题的函数图像 1．（2026·山东菏泽·二模）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）如图1，正方形的边长为，E为边上一点，连接，点P从点D出发，沿以的速度匀速运动到点B．图2是的面积y（单位：）随时间x（单位：）的变化而变化的图象，其中，则b的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 4．（2026·河南商丘·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图2所示，则（     ） A．37 B．36 C．17 D．16 考点27 根据一次函数的定义求参数 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）若函数是一次函数，则的值为_______． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 考点28 判断一次函数图像 1．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A．B．C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A．B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 考点29 一次函数图像平移问题 1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 2．（25-26八年级下·全国·期末）将直线沿y轴向上平移2个单位长度后经过点，则________． 3．（2026·陕西西安·三模）将直线向左平移个单位，得到直线，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）直线可以由直线（   ）得到 A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向下平移2个单位长度 D．向上平移2个单位长度 考点30 求一次函数的解析式 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 3．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若该一次函数的函数值为，求的值． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式，并判断此时是的什么函数？ (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 考点31 比较一次函数值大小 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）若点，都在直线上，则与的大小关系是____． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于的一次函数的图象经过点、，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广西贵港·三模）点，点是一次函数图象上两点，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 4．（25-26八年级下·全国·期末）已知点和在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 考点32 一次函数的规律探究问题 1．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 2．（2026·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 考点33 一次函数与方程（组）、不等式（组） 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 4．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 考点34 求直线围成的图形面积 1．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 3．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点35 一次函数中的存在性问题 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求的值和直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为2，求点的坐标； ②连接，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，直线与过点的直线相交于点，与y轴相交于点B． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点Q．若，求点P的坐标． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)填空：______，点的坐标为______； (2)根据图象写出的解集； (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 考点36 实际问题与一次函数 1．（2026·山东济南·二模）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在靠墙（墙长为）的地方围成一个长方形养鸡场，另三边用总长为的竹篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，另一边长为，围成的长方形面积为． (1)请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当垂直于墙的一边长为时，求围成的矩形的面积． 3．（25-26八年级下·全国·期末）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 4．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 考点37 平均数、中位数、众数 1．（2026·广东河源·一模）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试．其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲员工的听、说、读、写的各项测试成绩分别为70分，80分，90分，90分，则甲员工的最终成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．86分 D．90分 2．（2026·浙江丽水·二模）据调查，某班名学生所穿鞋子鞋号统计如表所示，则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数是_______． 鞋号 20 21 22 23 24 频数 3．（2026·辽宁辽阳·二模）某校机器人编程团队参加全省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 4．（2026·湖南邵阳·一模）小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/ 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（     ） A．162.5，163 B．163，162 C．162，162 D．163，163 考点38 离差平方和、方差 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 2．（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 3．（2026·福建南平·一模）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（   ） A．30 B．38 C．39 D．41 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 考点39 四分位数、箱线图 1．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 2．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 3．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    (1)在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， (2)本次调查样本中数据的众数为 (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 考点40 选择合适的统计量 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）衡量一组数据波动大小的统计量是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 2．（25-26八年级下·全国·期末）下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 3．（2026·上海虹口·三模）对于数据：1、1、1、2、3、4、5、6、6、50，能较好反映这组数据平均水平的是（     ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的方差 4．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 考点41 统计综合 1．（2026年浙江省金衢十二校6月份联考九年级数学试题）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 (1)填空：_______，_______，_______； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）某校为了解初三学生的心理健康状况，对全校所有的初三学生进行了心理健康知识测试，测试的结果用x（单位：分）表示，并随机抽取了50名学生，将他们的测试结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 6 8 14 a 7 请根据以上信息，完成下列问题． (1)________． (2)这50名学生的测试成绩的中位数落在________组． (3)已知该校初三学生共有600人，且规定测试成绩低于65分则判定测试成绩不合格，请估计全校初三学生测试成绩不合格的人数． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域．某中学数学小组在某个周末随机选取100名游客进行满意度调查．调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分．数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息： 信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组． 如图是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如表： 项目统计量 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利 平均分 方差 结合以上信息解决下列问题： (1)将频数分布直方图补全； (2)据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万．请估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数； (3)请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 甲、乙两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 96.6 乙 86 86.5 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若本次调查有300名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有400名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 1 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