专题03 四边形（期末真题汇编，新疆专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦四边形核心考点，整合新疆多地期末真题，涵盖多边形、平行四边形及特殊四边形，兼具基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答（含压轴）|多题型梯度分布|多边形内角和、平行四边形性质、矩形折叠、菱形判定、正方形综合|结合嫦娥六号任务、传统建筑空窗等情境，压轴题含动态几何与多问证明，适配期末综合测评需求|

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题03 四边形 ☆高频烤点概览 考点01四边形级多边形 考点02平行四边形 考点03三角形的中位线 考点04矩形 考点05形 考点06正方形 考点07四边形的综合压轴题型 目目 考点01 四边形及多边形 1.(24-25八年级上·新疆阿克苏期末)如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（) 第 中 学 A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.两点之间线段最短 D.三角形两边之和大于第三边 2.(24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务 正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天 地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义.如图，登月探测器中， 机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了一· 3.(24-25八年级上·新疆阿克苏期末)若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这 个多边形的内角和是() A.900 B.720 C.360° D.1080° 4.(23-24八年级下·新疆期末)五边形一共有」 条对角线. 5.(22-23八年级上新疆期末)一个n边形内角和等于1620°，则边数n为 6.(21-22八年级上新疆昌吉期末)如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是() A.正七边形 B.正九边形 C.正五边形 D.正十边形 1/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7.(23-24八年级上·新疆乌鲁木齐期末)一个多边形的每个外角都是60°，则该多边形的内角和是() A.540 B.720 C.900 D.1080 8.(24-25八年级上·新彊喀什期末)如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下空窗的轮廓是一个 正八边形，这个正八边形的一个外角∠1=· 9.(24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为() A.4 B.5 C.6 D.7 10.(24-25八年级上新疆期末)一个多边形的内角和与它的外角和的差为1080°，则这个多边形的边数为() A.10 B.9 C.8 D.7 11.(21-22八年级上·新疆阿克苏期末)若一个多边形的内角和与外角和之和等于900°，则这个多边形的边 数为() A.4 B.5 C.6 D.7 12.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)在四边形ABCD中，∠B=140°，∠D=80°，则∠A+∠C为 13.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐阶段检测)如图，贾玲从点A出发，前进5米后向右转20°，再前进5 米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形。 A 20° (1)贾玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和. 14.(22-23七年级下·新疆乌鲁木齐期末)(1)一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌 而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是· (2)从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为· (填写拼图板的代码即可)· ② ③ ⑤ (3)己知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证：ED∥FB. 2/28 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 F E G 1 B 5 3 2 D 目目 考点02 平行四边形 1.(22-23八年级下·新疆喀什期末)如图，在口ABCD中，∠A=100°，则∠C=() A D B A.70 B.80° C.110° D.100° 2.(22-23八年级下·新疆巴州期末)在口ABCD中，∠D=40°，则∠A的大小是() A.40° B.50° C.1309 D.140 3.(20-21八年级下·新疆乌鲁木齐期末)在口ABCD中，∠A:LB:∠C:LD可能是() A.1:1:2:2B.1:2:1:2 C.1:2:2:1 D.2:1:1:2 4.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图，在口ABCD中，∠ABC=50°，BE平分∠ABC,则 ∠BED的度数为() E D B A.155° B.145° C.130° D.105° 5.(24-25八年级下·新疆巴州期末)如图，在▣ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若AC=6,则 A0的长是() A B A.2 B.3 C.4 D.5 3/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(22-23八年级上新疆伊犁期末)口ABCD的周长为60cm,其对角线交于O点，若AOB的周长比 △BOC的周长多10cm,则AB的长是() A.10cm B.20cm C.30cm D.40cm 7.(23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP AP相交于点P,作PE⊥AB于点E,若两平行线AD与BC间的距离为4，则PE=() D C A.4 B.2 C.8 D.6 8.(24-25八年级上新疆期末)如图，在口ABCD中，AB=10cm,AD=15cm,AC、BD相交于点O, OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为 D B 9.(22-23八年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图，在口ABCD中，连接BD,且BD=CD,过点A作 AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=5√2，在DB的延长线上取一点P,满足 ∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP= P 10.(22-23八年级下·新疆克孜勒苏期末)下列条件中能判定四边形为平行四边形的是() A.一组对边相等的四边形 B.对角线互相平分的四边形 C.一组对边平行的四边形 D.对角线相等的四边形 11.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点0，AC+BD=24, ∠ABC=70°，△AB0的周长是20. 4/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求LADC的度数； (2)求AB的长 12.(23-24八年级下·新疆期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点. E 刀 B (I)求证：AF=CE; (2)若四边形AFCE的周长为12，AF=4,AB=3,求平行四边形ABCD的周长. 13.(21-22八年级下，新疆喀什期末)如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的 延长线于点F. D B C (I)求证：AD=CF; (②)若∠BAF=90°，BC=10,EF=6,求CD的长. 14.(22-23八年级下·新疆阿克苏期末)如图，点E,F是口ABCD对角线BD上的点，BF=DE,连接AF、 CE,求证：四边形AECF为平行四边形. B 15.(24-25八年级下，新疆吐鲁番期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边BC和AD上的点， 且BE=DF,连接AE,CF.求证： 5/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B E (I)△ABE≌△CDF; (2)四边形AFCE是平行四边形. 16.(23-24八年级下·新疆克孜勒苏期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,AO=CO,∠ABD=∠CDB.求证：四边形ABCD是平行四边形. D B 17.(23-24八年级下·新疆昌吉期末)如图，AB‖CD,AB=DC,点E,F在BC上，且BF=CE. E (I)求证：△ABE≌△DCF; (②)连接AF,DE,求证：四边形AFDE为平行四边形. 目目 考点03 三角形的中位线 1.(24-25八年级下·新疆阿克苏期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE=2,D、E分别是直角边BC 、AC的中点，则BC的长为() A.2 B.1 C.5 D.1+V5 2.(23-24八年级下·新疆阿克苏期末)如图，在ABC中，AB=4,BC=6,点D、E、F分别是AC、 BC、AB的中点，连接DE,DF,则四边形BEDF的周长是() 6/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D B C A.5 B.7 C.8 D.10 3.（20-21八年级上新疆期末)如图，在ABC中，D,E分别是边BC,AB的中点，若ABC的面积等于 8,则BDE的面积等于() R D A.2 B.3 C.4 D.5 4.(24-25八年级下·新疆哈密期末)如图：口ABCD对角线相交于点O,E是DC的中点，若BC=8,则 OE= 5.(23-24八年级下·新疆期末)如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若 AB=6,BC=8,则EF的长为 B 6.(24-25八年级下·新疆巴州期末)如图，为了测量池塘边A,B两点之间的距离，在线段AB的一侧取一 点C,连接CA并延长至点D,连接CB并延长至点E,使得A,B分别是CD,CE的中点，连接DE.若 DE=20m,则线段AB的长是m. 7/28 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A 7.(23-24八年级下·新疆阿克苏期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于 点E,且LADC=60°，AB=号BC,连接OE.下列结论：①AE>CE;②S4BCD=AB·AC;③ S。ABE=S。4OE;④OE=二AD.其中正确的结论有(） 4 0 B E C A.①②③ B.②③ C.②③④ D.②④ 目目 考点04 矩形 1.(21-22八年级下·新疆喀什期末)如图，在矩形ABCD中，∠B0C=120°，AC=2,则AB的长为() D A.1 B.2 C.5 D. 2 2.(24-25八年级下·新疆喀什期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂 足为E.若AE=3,DE=3BE,则CD的长为() B E D A.6 B.5 C.23 D.7 3.(20-21八年级下·新疆期末)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落 在点D处，CD'交AB于点F,则重叠部分△AFC的面积为() 8/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.10 B.12 C.8 D.14 4.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点 D落在点D处，则AF=一· D' 5.(23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在矩形ABCD中，点M在边AD上，先将矩形纸片ABCD沿 MC所在的直线折叠，使点D落在点D处，与BC交于点N,之后再将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好 落在直线MD'上，点A落在点A处，点B落在点B处，折痕为ME.若CD=4,MD=8,则EC的长为() M A D D A.6 B.8 C.10 D.12 6.(23-24八年级下·新疆阿克苏期末)如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，且BD=6,则AC的长度 为() D A.8 B.10 C.12 D.14 7.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开， 若测得AB的长为6km,则M、C两点间的距离为() 9/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M A.3km B.6km C.8km D.12km 8.(24-25八年级下·新疆吐鲁番期末)如图，在RIAABC中，D是斜边AB的中点，作DE⊥AC于点E, DF⊥BC于点F,连接EF,若AC=5,BC=I2,则EF的长为() D A.4 B.5 C.5.5 D.6.5 9.(21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于 点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为 B 10.(20-21八年级下·新疆期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O,AB=6,BC=8,点E、F 分别是BC、AB的中点，若OF⊥OE,则EF的长为 D 11.(23-24八年级下·新疆·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P为边AB上任意一点，过点 P作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E、F,则PE+PF= 10/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D F E B P 12.(24-25八年级下·新疆哈密期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形， AB=4,AD=6,AB∥x轴，已知点A(-2,-2),则点C的坐标是 D 13.(24-25八年级上·新疆期末)小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图， 在R1aA0B中，∠40B=90°，点D是OB的中点，如果CD∥04，则CD=)0A,她把这个结论用于解决 实际问题：将Rt△AOB以点O为原点建立平面直角坐标系，OB=4,OA=6;若在OA上有一点P,使得 PC+PD最小，则点P的坐标为 A P 0 14.(22-23八年级下·新彊乌鲁木齐期末)如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一 平面内，落点记为F,BF与AD交于点E,若BC=2AB=8,求DE的长. F B 15.(22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期末)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上，CF=AE,连接BF, 11/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D F A E (I)求证：四边形BFDE是矩形； (2)已知∠DAB=60°，若AD=4,求DE的长度， 16.(23-24八年级下·新疆阿克苏期末)如图，在口ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上， DF=BE,连接AF,BF D (I)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AE=3,BF=4,AF平分∠DAB,求BE的长 17.(24-25八年级下·新疆巴州期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,AB∥DC. (I)求证：四边形ABCD是矩形； (2)E是AD上一点，F是BC的中点，连接BE,CE,EF.若∠BEC=90°，BC=13,求EF的长 18.(21-22八年级下·新疆·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90°.对角线 AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE, D E (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若CD=2,∠DBC=30°，求△BED的面积. 目目 考点05 菱形 1.(24-25八年级下·新疆期末)在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是() 12/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.A0⊥B0 B.∠ABD=∠CBD C.A0=BO D.AD=CD 2.(23-24八年级下·新疆昌吉·期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，已知ABC的周长是12，则 菱形ABCD的周长是() D A.20 B.16 C.15 D.12 3.(21-22八年级下·新疆塔城期末)如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱形的边 长为13cm,当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是()cm. A.V69 B.2√69 C.12 D.24 4.(24-25八年级上·新疆喀什期末)菱形的两条对角线分别长55cm、40cm,则这个菱形的面积是 5.(22-23八年级下·新疆期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,H为AB边上一点， ∠BHD=90°，连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为 B H O A D 6.(24-25八年级下·新疆和田·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=45°， 点D在y轴上，则点A的坐标为() 13/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.(-4,2V2) B.(-4,V2) C.4,2√2) D.(-4V2,4) 7.(24-25八年级下·新疆期末)在菱形ABCD中，己知AB=5,BD=8,AC与BD相交于点O,点E为OD 上一点，将ADE沿着AE翻折得到△AFE,使点F落在边BC上，则DE的长为() O A.2 B.2.5 C.3 5 D.25 8 8.(21-22八年级下·新疆期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DHLAB于点 H,连接CH,若AB=2,AC=25,则CH的长是() D A.5 B.3 C.7 D.4 9.((22-23八年级下·新疆塔城期末)如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点， 若AB=2,∠A=120°，则PM+PC的最小值为 10.(21-22八年级下·新疆省直辖县级单位期末)如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,E,F两 点分别从A,B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B,C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最 小值为 E B 14/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11.(23-24八年级下·新疆期末)要使▣ABCD成为矩形，下列添加的条件中，正确的是() A.AB=BCB.AC⊥BD C.AB=CD D.AC=BD 12.(22-23八年级下·新疆期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,BC∥AD,且AD=DC,则下列说 法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB=BC;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD;⑤若AC=6,BD=8, 则四边形ABCD的面积为24.其中正确的有() A C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 13.(23-24八年级下·北京期中)如图，菱形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的动点，BE=AF, LBAD=120°，EF与AC相交于点G,则下列结论：①△BEC≌aAFC;②△ECF是等边三角形；③ LAGE=∠AFC,其中结论正确的有个. B 14.(22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，菱形ABCD中的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC, CE∥BD. A D E (I)求证：四边形OBEC是矩形. (2)若AB=8,∠ABC=60°，求四边形ABEC的面积 15.(20-21八年级下·新疆克拉玛依期末)如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A 作AFBC交DE的延长线于F点，连接AD、CF,过D作DG⊥CF于点G. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； 15/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ (3)在(2)的条件下，若AB=6,BC=10,求DG的长. G C 16.(20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在矩形ABCD中，P是AD上一个动点，O为BD的中点， 连接PO并延长，交BC于点Q. D Q (1)求证：四边形PBQD是平行四边形； (2)若AD=6cm,AB=4cm,点P从点A出发，以1cms的速度向点D运动（不与点D重合），设点P的 运动时间为t秒，求当t为何值时，四边形PBQD是菱形. 17.(23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末)如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC,过 点C作CE∥BD,且DE、CE相交于E点. D E B (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=4,AC=8,求菱形0CED的面积. 18.(21-22八年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点， BE交AC于F,连接DF. D 16/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠BAC=∠DAC. (②)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形， 19.(20-21八年级下·新疆吐鲁番期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的 中点. B (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC=CD,求证四边形AMCN是矩形： (3)若∠ACD=90°，求证四边形AMCN是菱形. 目目 考点06 正方形 1.(23-24八年级下·新疆阿克苏·期末)正方形具有而矩形不具有的性质是() A.对角相等 B.四角相等 C.对角线互相垂直D.对角线互相平分 2.(20-21八年级下·新疆克拉玛依·期末)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP=BC, 则∠PCD的度数是() D B A.22.5 B.45° C.60° D.67.5 3.(23-24八年级下·新疆克孜勒苏期末)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边CD上，以点A为 圆心，AD长为半径画弧，交线段AE于点G,若EG=EC,则DE的长为() A A. 3 B. 4 c D 4.(23-24八年级下·新疆阿克苏期末)如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形 17/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 BEDF的对角线EF的长为· 5.(24-25八年级下·新疆和田期末)如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的 一个动点，连接BP,EP,则BP+EP的最小值为 6.(24-25八年级上·新疆昌吉期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,E是BC上的一点且CE=3cm, 连接DE,动点M从A点出发，沿着路径AB-BC-CD-DA以2cmIs的速度运动，运动到A点停止，设点 M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是() A M B E A.3.5s B.5.5s C.5.5s或6.5s D.3.5s或6.5s 7.（23-24八年级下·新疆期末)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC,将正方形的边CD沿DE 折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现有如下3个结论：①AG+EC=GE;②∠GDE=45°；③ AG的长为4.其中正确的个数为() D G F E A.0 B.1 C.2 D.3 8.(24-25八年级下·新疆阿克苏期末)如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点，且 18/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=DF,AE与BF相交于点O,下列结论：①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④LAED=∠FBC中， 正确的是 (填序号) D B 9.(22-23八年级下·新疆伊犁期末)如图，点E,点F分别是正方形ABCD的边CD和AD上的点，且 CE=DF,AE与BF相交于点O,下面的几个结论：①AE=BF;②AE⊥BF;③S△4OB=S四边形DEOF;④ AO=OE.其中正确的结论序号有 D E 10.(22-23八年级下山东济宁期中)如图，在正方形ABCD中，M是边BC上一点，E是CD的中点， AE平分∠DAM,下列结论：①ME⊥AE,②ME平分∠AMC,③∠DAE=30°，④AM=AD+CM,正 确的有() M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(21-22八年级下，新疆喀什期末)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，过点O 作射线OM,ON分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°，连接EF交OC于点G.给出下列结论：① △COE≌△BOF:②∠BAC=45°：③BF=CE:④SEc0e-SE方Ic0· 其中正确的有() 4 19/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D M G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(22-23八年级下，新疆伊犁期末)下列命题中，正确的是() A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是正方形 13.(22-23八年级下·新疆阿克苏·期末)如图，数学课上老师给出了以下四个条件：α两组对边分别平行；b 对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式： ①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的是·（填写你认为正确的序号） 添加条件 四边形 正方形 14.(21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E,PF ⊥BC于F. D B (I)证明：DP=EF (②)若正方形ABCD的边长为6，LADP:∠PDC=1:3,求PE的长 15.(24-25八年级下·新疆喀什·期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是AB边上一动点，PQRS是 正方形ABCD的内接正方形，PA=a,PB=b,求a2+b2的最小值. 20/28 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 a D R 16.(24-25八年级上新疆喀什期末)正方形ABCD中，E为AB上一点，F为CB延伸线上一点，且 ∠EFB=45°. E (I)求证：AF=CE; (2)你认为AF与CE有怎样的位置关系？说明原因. 17.(22-23八年级下·新疆阶段检测)如图所示ABC中，∠C=90°，∠A,∠B的平分线交于D点， DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F. D F丁 ▣▣ C E (I)求证：四边形CEDF为正方形； (2)若AC=12,BC=16,求CE的长 18.(22-23八年级下新疆喀什，期末)如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C、D重合）， 连接BE,BF平分∠ABE,交AD边于点F.过点B作BG⊥BE,与DA的延长线交于点G FD 21/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据题意，请把原图画完整： (2)证明：CE=AG; (3)试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由. 目目 考点07 四边形的综合压轴题型 1.(24-25八年级下，新疆巴州期末)如图，在ABC中，AB=AC=10cm,点D在AC上，且AD=6cm.点 M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cms;同时点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cms过点P的直线PQ∥AC,交BC于点Q,连接PM,设运动时间为t(单位：s)(0<t<2.5) D 备用图 解答下列问题： (I)线段BP=_cm,AM=_cm,(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行四边形？ 2.(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)【建立模型】(1)萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一 个问题：如图1，∠ACB=90°，AC=BC,过点A、B作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证： AD=CE,CD=BE,萌萌发现只需证明△--≌△--即可； D 图1 【类比迁移】(2)在平面直角坐标系xOy中，ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点A0,3),点 C(-1,0),点B在第四象限. ①如图2，求点B的坐标； ②如图3，若AB交x轴于点D,BC交y轴于点M,N是BC上一点，且BN=CM,连接DN.求证 CD+DN=AM; 22/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图2 图3 【拓展延伸】(3)如图4，点A(0,3),点C(-1,0),若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以 AC,OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF,其中LACE=∠OCF=90°， 连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若 不变化，请直接写出其长度. 图4 3.(22-23八年级下·新疆期末)已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使 CE=3,连接DE (I)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒， 求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？ (2)若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP.设点P运动的时间为 t秒，是否存在t,使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值：否则，说明理由， 4.(25-26八年级上新疆·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD垂直于直线AD,垂足为 点D 23/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0 (I)求作∠BAC的角平分线AE,交BC于点E;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明) (2)连接DE,请补全图形，若LEBD+LEAD=I80°，求证：DE平分∠ADB. 5.(23-24八年级下新疆期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=30cm,∠C=30°，点D从点C出 发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是1秒(0<1≤15).过 点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF. D (1)DF= AD= (用t表示)： (②)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 6.(24-25八年级下·新疆期末)如图，在ABC中，F是BC的中点，E是线段AB的延长线上一动点，连 接EF,过点C作CD∥AB,与线段EF的延长线交于点D,连接BD,CE, D A B (I)求证：四边形BDCE是平行四边形 (2)若∠ABC=120°，BC=4,则在点E的运动过程中， ①当BE为何值时，四边形BDCE是菱形，说明理由. ②当BE为何值时，四边形BDCE是矩形，请直接写出结论 7.(20-21八年级下·新疆期末)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且 EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F. 24/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E 图1 图2 (1)求证：∠BAE=∠FEC; (2)取AB的中点H,连接HE,求证：AE=EF; (3)如图2，若点E是边BC上的任意一点（不含点B,C),∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的 平分线于点F,AE=EF是否仍然成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由. 8.(24-25八年级上新疆昌吉期末)【问题提出】如图1，已知在正方形ABCD中（四边相等，四个内角均 为90°)，点E、F分别在边BC、CD上运动，当∠EAF=45°时，探究线段DF、BE和线段EF的数量关系 如下： L. D 图1 图2 图3 【尝试探究】小明同学研究思路如下： (I)观察猜想：EF=BE+DF; (2)分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的 线段转化为共线线段； (3)制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短的方法解决问题； (4)实施方案：延长CB到H点，使得BH=DF,连接AH,从而解决间题. 请你帮助小明完成对猜想EF=BE+DF的证明： 【模型建立】如图2，若将Rt△ABC沿斜边翻折得到RtaADC,且∠B=LD=90°，点E、F分别在边BC、 DC上运动，且∠EAF=)∠BAD,上述猪想的结论还成立吗？请加以说明： 【拓展应用】如图3，己知ABC是边长为8的等边三角形，BD=CD,∠BDC=120°，以D为顶点作一个 60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F,连接EF,请直接写出△AEF的周长 9.(22-23八年级下·新疆期末)【知识感知】(1)如图1，四边形ABCD的两条对角线交于点O,我们把 25/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，属于垂美四边形的是 ；(只填序号) 【性质探究】(2)如图1，试探究垂美四边形ABCD的四条边AB,CD,BC,AD之间有怎样的数量关 系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】(3)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE,连接CE,BG,GE,己知AC=I0V5,AB=5√21，求GE的长. 图1 图2 10.(22-23八年级下·新疆期末)在正方形ABCD中，AB=6,点E为对角线BD上一点（不与B、D重合）， 且BE>DE,连接AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F,请根据题意，补全图形. D B (I)连接CE,求证：EC=EF: (2)当点F恰为BC的三等分点时，求DE的长； (3)作BG平分LCBD交CD于点G.交EF于点H,当BE=BC时，试判断AE与EH的数量关系 11.(23-24九年级上·新疆期末)在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动， 【操作判断】 (I)操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在BE上选一点H,沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH,把纸片展平.根据 以上操作，直接写出图①中∠CGF的度数为_： 【拓展应用】 (2)小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长HG交AD于点M,连接CM交EF于点N,试判 断aMGN的形状，并说明理由； 【迁移探究】 (3)如图③，已知正方形ABCD的边长为3，当点H是边AB的三等分点时，把BCH沿CH翻折得 26/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △GCH,延长HG交AD于点M,求线段DM的长. A D A M G G G E E H H B B 图① 图② 图③ 12.(23-24八年级下·新疆期末)以四边形ABCD的边AB,AD为边分别向外侧作等边△ABF和等边ADE, 连接EB,FD,交点为G. D G G B B 图1 图2 图3 (I)当四边形ABCD为正方形时（如图1），直接说出EB和FD有什么数量关系， (2)当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明： (3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说 明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数， 13.(21-22八年级下·新疆期末)已知正方形ABCD的边长等于4，点E为边AD上一动点，连接CE,以 CE为边长作正方形CEFG(点D、F在CE所在直线的同侧)，H为CD中点，连接FH. D E A H G B B 图1 图2 (I)如图1，当点E为AD中点时，连接BE,BH,求证：四边形BEFH为菱形： (②)如图2，连接EH,若AE=1,求△EHF的面积； 27/28 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (3)在点E的运动过程中，求AF的最小值 14.(20-21八年级下·新疆期末)已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次 连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形). A H D E B F C (I)四边形EFGH的形状是 ,请证明你的结论； (②)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是菱形： (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种. 28/28 专题03 四边形 高频考点概览 考点01四边形及多边形 考点02平行四边形 考点03 三角形的中位线 考点04矩形 考点05菱形 考点06正方形 考点07四边形的综合压轴题型 考点01 四边形及多边形 1.（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的性质，根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案，熟练掌握四边形的相关知识的解题的关键． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 2.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 3.（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发最多可以画4条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：A． 4.（23-24八年级下·新疆·期末）五边形一共有__________条对角线． 【答案】5 【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵边形共有条对角线， 五边形共有条对角线． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键． 5.（22-23八年级上·新疆·期末）一个n边形内角和等于，则边数n为______． 【答案】11 【分析】根据多边形内角和公式，列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：， 故答案为：11． 【点睛】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 6.（21-22八年级上·新疆昌吉·期末）如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是（    ） A．正七边形 B．正九边形 C．正五边形 D．正十边形 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则有（n-2）·180°=900°， 解得：n=7， ∴这个多边形的边数为7． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题． 7.（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个多边形的每个外角都是，则该多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和以及多边形内角和公式，灵活运用相关公式是解答本题关键． 利用多边形外角求得该多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】解：∵多边形外角和为，一个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， ∴该多边形的内角和是． 故选：B 8.（24-25八年级上·新疆喀什·期末）如图，空窗是我国传统建筑装饰的一种形式，以下空窗的轮廓是一个正八边形，这个正八边形的一个外角_____． 【答案】/45度 【分析】此题考查了正多边形内角问题，利用正多边形的内角和除以边数得出每个内角的度数，然后结合图形即可求解． 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， ∴， 故答案为：． 9.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 10.（24-25八年级上·新疆·期末）一个多边形的内角和与它的外角和的差为，则这个多边形的边数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，先求出这个多边形的内角和，设这个多边形的边数为，再由外角和公式计算即可得解． 【详解】解：∵一个多边形的内角和与它的外角和的差为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， 由题意可得， 解得：， 故选：A． 11.（21-22八年级上·新疆阿克苏·期末）若一个多边形的内角和与外角和之和等于900°，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据多边形内角和及外角和可进行求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得： ， 解得：； 故选B． 12.（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）在四边形中，，，则为_______. 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是根据四边形的内角和为计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，贾玲从点出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样一直下去，直到她第一次回到出发点为止，她所走的路径构成了一个多边形． (1)贾玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)90米 (2) 【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形， ∴360÷20=18， 18×5=90（米）． 答：贾玲一共走了90米． （2）根据题意，得， 答：这个多边形的内角和是． 【点睛】本题考查了正多边形的外角以及多边形的内角和，理解“第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的多边形是正多边形”是解题关键． 14.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）（1）一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是___ ． （2）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为___ ．（填写拼图板的代码即可）．    （3）已知：如图，，，．求证：．    【答案】（1）；（2）①②③④；（3）见解析 【分析】（1）根据正方形和正六边形的内角分别是，，求出第三个正多边形的内角的度数，即可求出第三个正多边形的边数； （2）根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形． （3）因为，所以，由平行的性质证明，则有，再利用平行的性质证明，从而得出． 【详解】（1）因为正方形和正六边形的内角分别是，， 所以第三个正多边形的内角是， 所以第三个正多边形的边数是12； （2）根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形，由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形，    正确的选择方案为：①②③④； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了图形的剪拼和平行线的判定，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件和判定两直线平行的问题．本题能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力． 考点02 平行四边形 1.（22-23八年级下·新疆喀什·期末）如图，在中，，则（　　）    A．70° B．80° C．110° D．100° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键． 2.（22-23八年级下·新疆巴州·期末）在中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形对角相等的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等是本题的关键． 3.（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在中，可能是（　　） A．1：1：2：2 B．1：2：1：2 C．1：2：2：1 D．2：1：1：2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，推出∠A+∠B=∠C+∠D，根据两个条件即可判断选项． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=∠C+∠D， 只有B符合以上两个条件2=2，1=1，2+1=2+1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键． 4.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图， 在中， ， 平分， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵平分， ， ∵在中，， ， 故选：A． 5.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选B． 6.（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）的周长为，其对角线交于O点，若的周长比的周长多，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边的性质，根据平行四边形对角线互相平分及对边相等结合周长差即可得到答案． 【详解】解：∵的周长为，其对角线交于O点， ∴，，， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， 故选：B． 7.（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，的角平分线与的角平分线 AP相交于点P，作 于点E，若两平行线与间的距离为4，则（   ）    A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，过点P作于 M，交于 N，如图，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出，，即可得出答案． 【详解】解: 过点P作于 M，交于 N， 如图，    ∴， ∵的角平分线与的角平分线相交于点P，于点E， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 8.（24-25八年级上·新疆·期末）如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质．先证明是对角线的中垂线，可得，再进一步利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵在中，O是对角线的交点，且， 是对角线的中垂线， ， 的周长为． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是判定是等腰直角三角形．根据，，可得，再根据，，即可得到，依据，，即可得到是等腰直角三角形，进而得到，问题得解． 【详解】解：，， ， 又，， ， 又，， ， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：10 10.（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期末）下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（  ） A．一组对边相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．一组对边平行的四边形 D．对角线相等的四边形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项B符合题意； C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 11.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，的对角线与相交于点，，，的周长是．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行四边形的性质； （1）根据平行四边形对角相等即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而可求出； 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 13.（21-22八年级下·新疆喀什·期末）如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）要证明即可证明； （2）根据（1）中的结论和勾股定理、平行四边形的性质可以求得的长． 【详解】（1）明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴    ， ∵E是CD的中点， ∴， 在和中 ∴（ASA）， ∴； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形性质、勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 14.（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点E，F是对角线上的点，，连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可证，即可得，，可证，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 15.（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再利用证明即可得证； （2）由，得出，再结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 16.（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的性质与判定，首先证得，得到，再根据平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：证明：在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 17.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ，点E，F在上，且． (1)求证： ； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，根据平行线的性质可得对应内错角相等，由，结合线段和差关系推出，结合已知，使用全等判定定理证明三角形全等； （2）利用的结论，可得对应边，对应角相等，由对应角相等推出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图： 由（1）知，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 考点03 三角形的中位线 1.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，D、E分别是直角边、的中点，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，以及“直角三角形中所对的边等于斜边的一半”．先根据三角形中位线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵中，D、E分别是直角边、的中点， ∴是的中位线，且, ∴, ∵中，， ∴． 故选：A． 2.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 3.（20-21八年级上·新疆·期末）如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点， 故选： A． 4.（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图：对角线相交于点O，E是的中点，若，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理．根据菱形的性质可得为的中点，由为的中点可得为的中位线，从而可得，即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， 故答案为：4． 5.（23-24八年级下·新疆·期末）如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 6.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，为了测量池塘边A，B两点之间的距离，在线段的一侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得A，B分别是，的中点，连接．若，则线段的长是_______m． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．本题直接根据三角形中位线定理进行解答即可． 【详解】解：∵A，B分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 7.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】由，可得，，由平分，可得，证明是等边三角形，则，由，可得，即，可判断①的正误；由，，可求，则，即，可判断②的正误；由为中点，为中点，可得，则，即，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即，①错误，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；②正确，故符合要求； ∵为中点，为中点， ∴， ∴，即，③错误，故不符合要求； 由题意知，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，中位线等知识．熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，中位线是解题的关键． 考点04 矩形 1.（21-22八年级下·新疆喀什·期末）如图，在矩形ABCD中，，，则AB的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，根据，可得，进而可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ， ， 是等边三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的性质是解题的关键． 2.（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（  ） A．6 B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，得到，进而得到，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 故选：C． 3.（20-21八年级下·新疆·期末）如图，长方形中，，，将长方形沿折叠，点D落在点处，交于点F，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】A 【分析】先证明≌，得到AF=CF，设BF=x，则AF=CF=，根据勾股定理，求出x，然后利用△ABC的面积减去△CBF的面积，即可得到答案. 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴≌（AAS）， ∴AF=CF， 设BF=x，则AF=CF=， 在Rt△CBF中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度. 4.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则__． 【答案】5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识，由四边形为矩形，得到，证明，则，设，则，在中，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：5． 5.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，是斜边上的中线，且，则的长度为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 7.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出结果即可． 【详解】解：∵公路、互相垂直， ∴， ∵M为公路的中点， ∴． 故选：A． 8.（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在 中，， ， 如图，连接， ∵是斜边的中点， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故选：D． 9.（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点O是矩形对角线的中点，交于点E．若，则的长为________．        【答案】5 【分析】根据矩形的性质和点O是矩形对角线的中点，可证明，进而由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是矩形，点O是矩形对角线的中点， ∴，,而， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线是本题的关键． 10.（20-21八年级下·新疆·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、AB的中点，若OF⊥OE，则EF的长为__________ 【答案】5 【分析】因AC⊥BD，可知△OBC和△OAB均为直角三角形，又知点E、F分别是BC、AB的中点，所以OE、OF为斜边上的中线，可求出，再根据勾股定理求得EF的值． 【详解】解：∵AC⊥BD， ∴△OBC，△OAB均是直角三角形， 又∵点E、F分别是BC、AB的中点，AB=6，BC=8， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理，准确运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 11.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，在矩形中，，点P为边上任意一点，过点P作，垂足分别为E、F，则 ____________．    【答案】 【分析】根据勾股定理，得到，根据矩形的性质，得到，结合矩形的性质计算即可． 【详解】∵矩形中，， ∴， ∴，，    连接， 根据矩形的性质，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 12.（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13.（24-25八年级上·新疆·期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点C作轴，使，连接交x轴于点P，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点C作 轴于点H，使，连接交x轴于点P， 则此时有最小值， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14.（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，求的长．    【答案】5 【分析】设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，即可得到，在中，利用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：， ， 设，则， 由题折叠的性质可得，， 四边形为矩形， ， ， ， ， 中，， 即， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质与矩形的性质是解题的关键． 15.（22-23八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明出四边形是平行四边形，然后结合证明出四边形是矩形； （2）首先根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是5 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，由，证得四边形是平行四边形，再根据，即可证得平行四边形是矩形； （2）根据角的关系得到，从而推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平行四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的长是5． 17.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，在四边形中， (1)求证：四边形是矩形； (2)E是上一点，F是的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）直接根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴． 18.（21-22八年级下·新疆·期末）如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，=，求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ∴四边形是矩形． （2）解：在中，， ， 由（1）已证：四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 考点05 菱形 1.（24-25八年级下·新疆·期末）在菱形中，与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质逐一判断即可． 【详解】如图： ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴，故A选项正确，不合题意； ∵菱形的每一条对角线平分每一组对角， ∴，故B选项正确，不合题意； ∵菱形的对角线不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故C选项错误，符合题意； ∵菱形的四条边都相等， ∴，故D选项正确，不合题意． 故选：C 2.（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（　　） A．20 B．16 C．15 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质；根据菱形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证是等边三角形，即可求出菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 的周长是12， ， 菱形的周长是， 故选：． 3.（21-22八年级下·新疆塔城·期末）如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D间的距离是时，则挂钩A、C间的距离是（    ）． A． B． C．12 D．24 【答案】D 【分析】连接AC、BD交于点O，根据题意可得BD=30cm，再由菱形的性质可得BO=5cm，AC⊥BD，然后根据勾股定理可得AO=12cm，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC、BD交于点O， ∵BD间的距离是30cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴BE=10cm， ∵四边形ABCE是菱形， ∴BO=EO，AO=CO，AC⊥BE， ∴BO=5cm， ∵菱形的边长AB=13cm， 在Rt△ABO中， ， ∴AC=24cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 4.（24-25八年级上·新疆喀什·期末）菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握菱形的对角线互相垂直的性质是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解答即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直， ∴菱形的面积等于对角线乘积的一半， 则这个菱形的面积为， 故答案为：． 5.（22-23八年级下·新疆·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，H为边上一点，，连接，若，，则菱形的面积为_______． 【答案】48 【分析】由菱形的性质得OA=OC=6，OB=OD，ACBD，则AC=12，再由直角三角形斜边上的中线的性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=6，OB=OD，ACBD， ∴AC=12． ∵DHAB， ∴90°， ∴BD=2OH=24=8， ∴菱形ABCD的面积=， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、菱形的性质、菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键． 6.（24-25八年级下·新疆和田·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD中，，点D在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质；根据菱形的性质得出，进而可得是等腰直角三角形，进而求得的长，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴，点A的横坐标为， ∴， 又∵ ∴， ∴， 故选：A． 7.（24-25八年级下·新疆·期末）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 8.（21-22八年级下·新疆·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接CH，若AB＝2，AC＝，则CH的长是（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件和菱形的性质可以求得DH的长度及∠HDC=90°，再根据勾股定理即可得到CH的长度． 【详解】解：由已知可得： ∠AOB=90°，AB=2，OA=， ∴OB=1， ∴∠OAB=30°， ∴∠DAB=60°， ∴∠CDB=∠ADB=60°，∠HDB=30°，DB=2，HB=1， ∴∠HDC=∠CDB+∠HDB=90°，DH=， ∵DC=AB=2， ∴CH=， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题关键． 9.（（22-23八年级下·新疆塔城·期末）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若，，则的最小值为___________．    【答案】 【分析】根据菱形的性质，得知A，C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AM为的最小值． 【详解】解：四边形ABCD为菱形， A，C关于BD对称，， 连接AM交BD于P， 则， 根据两点之间线段最短，AM的长即为的最小值，   ，， 为等边三角形， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及等腰三角形的性质，转化为两点之间线段最短的问题来解． 10.（21-22八年级下·新疆省直辖县级单位·期末）如图所示，在菱形中，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为____________． 【答案】 【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可． 【详解】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=AB=BC=CD， 而∠A=60°， ∴△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD， 在Rt△ADH中，AH=1，AD=2， ∴DH==， 在△ADE和△BDF中， ∴△ADE≌△BDF， ∴∠2=∠1，DE=DF， ∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠EDF=60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴EF=DE， 而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 11.（23-24八年级下·新疆·期末）要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； B、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； C、添加，不可以证明是矩形，故此选项不符合题意； D、添加，可以证明是矩形，故此选项符合题意； 故选：D． 12.（22-23八年级下·新疆·期末）如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由AB∥CD，BC∥AD，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误． 【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵AD＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确； ∵AC＝6，BD＝8， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质，解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形． 13.（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，上的动点，，，与相交于点G，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中结论正确的有_______个． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． ①首先证为等边三角形，得，，结合已知条件可证；②得，，得，进而可得结论；③证明则可得结论． 【详解】解：在四边形是菱形中， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 14.（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，菱形中的对角线，相交于点，，．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）由，，得出四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明四边形是矩形； （2）根据题意得出是等边三角形，在中，由勾股定理得：，根据四边形是矩形，得出，进而根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 四边形是梯形， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15.（20-21八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明，可得，根据已知条件即可求证四边形ADCF是平行四边形； （2）根据菱形的性质，可得，结合已知条件证明是平行四边形，则，进而可得，即可知是直角三角形； （3）根据菱形的面积及勾股定理即可求得． 【详解】（1）点E是边AC的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 四边形ADCF是平行四边形； （2）点D是边BC的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当四边形ADCF是菱形时， ， ， 是直角三角形， （3）是直角三角形，AB＝6，BC＝10， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形ADCF是菱形， 菱形，， DG⊥CF， 菱形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键． 16.（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，是上一个动点，为的中点，连接并延长，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若cm，cm，点从点出发，以1cm/s的速度向点运动（不与点重合），设点的运动时间为秒，求当为何值时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）运动时间为s时，四边形时菱形． 【分析】（1）在矩形中，为的中点，可证，可得到，即可证得结论； （2）根据题意可得cm，cm，根据四边形是菱形，可得cm，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）在矩形中 即 ∴ ∵为的中点 ∴ 又∵（对顶角相等） ∴（ASA） ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）由题意：cm 则cm 当四边形是菱形时有cm ∵四边形是矩形 ∴ 在中， ∴ 解得 ∴运动时间为s时，四边形时菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的判定，及矩形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的判定的方法，在动态中找不变的关系． 17.（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末） 如图，已知为矩形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形； （2）根据以及，即可解决问题． 【详解】（1）证明∶，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； （2）解∶ 在中， ，，， ， 矩形的面积， ， ． 18.（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． (1)求证：． (2)若，试证明四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题； （2）先证明AD=CD，根据已知可得AB=AD=CB=CD，利用四边相等即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC； （2）证明：∵， ∴∠BAC=∠DCA， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题 19.（20-21八年级下·新疆吐鲁番·期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点． （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； （2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形； （3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的判定定理即可得到结论； （3）根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵M、N分别是AD和BC的中点， ∴AM＝，CN＝， ∴AM＝CN， ∵AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形； （2）∵AC＝CD，M是AD的中点， ∴CM⊥AD， ∴∠AMC＝90°， 由（1）知，四边形AMCN是平行四边形， ∴平行四边形AMCN是矩形； （3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点， ∴CM＝AD＝AM， 由（1）知，四边形AMCN是平行四边形， ∴平行四边形AMCN是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 考点06 正方形 1.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 2.（20-21八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠PCD的度数是（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．67.5° 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理即可求得 【详解】四边形ABCD是正方形 , BP＝BC 故选A 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，是解题的关键． 3.（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，在边长为1的正方形中，点在边上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，尺规作线段； 设，可得，表示出，然后利用勾股定理构建方程求出即可． 【详解】解：由作图得：， 设，则， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为， 故选：B． 4.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的对角线的长为______． 【答案】2 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵菱形的边长为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 5.（24-25八年级下·新疆和田·期末）如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查正方形中的最小值问题．解题的关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．也考查了垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，勾股定理． 连接，，，根据正方形的性质得，推出，当、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为线段的长，进一步得到，，，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正方形的对角线互相垂直平分， ∴， ∴，当、、共线时，取“”， 此时取得最小值，最小值为线段的长， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 6.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题．当和全等时，一定为直角三角形，点在上时，不能构成三角形；点在上时构成的不是直角三角形，此时两个三角形不能全等；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度可以求出运动的时间；当点在上时，此时点运动的路程为，根据运动的速度求出运动的时间即可． 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 7.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．现有如下3个结论：①；②；③的长为4．其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，折叠的性质可证明，得出，结合可判断①；利用全等三角形的性质，折叠的性质得出，，结合可判断②；在中，利用勾股定理求出，即可判定③． 【详解】解：∵正方形的边长为12，， ∴，，， ∵翻折， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 在中，， ∴， 解得，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键． 8.（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，与相交于点O，下列结论：①；②；③；④中，正确的是________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，求出和全等是解题的关键，也是本题的突破口． 根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断③错误；由，，得到，则从而判断④正确． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在中，， ，故②正确； 假设， 已证）， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ，， ， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 9.（22-23八年级下·新疆伊犁·期末）如图，点E，点F分别是正方形的边和上的点，且，与相交于点O，下面的几个结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号有________．    【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质证明，可得，，，然后求出，，即可得出①②③正确；然后根据，可知，④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，①正确； ∴，， ∴，，③正确； ∴，②正确； 连接，    ∵， ∴， ∵， ∴，④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 10．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，，可得，故④正确，由等腰三角形的性质可得，平分，故①②正确，由可得，则，与互相矛盾；故③错误； 即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点N，    ∵四边形是正方形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵E是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∵，， ∴，平分，故①②正确， 若，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，与互相矛盾；故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．（21-22八年级下·新疆喀什·期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交CD，BC于点E，F，且，连接EF交OC于点G．给出下列结论：①△COE≌△BOF；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案． 【详解】解：①在正方形ABCD中，OC=OB，∠BOC=90°，∠OCD=∠OCB=45°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOF=∠BOC， ∴∠EOF-∠COF=∠BOC-∠COF， ∴∠COE=∠BOF，在△COE和△BOF中， ， ∴△COE≌△BOF（ASA）， 故①正确； ②在正方形ABCD中，∠BAC =45°， 故②正确； ③∵△COE≌△BOF， ∴CE=BF， 故③正确； ④∵△COE≌△BOF， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用“ASA”证明出△COE≌△BOF． 12.（22-23八年级下·新疆伊犁·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误，故A不符合要求； 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形，错误，故B不符合要求； 对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C符合要求； 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误，故D不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 13.（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 14.（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F． (1)证明：DP＝EF (2)若正方形ABCD的边长为6，，求PE的长． 【答案】(1)见解析 (2)6-3 【分析】（1）如图1，连接PB，由正方形的性质得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP=EF，从而等量代换可证得DP=EF； （2）先根据勾股定理计算AC，根据∠ADP：∠PDC=1： 3和三角形内角和定理可得∠CPD=∠CDP，计算AP，由△AEP是等腰直角三角形，可得PE的长． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接PB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， 又∵PC= PC， ∴△CBP≌△CDP(SAS)， ∴DP= BP， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB=∠ABC=∠PFB=90°， ∴四边形BFPE是矩形， ∴BP=EF， ∴DP=EF； （2）在Rt△ADC中，AD=CD=6， ∴AC=， ∵∠ADP：∠PDC=1：3，∠ADC=90°， ∴∠CDP=67.5°， ∵∠DCP=45°， ∴∠CPD=180° -45° - 67.5°=67.5°， ∴∠CPD=∠CDP， ∴PC=CD=6， ∴AP=6-6， ∵∠EAP=45°， ∠AEP=90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴AE=PE，AE2+PE2=AP2， ∴2PE2=(6-6)2， 解得PE=6-3． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 15.（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，在边长为2的正方形中，P是边上一动点，是正方形的内接正方形，，．求的最小值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，根据正方形的边长为2，得出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知：， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 16.（24-25八年级上·新疆喀什·期末）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论； （2），延长交于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 17.（22-23八年级下·新疆·阶段检测）如图所示中，，，的平分线交于D点，于点E，于点F．    (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形为正方形； （2）利用三角形面积求法得出的长． 【详解】（1）证明：过点D作于点N，    ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵，的平分线交于D点，于点N，于点E，于点F， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， 则， 故． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出是解题关键． 18.（22-23八年级下·新疆喀什·期末）如图，正方形中，点是边上的一点（不与点、重合），连接，平分，交边于点．过点作，与的延长线交于点    (1)根据题意，请把原图画完整； (2)证明：； (3)试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)原图画完整见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）画图即可； （2）证明，可得结论； （3）由（2）得：，得，根据，得，根据线段的和可得结论：． 【详解】（1）如图所示，    （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）， 理由是：由（2）得：， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，垂直的意义，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本题的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题． 考点07 四边形的综合压轴题型 1.（24-25八年级下·新疆巴州·期末）如图，在中，，点D在上，且．点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为 过点P的直线，交于点Q，连接，设运动时间为t（单位：s）（） 解答下列问题： (1)线段 ， ．（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）分两种情况：①当点M在点D的上方时，，，，得出，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点M在点D的下方时，，，，得出，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分以下两种情况： ①当点M在点D的上方时，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当，即当时，四边形是平行四边形， 解得； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，即当时，四边形是平行四边形， 解得． 综上所述，当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 2.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，，，过点、作于点，于点E．求证：，．萌萌发现只需证明即可； 【类比迁移】（2）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． ①如图2，求点的坐标； ②如图3，若交轴于点，交轴于点M，N是上一点，且，连接．求证； 【拓展延伸】（3）如图4，点，点，若点不动，点在x轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请直接写出其长度． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）的长度不变化，且． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，余角的性质，证明全等即可． （2）①过点B作轴于点G，证明，得，．，结合已知解答即可； ②过点B作于点B，交轴于点，先证明，得到，再证明，结合，得到，等量代换可得． （3）过点于点Q，连接， 证明，四边形是平行四边形，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：； （2）①解：过点B作轴于点G， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵点，点， ∴，． ∴， 由点在第四象限． 故． ②解：如图，过点B作于点B，交轴于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：的长度不变化，且，理由如下： 过点E作于点Q，连接， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴， ∴， 故的长度不变化，且． 3.（22-23八年级下·新疆·期末）已知，如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接．    (1)动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，和全等？ (2)若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点E运动，连接．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由． 【答案】(1)当t为3或13时，和全等 (2)存在，当或4或时，为等腰三角形 【分析】（1）若和全等，可分或两种情况，分别根据“时间＝路程÷速度”求出t的值即可； （3）先根据矩形的性质和勾股定理求得,分三种情况讨论，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出BP，进而得到t的值即可． 【详解】（1）解：若和全等，则或， 当时，则秒， 当时，则秒， ∴当t为3秒或13秒时，和全等． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中， ， 若为等腰三角形，则或或， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述：t的值为3或4或．    【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握分类思想解决问题是本题的关键． 4.（25-26八年级上·新疆·期末）如图，在中，，，垂直于直线，垂足为点． (1)求作的角平分线，交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)连接，请补全图形，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，尺规作图作垂直平分线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角平分线的判定定理． （1）根据等腰三角形三线合一可知，作的角平分线，即作的垂直平分线； （2）过点E作交于N，过点E作交延长线于M，由作图可知E为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等角的补角相等得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：如图，过点E作交于N，过点E作交延长线于M， ∵在中，，是的角平分线， ∴E为中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 5.（23-24八年级下·新疆·期末）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)__________，__________（用表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或12秒 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （3）分三种情形讨论①当时，②当时．③若，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动 ∴ ∴ ∵ ； 故答案为：， （2）四边形能成为菱形．理由如下： 解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ， ， ， ，解得：， 即当时，四边形能够成为菱形； （3）解：①当时，由（2）知四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 又，即，解得：； ②当时，四边形为矩形， 在中，， ， ，即， 解得：． ③若，则与重合，与重合，此种情况不存在． 综上所述，当或12秒时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 6.（24-25八年级下·新疆·期末）如图，在中，F是的中点，E是线段的延长线上一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，则在点E的运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形，说明理由． ②当为何值时，四边形是矩形，请直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析；②当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握相关判定方法和性质是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）①根据菱形的性质，推出是等边三角形，即可得出结果；②根据四边形是矩形，推出，根据含30度角的直角三角形即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ②当时，四边形是矩形，理由如下： 当四边形是矩形时，． ∵， ∴． ∴． ∴. 7.（20-21八年级下·新疆·期末）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：； （2）取的中点，连接，求证：； （3）如图2，若点是边上的任意一点（不含点，），，且交正方形外角的平分线于点，是否仍然成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和等角的余角相等证明即可； （2）根据正方形的性质和中点定义证得，进而是等腰直角三角形，结合角平分线的定义可得=135°，根据全等三角形的判定证明即可得出结论； （3）成立，在上截取，连接，同（2）方法证明即可证明结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）取的中点，连接． ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴； （3）成立，证明如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 与（2）同理可证， 与（1）同理可证， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、等角的余角相等、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用类比方法构造全等三角形是解答的关键． 8.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）【问题提出】如图，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究线段、和线段的数量关系如下： 【尝试探究】小明同学研究思路如下： （1）观察猜想：； （2）分析问题：这是一个不共线的线段和问题，通常可以通过“截长”或“补短”的方法将其中两条不共线的线段转化为共线线段； （3）制定方案：通过“截长”发现此路不通，于是采取“补短”的方法解决问题； （4）实施方案：延长到点，使得，连接，从而解决问题． 请你帮助小明完成对猜想的证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，上述猜想的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，请直接写出的周长． 【答案】[尝试探究]见解析；[模型建立]成立，见解析；[拓展应用]． 【分析】[尝试探究]延长到点，使得，证明，，再由全等三角形的性质即可求证； [模型建立]延长，连接，由折叠性质可知，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； [拓展应用]延长至，使，同上理可得，则，再证明，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：[尝试探究]证明：延长到点，使得， ∵四边形形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； [模型建立]证明：仍然成立，理由， 如图，延长，连接， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； [拓展应用] 解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 延长至，使， 同上理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 9.（22-23八年级下·新疆·期末）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形  ②矩形  ③菱形  ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．    【答案】【知识感知】③④【性质探究】，证明见解析【性质应用】 【分析】知识感知：根据垂美四边形的定义和以上四边形的性质即可判断； 性质探究：利用勾股定理分辨表示出四条边即可得出关系并求证； 性质应用：先证明，得到,再利用性质探究中的结论和勾股定理即可求解． 【详解】知识感知：∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴属于垂美四边形的是③④； 性质探究：； 证明：， ∴，，,， ∴， 即； 性质应用：∵正方形和正方形， ∴， ∴, ∴， ∴， 又∵, ∴, ∴， ∴, 连接， ∵，，， ∴,，， ∴， ∴．    【点睛】本题为新定义题型，考查了正方形菱形的性质和勾股定理的应用，解题关键是理解题意，发现边之间的关系，本题有一定的运算量，需要细心对待． 10.（22-23八年级下·新疆·期末）在正方形中，，点E为对角线上一点（不与B、D重合），且，连接，过点E作交于点F，请根据题意，补全图形．    (1)连接，求证：： (2)当点F恰为的三等分点时，求的长； (3)作平分交于点G．交于点H，当时，试判断与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）四边形是正方形得到，是对称轴，则，由得到，由，则，又由得到，，则，即可得到结论； （2）如图，过点E作于点M，交于点N，证明，则，由，则，点F为的三等分点，当时，，则，当时，，则； （3）由四边形是正方形得到，，平分，则，则，得到，，进一步得到，由等腰三角形的判定和性质可得，，则，得，则，又由即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，是对称轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点E作于点M，交于点N，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F为的三等分点， ①当时， ， ∴，      ②当时，     ， ∴； 综上可知，的长为或； （3）解：如图，连接交于点P，    ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 11.（23-24九年级上·新疆·期末）在综合实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在 上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点 G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图①中的度数为 ； 【拓展应用】 （2）小华在以上操作的基础上，继续探究，如图②，延长交于点M，连接交于点N，试判断的形状，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图③，已知正方形的边长为3，当点 H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，求线段的长． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【分析】（1）由折叠的性质可得，从而可得； （2）由折叠可得，，证明，可得，然后求出，进而可得，因此为等边三角形； （3）由点H是边的三等分点得到或，分两种情况讨论：①当时，，，易证，从而设，则，，在中，根据勾股定理有，求解即可；②当时，同①思路即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠的性质可得，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：为等边三角形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （3）连接； ∵点H是边的三等分点， ∴或， ①当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，， ∵，，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵在正方形中，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 12.（23-24八年级下·新疆·期末）以四边形的边，为边分别向外侧作等边和等边，连接，，交点为G．    (1)当四边形为正方形时（如图1），直接说出和有什么数量关系． (2)当四边形为矩形时（如图2），和具有怎样的数量关系？请加以证明； (3)四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出的度数． 【答案】(1)EB＝FD (2)EB＝FD，证明见解析； (3)∠EGD不发生变化，仍然是60°． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，△AFD≌△ABE，则=； （2）由（1）同理可证△AFD≌△ABE，从而得出EB=FD； （3）由（2）同理得：△FAD≌△BAE，则∠AEB=∠ADF，再利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：EB=FD，理由如下： ∵△ADE、△ABF是等边三角形， ∴AE=AD，AB=AF，∠DAE=∠BAF， ∴∠BAE=∠DAF， ∴△AFD≌△ABE（SAS）， ∴EB=FD， （2）EB=FD，理由如下： ∵△AFB为等边三角形， ∴AF=AB，∠FAB=60， ∵△ADE为等边三角形， ∴AD=AE，∠EAD=60， ∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD， 即∠FAD=∠BAE， ∴△FAD≌△BAE（SAS）， ∴EB=FD； （3）不变，理由如下： 由（2）同理得：△FAD≌△BAE， ∴∠AEB=∠ADF， 设∠AEB为x，则∠ADF也为x， 于是有∠BED为(60-x)，∠EDF为(60+x)， ∴∠EGD=180-∠BED-∠EDF=180-(60-x)-(60+x)=60． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△FAD≌△BAE是解题的关键． 13.（21-22八年级下·新疆·期末）已知正方形ABCD的边长等于4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边长作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH． (1)如图1，当点E为AD中点时，连接BE，BH，求证：四边形BEFH为菱形； (2)如图2，连接EH，若，求的面积； (3)在点E的运动过程中，求AF的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)AF的最小值是 【分析】（1）先证，推出，，再结合正方形的性质得出，，得出四边形BEFH为平行四边形，再由得出，即可证明四边形BEFH为菱形； （2）连接EH，连接DF，过点F作，交AD延长线于点M，利用求解； （3）连接AF，先证，设，则，，由勾股定理得，可知当，即点E与点A重合时，AF有最小值． 【详解】（1）证明： 四边形ABCD是正方形， ，． 又E为AD中点，H为CD中点， ， 在与中， ， ． ，． ， ， ， 在正方形CEFG中，，， ，， 四边形BEFH为平行四边形． 同理可证， ， 四边形BEFH为菱形； （2）解：如图，连接EH，连接DF，过点F作，交AD延长线于点M， ， ． ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，连接AF， 由（2）可知，， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得． 当，即点E与点A重合时，AF有最小值． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，三角形面积公式以及勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度，综合运用上述知识点、正确作出辅助线是解题的关键． 14.（20-21八年级下·新疆·期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $