专题19 立体几何大题15种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何15类核心考法，以题型归类构建从基础计算到空间角证明的递进训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|6题|表面积体积、最短距离、内切外接球|从几何体度量到空间几何量计算| |平行垂直证明|18题|线面/面面平行垂直及性质应用|位置关系判定与性质的逻辑推理| |空间角与距离|22题|异面直线角、线面角、二面角、点面距|空间角距离的转化与计算| |综合应用|15题|探索性问题、翻折、最值|知识综合应用与空间想象能力|

专题19 立体几何大题15种常考考法归类 题型一 求空间几何体的表面积和体积 题型九 直线与平面平行、垂直的探索性问题 题型二 线面平行 题型十 异面直线所成的角 题型三 面面平行 题型十一 直线与平面所成的角 题型四 线面平行、面面平行性质的应用 题型十二 二面角 题型五 线线垂直 题型十三 点到面的距离 题型六 线面垂直 题型十四 翻折问题 题型七 面面垂直 题型十五 立体几何的最值问题 题型八 面面垂直性质的应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求空间几何体的表面积和体积 1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解； （2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解； （3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解. 【详解】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积. （2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ，，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. （3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积. 2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径； （2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意. 即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 由正弦定理。，解得，则， 又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以； 则三棱柱的表面积为. 3．（2026高一·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)（i）10（ii）； (2) 【分析】（1）（i）易得，再根据长方体的表面积公式求解即可； （ii）根据即可求出三棱锥的体积，易得三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出半径，再根据球的体积公式求解即可； （2）由题意可得，从而可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 4．（2026高一·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，计算即可； （2）结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可. 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 5．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 6．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解． 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以，的内切圆半径， 圆柱的高 ，所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点， 则，，所以，外接球半径， 体积 ． 题型2 线面平行 7．（2026高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 8．（2026高一·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 9．（2026高一·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 10．（2026高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)连接，，则交于点，如下图所示， 因为分别为，的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）利用可得答案. 【详解】（1）略 （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 11．（2026高一·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 12．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 题型3 面面平行 13．（2026高一·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 14．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 15．（2026高一·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 16．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 17．（2026高一·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 18．（2026高一·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 题型4 线面平行、面面平行性质的应用 19．（2026高一·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【详解】（1）证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 20．（2026高一·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面. （1）求证：； （2）若E是的中点，F在上，平面，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）通过证明平面来证明. （2）利用线面平行的性质，由平面，得到，进而求得的值. 【详解】（1）因为平面，所以. 因为四边形是矩形，所以， 因为，所以平面，所以. （2）连接交于，连接. 由于平面，平面平面，所以. 所以， 由于且是的中点，所以， 所以. 【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面平行求比值，属于中档题. 21．（2026高一·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 22．（2026高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面； （2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值； （3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 23．（2026高一·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，直线平面. 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）由三棱柱的性质可得：， 平面，平面， 所以平面. （2） 当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以， 因为是的中点，所以为的中点，是的中点， 所以在中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面. 即当时，直线平面. 题型5 线线垂直 24．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 25．（2026高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面BCD，则； (2) 【分析】（1）由题证明平面BCD，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先证明平面，可得即为线面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面， 所以平面， 所以即为和平面所成角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 即和平面所成角的余弦值为． 26．（2026高三·安徽·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，，分别为棱，的中点. (1)证明：； (2)若，，，求三棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明. （2）分别求得三棱台的上、下底面面积，利用棱台的体积公式求得三棱台的体积. 【详解】（1）如图，连接. 因为平面，平面，所以.     因为，是的中点，所以，     又平面，所以平面.     因为平面，所以. （2）由勾股定理得， ，.     于是下底面面积， 由，得上底面面积.     故三棱台的体积. 27．（2026高一·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 28．（2026高一·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论., 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . 题型6 线面垂直 29．（2026高一·河北唐山·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； （2）要求四棱锥的体积，根据四棱锥体积公式，（为底面积，为高），需要先求出底面正方形的面积和四棱锥的高. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以, 因为，且平面, 所以平面； （2）因为平面，所以为直线与平面所成的角， 因为是正方形，且， 所以，所以， 因为与平面所成的角为， 所以，解得：， 所以四棱锥的体积为. 30．（2026高一·河北雄安·期末）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. (1)求证：平面POC； (2)求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，证得为正三角形，再结合圆锥的结构特征，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）取的中点，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）连接，延长交于点，由AB为底面圆O的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，是中点，取的中点，连接，则， 是异面直线AD与BP所成的角或其补角，， ，， 所以异面直线AD与BP所成角的余弦值为. 31．（2026高一·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【详解】（1）分别为的中点，． 平面平面平面． （2）如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. （3）将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)在棱上是否存在点E，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）要证明线面垂直，需要证明该直线与平面内的两条相交直线垂直，即证明. （2）先根据勾股定理求出，然后利用余弦定理求出，然后求出的面积，最后根据等体积法求出到平面的距离. （3）利用空间向量法来求线面角，针对动点对应到的可以利用线性运算来表示坐标，从而可求解比值. 【详解】（1） 因为，所以， 所以. 在中，， 根据余弦定理， 所以有，所以， 又平面. 所以平面. （2）因为，根据勾股定理. 在中，， 根据余弦定理. 所以. 所以，. 设到平面的距离为， 根据等体积法得，解得. 所以到平面的距离为. （3） 因为平面，所以如图建立以点为坐标原点的空间直角坐标系， 由于，， 则，因为，所以， 因为，所以， 即有，， 设，则， 即有， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 由直线与平面所成角的正弦值为可得： ， 化简得：， 因为，所以. 33．（2026高一·河北秦皇岛·期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. (1)证明：. (2)证明：平面. (3)证明：⊥平面CDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据正三角形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理 （3）根据勾股定理逆定理，结合（1）中结论、线面垂直的性质和判定定理进行证明即可. 【详解】（1）因为△ABC为正三角形，D为AB的中点， 所以，因为平面ABC，平面ABC， 所以.因为平面平面， ，所以平面. 因为平面，所以. （2）连接，设与交于点F，则F为的中点. 连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则. 又平面平面，所以平面. （3）易得，则， 所以. 由（1）可知CD平面，所以. 因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE. 34．（2026高一·四川巴中·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，平面即可得证； （3）由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点，中， 、分别为、的中点，所以，平面， 平面，所以平面； （2）连接，中， 、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，， 所以平面，所以平面； （3）设，并连接， 由（2）可知平面， 所以直线与平面所成的角为， 设正方体边长为，中，，，所以， 所以直线与平面所成的角的大小为. 35．（2026高一·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 36．（2026高一·湖北恩施·期末）如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）需要找出与平面所成角,再通过几何关系计算其正切值. 【详解】（1）证明：由平面，平面ABC，故． 又，平面，且，平面， 又平面，．又，平面，且， 平面． （2）证明：由（1）得，平面，又平面， 又，平面，且，平面， 在平面内的射影为，在平面成角为， 又，根据面积可得，,即，解得， 在中，根据勾股定理可得，,故 与平面所成角的正切值为. 题型7 面面垂直 37．（2026高一·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 【答案】(1)面，平面， ， ，，、平面， 平面． (2)，， ． 又面，面， ， ，平面， 平面， 平面， 平面平面． (3) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由条件确定平面，即可证明； （3）通过平面，得到，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）平面，平面平面，平面， ， 在中，点为中点， 点为中点， ． 38．（2026高一·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 39．（2026高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 40．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 41．（2026高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 42．（2026高三·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形得，由底面得，故平面，从而平面平面； （2）设，由体积公式及已知体积解得；利用中位线得 且 ，，由 平面知线面角为，计算得角的大小. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 43．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）根据正三棱柱的性质可证平面，进而可证； （2）连接，交于点，通过平行四边形的性质可证，结合平面，可证平面，由面面垂直的判定定理可证结论； （3）取的中点，可证平面，过点作的垂线，垂足为点，则为平面与平面夹角的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设． 因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点， 所以，，． 在中，， 所以． 在中，由等面积法，得， 则． 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为． 题型8 面面垂直性质的应用 44．（2026高一·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 45．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 46．（2026高一·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 47．（2026高一·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    48．（2026高一·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 题型9 直线与平面平行、垂直的探索性问题 49．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 50．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在为线段中点，证明见解析； (3)作图见解析，截面周长为. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 51．（2026高三·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线线平行可证得四点共面； （2）利用等体积法求三棱锥的体积. 【详解】（1）存在，当G为PA的中点，点D，C，E，G共面． 证明如下： 取PA的中点G，连接EG， 又∵点E是PB的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段PA上存在一点G，使得点D，C，E，G共面． （2）∵E为PB的中点，∴，则， ∵底面直角梯形中，，，ABAD，∴， 而PC⊥底面ABCD，且， ∴， 则三棱锥的体积为. 52．（2026高一·山东泰安·期末）在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．    (1)证明：平面； (2)若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； (3)若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用余弦定理，结合题意求出，然后找角：方法1，作于，连接，则在平面的射影为，利用已知条件证明，，则为二面角的平面角； 方法2： 取中点为，连，，则，，则为二面角的平面角，然后求出二面角的余弦值即可； （3）先证明平面平面，过作于，利用已知条件确定点的位置，结合已知所给条件画出平面图分析求出即可. 【详解】（1）由题意知，又平面，平面 所以平面 （2）在中，由余弦定理 ，， ， 在翻折过程中，， 为二面角的平面角 平面平面， ， 又，且，平面， 平面 为中点， 法1：作于，连接 则在平面的射影为 平面， 且，平面， 平面 ，平面，， 为二面角的平面角，设 法2：，， 取中点为，连，，则， 为二面角的平面角，设 ，， 又，， ，， 二面角的余弦值为 （3）， ，平面，， 平面 平面， 平面平面 过作于，   平面平面，平面， 平面 平面， 当且仅当，显然，在线段延长线上 如图，作于    则和都是等腰直角三角形 为中点， 设，则， ， 即，，故存在，使得 其中，在平面上射影为 在延长线上，且 53．（2026高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 54．（2026高一·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 题型10 异面直线所成的角 55．（2026高一·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 56．（2026高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)连接， 分别为的中点，，， ，； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形，； 平面，，平面， 平面，. (2) 【分析】（1）根据平行关系和等腰三角形三线合一性质可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为（或其补角），根据长度关系和余弦定理可求得结果. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，连接， 四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. 57．（2026高一·安徽六安·期中）如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 58．（2026高一·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 59．（2026高一·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 60．（2026高一·福建莆田·期末）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，求证，即可由线面平行判定定理得证； （2）先由（1）得为异面直线与所成的角或其补角，再在中，由余弦定理即可得解. 【详解】（1）证明：连接交于，连接， 侧面为平行四边形，为的中点. 又点为的中点，， 又平面平面， 平面. （2）由（1）得为异面直线与所成的角或其补角. 在棱长均为2的正三棱柱中，，，， 在中，由余弦定理得， 异面直线与所成的角的余弦值为. 61．（2026高一·山东济南·期末）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线以及平行四边形的判定可证明为平行四边形，即可由线面平行的判定求解， （2）根据平行可得或其补角即为直线CN与AM所成角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面 （2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线CN与AM所成角的余弦值为 题型11 直线与平面所成的角 62．（2026高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)连接，因为为正方形，，则为的中点， 同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 连接，在中，、分别为、的中点，所以， 在正方形中，， 在正方体中，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 又因为，所以平面. (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，即可证得平面； （3）设，并连接，由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 63．（2026高一·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 64．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 65．（2026高一·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 66．（2026高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可； （2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证； （3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 67．（2026高一·新疆喀什·期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证； （2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）四边形是菱形，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面. （2）（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是， ，，又， 所以， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积. （ⅱ）平面，平面，，， 所以，， 因为，所以即为异面直线与所成角（或补角）， 又，所以在中，由余弦定理， 即，解得， 所以为锐角，即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值. 题型12 二面角 68．（2026高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点，所以在中，， 因为平面， 平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）取中点，求证为二面角 的平面角，结合三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 69．（2026高一·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【详解】（1）连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM； （2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为； （3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或， 70．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 71．（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 72．（2026高一·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)，，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明二面角的平面角为，再利用余弦定理解即可. 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 73．（2026高一·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 74．（2026高一·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 题型13 点到面的距离 75．（2026高一·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 76．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 77．（2026高三·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 78．（2026高二·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【详解】（1）取的中点，连结，    因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）作于，由（1）知平面即为平面，    因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面， 所以即为点到平面的距离。 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 79．（2026高一·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平面得，结合利用线面垂直的判定定理可证； （2）取为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证； （3）利用等体积法计算出三棱锥的体积，再求出的面积，即可求得点B到平面ACE的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 80．（2026高一·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 81．（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 题型14 翻折问题 82．（2026高一·全国·期末）如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直； (2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离； (3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可. 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 83．（2026高一·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 84．（2026高一·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 85．（2026高一·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 86．（2026高一·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）取中点，作，且，连接，证明平面，作于点，连接，证明是直线与平面所成角，然后求出其正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）取中点，作，且，连接， 则是平行四边形，所以，是中点，则，所以， 因为平面，平面，所以平面，即平面， 所以平面. 由（1）知平面，平面，所以，同理， 所以， 作于点，连接， 因为，平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为平面，所以平面， 平面，则， 所以是直线与平面所成角， 在中，由得， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型15 立体几何的最值问题 87．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 88．（2026高一·湖南邵阳·期末）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作平面交平面于点，连接，则直线为直线在平面内的射影.在平面内，过点作交于点，过点作交于点，连接、，证明出，可得出，再证明出，可得出，即可证得结论成立； （2）由（1）得，结合锐角三角函数的定义可证得结论成立； （3）在平面中，作交于点，由面面垂直的性质定理得出平面，设，由得出，代入得出，结合可求得的取值范围，即为所求. 【详解】（1）如图，过点作平面交平面于点，连接， 则直线为直线在平面内的射影. 在平面内，过点作交于点， 过点作交于点，连接、. 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证. 又，，所以，所以. 又，所以，所以， 即为的角平分线，故直线在平面上的射影平分. （2）由（1）可知，，，. 所以，即. （3）如图所示，在平面中，作交于点， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面平面，，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面，由（1）知平分. 设，在中，因为， 所以. 即，所以①， 又由（2）得：，所以②， 将②代入①得：，即，所以. 又，所以，故棱的长度的取值范围为. 89．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，则，即可求解； （2）（i）连接，由已知得，面，即，即证面，即二面角的平面角，在中计算即可； （ii）连接，由面，得直线与平面所成角为有，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以， 所以； （2） （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 90．（2026高一·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【详解】（1）如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． （3）如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 91．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． （2）如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． （3）如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． $专题19 立体几何大题15种常考考法归类 题型一 求空间几何体的表面积和体积 题型九 直线与平面平行、垂直的探索性问题 题型二 线面平行 题型十 异面直线所成的角 题型三 面面平行 题型十一 直线与平面所成的角 题型四 线面平行、面面平行性质的应用 题型十二 二面角 题型五 线线垂直 题型十三 点到面的距离 题型六 线面垂直 题型十四 翻折问题 题型七 面面垂直 题型十五 立体几何的最值问题 题型八 面面垂直性质的应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 求空间几何体的表面积和体积 1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 3．（2026高一·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 4．（2026高一·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 5．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 6．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积． 题型2 线面平行 7．（2026高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 8．（2026高一·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 9．（2026高一·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 10．（2026高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 因为分别为，的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面. 11．（2026高一·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 12．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 题型3 面面平行 13．（2026高一·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 14．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（2026高一·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 16．（2026高一·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 17．（2026高一·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 18．（2026高一·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 题型4 线面平行、面面平行性质的应用 19．（2026高一·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 20．（2026高一·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面. （1）求证：； （2）若E是的中点，F在上，平面，求的值. 21．（2026高一·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 22．（2026高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 23．（2026高一·广东深圳·期中）如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 题型5 线线垂直 24．（2026高二·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 25．（2026高一·全国·期末）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 26．（2026高三·安徽·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，，分别为棱，的中点. (1)证明：； (2)若，，，求三棱台的体积. 27．（2026高一·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 28．（2026高一·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 题型6 线面垂直 29．（2026高一·河北唐山·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 30．（2026高一·河北雄安·期末）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. (1)求证：平面POC； (2)求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 31．（2026高一·甘肃天水·期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)在棱上是否存在点E，使直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 33．（2026高一·河北秦皇岛·期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. (1)证明：. (2)证明：平面. (3)证明：⊥平面CDE. 34．（2026高一·四川巴中·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 35．（2026高一·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 36．（2026高一·湖北恩施·期末）如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值． 题型7 面面垂直 37．（2026高一·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 38．（2026高一·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 39．（2026高一·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 40．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 41．（2026高一·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 42．（2026高三·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 43．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 题型8 面面垂直性质的应用 44．（2026高一·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 45．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 46．（2026高一·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 47．（2026高一·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 48．（2026高一·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 题型9 直线与平面平行、垂直的探索性问题 49．（2026高一·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 50．（2026高一·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 51．（2026高三·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积． 52．（2026高一·山东泰安·期末）在中，，，，是边上的动点（不与，重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为，得到四棱锥，如图所示．    (1)证明：平面； (2)若为中点，且平面平面，求二面角的余弦值； (3)若为中点，是否存在点，，使得，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 53．（2026高一·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 54．（2026高一·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 题型10 异面直线所成的角 55．（2026高一·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 56．（2026高一·全国·期末）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 57．（2026高一·安徽六安·期中）如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 58．（2026高一·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 59．（2026高一·安徽合肥·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 60．（2026高一·福建莆田·期末）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 61．（2026高一·山东济南·期末）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 题型11 直线与平面所成的角 62．（2026高一·四川·期末）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 63．（2026高一·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 64．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 65．（2026高一·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 66．（2026高一·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 67．（2026高一·新疆喀什·期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 题型12 二面角 68．（2026高一·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 69．（2026高一·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 70．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 71．（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 72．（2026高一·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 73．（2026高一·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 74．（2026高一·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 题型13 点到面的距离 75．（2026高一·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 76．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 77．（2026高三·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 78．（2026高二·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 79．（2026高一·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 80．（2026高一·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 81．（2026高一·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 题型14 翻折问题 82．（2026高一·全国·期末）如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 83．（2026高一·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 84．（2026高一·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 85．（2026高一·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 86．（2026高一·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型15 立体几何的最值问题 87．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 88．（2026高一·湖南邵阳·期末）如图，已知在四面体中，，. (1)求证：直线在平面上的射影平分； (2)记直线与平面所成的角为，求证：； (3)若，，二面角为直二面角，求棱的长度的取值范围. 89．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 90．（2026高一·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 91．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． $