专题16 立体几何中的截面、交线问题8种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何截面与交线8类考法，以题型归类为框架，构建从作图到计算、从定性到定量的递进式训练体系，培养空间想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作截面问题|4题|空间平面作图，结合中点、特定点|平面基本性质应用，空间图形直观构建| |截面形状|13题|判断截面多边形类型（选择/多选）|几何体结构与平面截痕关系，空间想象| |截面面积计算|8题|面积计算及最值，涉及动点|图形边长、角度计算，函数思想应用| |截面周长计算|10题|周长计算，含多面体与旋转体|线段长度求解，空间距离转化| |截面体积计算|6题|体积分割与比例，柱锥台体积|体积公式与比例性质，空间分割| |球与截面问题|4题|球的截面半径、距离及体积|球的截面性质，勾股定理应用| |截面的最值问题|5题|面积、周长最值，含动点|几何不等式与函数最值，优化思想| |交线问题|5题|面面交线长度及夹角|面面平行与相交性质，空间交线定位|

专题16 立体几何中的截面、交线问题8种常考考法归类 题型一作截面问题 题型五截面体积计算 题型二截面形状 题型六球与截面问题 题型三截面面积计算 题型七截面的最值问题 题型四截面周长计算 题型八交线问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 作截面问题 1．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 2．（2026高二·上海普陀·阶段检测）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点． （1）作出过点E、F、的截面； （2）求证：平面. 【答案】（1）见详解  （2）见详解 【分析】（1）延长EF，分别与DA,DC相交，如下图连接形成区域图像即是点E、F、的截面 。（2）通过 【详解】(1)如图所示：延长EF，分别与DA,DC相交，连接形成的多边形IEFJD1即是点E、F、的截面。 （2）是AB,BC的中点 又 又 且 平面. 【点睛】此题考查线面平行证明，在面内找一条线与已知直线平行即可，属于简单题目。 3．（2026高三·全国·二轮复习）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 【答案】答案见解析 【分析】作截面图，就是要找到面与直四棱柱相关面的交线，画交线的关键就是找两个公共点，没有明显的公共点，首选延长那些同时在直四棱柱面上的线. 【详解】作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F; （2）连接EF交AB于T，交AD于S; （3）连接RS，TP,则五边形PQRST即为所求截面． 4．（2026高一·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，五边形即为所求截面，得到答案. （2）根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案. 【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 题型2 截面形状 5．（2026·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 6．（2026·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解. 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接， 则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形. 其中因为，，， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 则， 显然，则，所以. 故选：C 7．（2026高二·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 8．（2026高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 9．【多选】（2026高一·甘肃金昌·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为 C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥是鳖臑，即四个面均为直角三角形 【答案】ABD 【分析】由与是异面直线可判断A；取的中点为，与所成的角即为与所成的角，即或其补角，求得可判断B；分别取，的中点为，，可得平面截该正方体所得截面即为六边形可判断C；求出四个面均为直角三角形可判断D. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内， 它们是异面直线，即A正确； 对于B，取的中点为，连接，，如下图所示： 由正方体性质可知，又，所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，， 满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示： 易知，，， 即可知M，G，N，P，R，F在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，，，，因为，所以， 即，因为，所以平面， 平面，所以，且 ，， 所以，所以四个面均为直角三角形，故D正确. 10．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，取的中点，的中点，的中点，证明都在平面内，由此可得结论. 【详解】因为多面体 正方体，所以，，， 如图：以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 取的中点，的中点，的中点， 可得，，， 所以，，， 因为，，， 所以点都在平面内， 连接， 所以过点的正方体的截面为六边形， 故选：A. 11．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）若用一个平面去截正方体，则截面可能出现的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角梯形 C．菱形 D．五边形 【答案】ACD 【分析】利用作截面图，结合正方体性质可作出判断，针对B选项，则利用反证法，结合空间平面与直线的位置关系可进行证明. 【详解】如图，用一个平面去截正方体，如下图截面出现的形状是等边三角形.    即取这三个顶点围成的三角形是等边三角形，故A正确； 如下图截面出现的形状是菱形.    即取两条侧棱的中点和两个顶点围成的四边形是菱形，故C正确； 如下图截面出现的形状是五边形.    即以一个顶点作截面与四条棱相交得到的截面是五边形，故D正确； 假设如下图作出截面图形是直角梯形，      由两平面平行的性质定理可知：，即四边形为平行四边形， 所以假设不成立， 又假设如下图作出截面图形是直角梯形，    由两平面平行的性质定理可知：， 若，即可得四边形为平行四边形， 所以假设不成立， 若， 则由平面，且平面， 所以，又因为相交，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 由平面，平面，所以平面， 又由平面平面，所以， 又可得四边形为平行四边形，所以假设不成立，故B错误； 故选:ACD. 12．【多选】（2026高一·四川成都·期末）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 【答案】AB 【分析】根据三棱锥的体积，可判断A；根据线面垂直的性质，可判断B；举特例判断C；易得为直线与平面所成角，进而求解判断D. 【详解】对于A，由，其中的面积为定值， 在正方体中，， 因为平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故B正确； 对于C，设分别为的中点， 连接，，，则， 设为与的交点， 在正方体中，，则，且， 则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 则为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时平面，则， 当与重合时，最小，而， 此时， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误. 故选：AB. 13．【多选】（2026高一·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为90° C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABD 【分析】对于A利用异面直线的定义即可判断，对于B取的中点为，连接，由正方体性质可知，又，得，则与所成的角即为与所成的角，即或其补角，在计算即可判断，对于C分别取，的中点为，，连接各中点，即平面截该正方体所得截面即为六边形，即可判断，对于D将三棱锥放入长方体中即可计算，进而判断. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知，又，所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为90°，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示：    易知，，，即可知， ，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，将三棱锥放入长方体中，如图所示，， 所以，三棱锥的外接球体积为，D正确. 故选：ABD.    题型3 截面面积计算 14．（2026高一·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 15．（2026高二·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 16．（2026高一·浙江杭州·期中）如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点的平面截正方体所得的截面为五边形，求得，再结合等腰三角形的面积，结合相似即可求得截面的面积. 【详解】 如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接. 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形. 因为为的中点，为的中点， 所以， 所以， 在中，， 在中，， 同理可得. 令上的高为， 所以， 所以. 因为，所以， 所以， 同理可得， 故截面的面积. 故选：B 【点睛】方法点睛：作截面的三种方法: ①直接法:截面的定点在几何体的棱上； ②平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行； ③延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 17．（2026高一·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 18．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为2，平面与正方体的一条体对角线垂直，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到截面为正六边形，算出边长，求出面积即可. 【详解】 因为在正方体中，平面与正方体的一条体对角线垂直， 则截面为正六边形时面积最大，且边长为， 此时面积为， 故选：B 19．（2026高三·广东佛山·阶段检测）正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截正方体所得截面面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得截面的位置为过棱的中点的正六边形，即可得到结果. 【详解】 相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体中，平面与直线所成的角是相等的， 平面与平面平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大， 则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为2，所以其面积为. 故答案为： 20．（2026高一·北京顺义·期中）已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作交于，设，通过求解即可. 【详解】过点作交于， 设.由题意知正方体棱长为2，即得. 因为正方体对面平行， 所以截面为平行四边形， 则， 当取最小值时四边形的面积最小. 易知的最小值为直线与直线间的距离. 当为的中点时，, 与取等，即, 所以为等腰三角形， 所以为中点. 即. 取中点,连接. 所以， 且, 所以, 所以四边形为矩形. 所以 所以 所以. 取得最小值，， 所以. 故四边形面积的最小值为. 故答案为：. 21．【多选】（2026高一·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解. 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 题型4 截面周长计算 22．（2026·湖南·模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，． 因为// ，所以四边形为平行四边形， 所以//，. 所以，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形． 因为，， 所以该截面的周长为． 23．（2026高二·江西上饶·阶段检测）如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】先通过作辅助线确定截面的形状，再利用正方体棱长及勾股定理分别求出截面四边形各边的长度，最后相加即可. 【详解】延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，如图所示， 则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为 棱的中点,且，在中，为中位线，， 又由题意得，且，，又，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所得截面图形的周长为. 故答案为：. 24．（2026高一·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 25．（2026高一·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 26．（2026高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【详解】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为： 27．（2026高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于__________. 【答案】6 【分析】根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 【详解】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为______ 【答案】 【分析】利用确定平面的公里，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案. 【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P， 连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形DQEFP． 过F点作，过E点作，所以是的中点，是的中点． 在中，，，所以． 在中，，所以，AQ＝2， 则，，． 同理在中，，在中，，CP＝2， 所以，，所以截面周长为． 故答案为：. 29．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段MN长及点O到平面的距离，即可得到球被平面截得的截面周长，从而得到结果； 【详解】 在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图， 由分别为棱的中点，得， 而平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 而平面平面， 因此平面，而，，，则， 球半径，，从而， 球被平面截得的截面圆半径， 所以球被平面截得的截面周长. 又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆， 且圆的半径为， 所以球被正四面体表面截得的截面周长为. 故答案为： 30．（2026高三·山东日照·期中）已知正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，平面截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 【答案】A 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形，如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形的面积和截面为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案. 【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 如图：与面平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1， 可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即等 设，则，∴， ∴，同理可得六边形其他相邻两边的和为， ∴六边形的周长为定值． 正三角形的面积为； 如上图，当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，截面面积为， 所以截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小， 故可得周长为定值，面积不为定值， 故选：A. 31．【多选】（2026·浙江·模拟预测）已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系即可求出边长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面与平面所成角. 【详解】连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形，连接与的中点. 由，为中点，，，，因此周长为，故A正确. ，，，， ， 截面多边形的面积为，故B正确. 与是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，故C错误. 根据二面角定义可知为截面与底面所成角，，，根据余弦定理可得，故，故D错误. 故选AB. 题型5 截面体积计算 32．（2026·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系． 【详解】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为， 所以，， 可得. 故选：D. 33．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7 【答案】D 【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值. 【详解】不妨令，且上下底面等边三角形， 又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形， 所以三棱柱体积， 而，故， 所以，故， 所以. 故选：D 34．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，由，可证得平面，设，利用棱柱和棱锥体积公式可求得和，则所求体积比为. 【详解】取中点，连接， 由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，， 平面，平面平面，平面， 又平面，， 平面，平面， 不妨设，则，，， ，， ，， ，即截面分棱柱的两部分的体积比为. 故选：D. 35．（2026·河北衡水·模拟预测）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行性质可知，结合棱台和棱柱体积公式可求得，由相似关系可求得结果. 【详解】平面，平面平面，平面，； 设的面积为，的面积为，三棱柱的高为， 三棱台的体积， 又三棱柱的体积， ，解得：（舍）或， ∽，，即. 故选：A. 36．（2026·全国·模拟预测）正方体的棱长为，为的中点，为线段上靠近的一个三等分点，则过点，，的平面把正方体截得两部分，则下半部分几何体与上半部分几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意，画出相应的图形，根据相关性质，确定出截面的位置，利用割补法求出截面下方几何体的体积，减法运算求得截面上方几何的体积，进而求得比值，得到结果. 【详解】如图， 设点，，的平面交棱于点，棱的中点为， 连接，，，，易知， ∵四点，，，共面，∴，∴，∵， ∴四边形是平行四边形.∴. ， ∴， 故选:A. 37．【多选】（2026高一·湖北武汉·期中）在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（    ） A．平面与棱的交点是的三等分点 B．平面与棱的交点是的中点 C．平面与棱的交点是的三等分点 D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【答案】ACD 【分析】由公理作出平面与正方体的截面，利用平行线截线段成比例可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点， 点是线段靠近点的三等分点；再利用等体积法可知，得到平面将正方体分成两部分的体积比为，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，， 连接并延长交于点，连接，，则四边形就是平面与正方体的截面， 是平面的中心，是中点，，则， 可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点， 点是线段靠近点的三等分点，故A正确，B错误，C正确； 作出线段的另一个三等分点，作出线段靠近的三等分点，连接，，，， 可知． ， 从而平面将正方体分成两部分的体积比为， 故D正确． 故选：ACD． 题型6 球与截面问题 38．（2026·福建漳州·模拟预测）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意直观想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性质可得当为所截圆的直径时截面面积最小，从而得解. 【详解】由直三棱柱可知，平面， 又，所以两两垂直， 设直三棱柱外接球的半径为R， 通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同； 过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小， 因为， 则所求截面面积最小值为. 故答案为：. 39．（2026·河南新乡·模拟预测）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______． 【答案】 【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解. 【详解】由球的截面圆性质可知球的半径， 则该球的体积为. 故答案为：. 40．（2026高二·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则_________ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 41．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为______．    【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出截面小圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即得. 【详解】依题意，在中，，，则， 因此的外接圆半径， 由球心到所在截面圆的距离为，得，则， 所以球的表面积为. 故答案为： 题型7 截面的最值问题 42．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体的最大截面积是______． 【答案】 【分析】根据正方体截面的性质结合条件即得. 【详解】当截面为对角面时，截面面积最大，该截面为长方形，其长为正方体的面对角线，长为，宽为正方体的棱长为1， 所以最大截面积为，即单位正方体的最大截面积是. 故答案为：. 43．（2026高三·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为. 故选:D． 44．（2026·四川·模拟预测）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（    ）． A．M必为三角形 B．M可以是四边形 C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值 【答案】D 【分析】对于选项A和B，结合空间图形，截面与直线垂直，截面多边形只能为正三角形或六边形；对于选项C，分截面多边形为正三角形和六边形两种情况分析多边形的周长最值即可；对于选项D，分截面多边形为正三角形和六边形两种情况分析多边形的面积最值即可； 【详解】对于选项A、B，易知平面为平面或与其平行的平面，故多边形M只能为三角形或六边形，选项A和B均错误； 对于选项C， 当M为正三角形时，显然截面多边形M为时周长取得最大值为； 当截面多边形M为六边形时， 设，则，，， 易得：，， 此时截面多边形M的周长为定值：， 综合两种情况，M的周长的最大值为，选项C错误； 对于选项D， 当M为正三角形时， 仅当截面多边形M为时的面积为； 当截面多边形M为六边形时，设， 该六边形可由两个等腰梯形和构成， 其中， ，，， 两个等腰梯形和的高分别为和， 则 ， ， 当且仅当时，六边形面积最大值为，即截面多边形是正六边形时截面面积最大． 综上，当时，截面多边形为正六边形时面积取得最大值. 选项D正确. 故选：D.    【点睛】关键点点睛：本题的D选项的关键是设，计算出截面的面积表达式，利用二次函数图象与性质即可求出其面积最值. 45．（2026高三·全国·二轮复习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 【答案】 【分析】先明确过圆锥顶点的截面面积公式，再根据轴截面顶角确定截面顶角的取值范围，最后通过三角函数求面积最大值即可. 【详解】设过顶点作圆锥的截面顶角为， 则截面面积为 所有过顶点的截面中，轴截面的顶角最大，即 ， 因为函数 在 上单调递增， 所以当 时，截面面积取得最大值，最大值为 . 故答案为：. 46．（2026高二·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 题型8 交线问题 47．【多选】（2026高三·辽宁·阶段检测）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】AD 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C错误，D项正确； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：AD. 48．（四川省绵阳市涪城区南山中学2023届高三仿真理科数学试题）如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面ABCD的交线，平面与平面的交线，若直线AB与所成角为，直线AB与所成角为，则的值是______．    【答案】 【分析】作出辅助线，得到为直线，故，利用边长关系求出，再得到，，由三角形全等得到，从而计算出的值. 【详解】延长与直线CD相交于F，连接AF，则平面与平面ABCD的交线为AF， 即为直线， 故即为， 又∵，∴， ∵E是棱的中点，且， ∴，∴， 又为锐角，且，， 则，    又∵平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 又∵， 故直线AB与所成角为， 又，故， 所以， 故答案为： 49．（2026·全国·模拟预测）已知正四棱柱中，，，点为的中点，点为的中点，平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】在棱上取点，使，连接、，结合面面平行的性质得，在棱上取点，使，连接，易得，进而有，则就是异面直线与所成的角，根据已知求其余弦值. 【详解】如图，在棱上取点，使，连接，则， 所以为平面与平面的交线. 连接，则为平面与平面的交线. 因为面与面的交线为，且面面，所以. 在棱上取点，使，连接，则， 所以，则就是异面直线与所成的角. 连接，在中，，. 由余弦定理，得， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到平行于的直线，从而得解. 50．（2026·山东·模拟预测）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为_______． 【答案】 【分析】首先证明截面为长方形，设，将面积表示为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】如图所示，因为平面，设面，所以， 同理：， 设，所以，即， 所以四边形为平行四边形，即， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，即，且， 取中点，连接，易得，， ，所以面，所以，所以， 所以四边形为矩形， 所以面与三棱锥的交线围成的面积， 当，即为中点时，面积最大，最大值为， 故答案为：.    51．（2026高二·安徽·开学考试）在棱长为3的正方体中．点在棱上，且，记过点的平面与侧面的交线为．且，则的长为________． 【答案】 【分析】作出过的平面，由此确定的位置，进而求得的长. 【详解】连接，由于，所以四边形是平行四边形， 所以，过作，交于，则， 所以四点共面，故即直线， 由于，所以， 所以. 故答案为：    $专题16 立体几何中的截面、交线问题8种常考考法归类 题型一作截面问题 题型五截面体积计算 题型二截面形状 题型六球与截面问题 题型三截面面积计算 题型七截面的最值问题 题型四截面周长计算 题型八交线问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 作截面问题 1．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    2．（2026高二·上海普陀·阶段检测）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点． （1）作出过点E、F、的截面； （2）求证：平面. 3．（2026高三·全国·二轮复习）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 4．（2026高一·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 题型2 截面形状 5．（2026·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6．（2026·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7．（2026高二·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8．（2026高三·全国·一轮复习）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 9．【多选】（2026高一·甘肃金昌·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为 C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥是鳖臑，即四个面均为直角三角形 10．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 11．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）若用一个平面去截正方体，则截面可能出现的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角梯形 C．菱形 D．五边形 12．【多选】（2026高一·四川成都·期末）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 13．【多选】（2026高一·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为90° C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥的外接球体积为 题型3 截面面积计算 14．（2026高一·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________．    16．（2026高一·浙江杭州·期中）如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 18．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为2，平面与正方体的一条体对角线垂直，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·广东佛山·阶段检测）正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截正方体所得截面面积的最大值为__________. 20．（2026高一·北京顺义·期中）已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为______． 21．【多选】（2026高一·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 题型4 截面周长计算 22．（2026·湖南·模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·江西上饶·阶段检测）如图所示正方体的棱长为2，E是棱的中点，则由，A，E三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为______. 24．（2026高一·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 25．（2026高一·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. 26．（2026高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 27．（2026高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于__________. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知长方体中，AB＝2，AD＝4，，E，F分别为，的中点，则过D，E，F三点截得长方体的截面周长为______ 29．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为__________． 30．（2026高三·山东日照·期中）已知正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，平面截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 31．【多选】（2026·浙江·模拟预测）已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为 题型5 截面体积计算 32．（2026·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7 34．（2026·贵州贵阳·模拟预测）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·河北衡水·模拟预测）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026·全国·模拟预测）正方体的棱长为，为的中点，为线段上靠近的一个三等分点，则过点，，的平面把正方体截得两部分，则下半部分几何体与上半部分几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 37．【多选】（2026高一·湖北武汉·期中）在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（    ） A．平面与棱的交点是的三等分点 B．平面与棱的交点是的中点 C．平面与棱的交点是的三等分点 D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 题型6 球与截面问题 38．（2026·福建漳州·模拟预测）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______． 39．（2026·河南新乡·模拟预测）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______． 40．（2026高二·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则_________ 41．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为______．    题型7 截面的最值问题 42．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体的最大截面积是______． 43．（2026高三·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·四川·模拟预测）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（    ）． A．M必为三角形 B．M可以是四边形 C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值 45．（2026高三·全国·二轮复习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 46．（2026高二·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 题型8 交线问题 47．【多选】（2026高三·辽宁·阶段检测）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（   ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 48．（四川省绵阳市涪城区南山中学2023届高三仿真理科数学试题）如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面ABCD的交线，平面与平面的交线，若直线AB与所成角为，直线AB与所成角为，则的值是______．    49．（2026·全国·模拟预测）已知正四棱柱中，，，点为的中点，点为的中点，平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的余弦值为______. 50．（2026·山东·模拟预测）三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为_______． 51．（2026高二·安徽·开学考试）在棱长为3的正方体中．点在棱上，且，记过点的平面与侧面的交线为．且，则的长为________． $