专题04 立体几何初步（空间几何体）（6大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 立体几何专题汇编，覆盖6大高频考点，精选吉林、内蒙古等地期末真题，融合《九章算术》刍童体积等文化素材与宫灯表面积计算等实际情境，注重概念辨析与空间想象能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|20+|几何体概念、表面积、体积、外接球|如圆锥侧面展开图与表面积比，考查基础公式应用| |多选|5|动态截面、内切球性质|如长方体倾斜时水面形状判断，体现空间动态思维| |填空|9|球体积表面积、外接球半径|如正三棱柱外接球体积，结合几何性质计算| |解答|4|体积计算、截面周长、重合度定义|如结合《九章算术》求刍童体积，渗透数学文化|

学科网 目目 考点01 一、单选题 1.D. 2.A 3.D 4.D 5.A 6.D 二、多选题 7.ABD 目目 考点02 一、单选题 1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 二、填空题 6.36π 目目 考点03 一、单选题 1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.D www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04立体几何（空间几何体） 几何体的概念与斜二测画法 多面体表面积 多面体体积 1/6 耐学科网 www .zxxk.com 7.C 二、填空题 8.9避 9.2595 三、解答题 10.【详解】(1)连接AC,BD,记AC∩BD=0,连接PO, 如图所示棱锥为正四棱锥， 所以PO⊥平面ABCD, 又AOC平面ABCD, 所以P0⊥A0, 因为AB=2,PA=3,即A0=V2 所以P0=VPA2-A0=V万， 所以四棱锥P-ABCD的体积V=S四边形ABCD·P0=寺×2×2X (2)取AB的中点E,连接0E,PE,如图所示 因为PO⊥平面ABCD,OEC平面ABCD, 所以P0⊥0E,且0E=1, 所以PE=VP02+0B2=2V2, 所以四棱锥P-ABCD的表面积S=4S△PAB十SI边形ABD=4×专 D 11.【详解】(1)因为AB=8,BC=7,AC=5, 所以Cos∠BAC=C=离-： 2ABAC 又因为∠BAC∈(0，T) 所以∠BAC=5: 216 让教与学更高效 万=誓 ×2×2W2+2×2=4+8V2 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)因为PA⊥底面ABC,ABC平面ABC,所以PA⊥AB, 因为PB=10,AB=8,所以PA=V102-82=6, 即三棱锥P-ABC的高为6， 因为∠BAC=号，AB=8,AC=5, 所以三角形BAC的面角为S=支×8×5×9=10N5, 所以三棱锥P-ABC的体积为V=青×6×10V3=20V3 12.【详解】(1)如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF//AB,EH//PC, 再分别过点H,F作HGAB,FG/PC,可得E,F,G,H四点共面， 因为AB中平面EFGH,EFC平面EFGH,所以AB/平面EFGH, 同理可证，PC//平面EFGH,所以截面即为平行四边形EFGH, 又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB+2PC=9,所以EF=青AB,EH=号PC, 所以平行四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=(AB+2PC)=6, (2)设母线长为，甲圆锥底面半径为”1，乙圆锥底面圆半径为”2， 则--月=2，所以rn=2r2 又圆心角20+乎=2π，则平=1，所以r=r2=, 所以甲圆锥的高1=VP一号=号，乙圆维的高2=VP一都=9， Ve rih ×】 所以V可2=rh2 1×91 13.【详解】(1)设△A1B:C1的面积为S,三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则三棱柱ABC-A1B1C1的 体积V1=Sh ①作DH//AB,交AA1于点H,连接EH, 因为DH中平面ABC,ABC平面ABC,所以DH//平面ABC, 3/6 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为BD//CE,且BD=CE,所以BC//DE, 又DE丈平面ABC,BCC平面ABC,所以DE//平面ABC, 又DHODE=D,所以平面DEH//平面ABC, 因为BD=专BB1,所以H为棱AA1的中点， 则三棱柱HDE-AB1C1的体积VHDE-AB,G=V1=9,三棱锥A-DEH的体积VA-DEH=言V1=3. 故三棱柱ABC-A1B1C1与三棱锥A-A1FG重合部分的体积 V公共=VHDE-A,B1G+V4-DEH=9+3=12 ②因为DH//A1B1,所以DH//A1F,所以△ADH△AFA1, 所以器=器=最=支，所以调= 因为DE//B1C,B1C1C平面A1FG,DE丈平面A1FG,所以DE//平面A1FG. 因为平面AFGn平面A1FG=FG,且DEC平面AFG, 所以DE//FG,所以B1C1//FG, 则△AB1C1△A1FG,故S△4，FG=4S△A,B,S=4S, 从而三棱锥A-A1FG的体积V2=青S△4，FG·h=等Sh=24, 故三使柱ABC-A,8,C:与三棱eA-APG的E合度K=产。=品=号 B H D A B (2)设器=入(0<1<1)，则BD=入8B1,从而B1D=(1-1)BB1, 故三棱柱HDE-AB1C1的体积VHDE-4,G=(1一)V1, 三棱锥A-DEH的体积V4-DEH=号V1, 故三棱柱ABC-AB1C与三棱锥A-A1PG重合部分的体积V公共=VHDE-A4B,G+V4DEH=号V1 因为DH//A1B1,所以DH//A1F,所以△ADH△AFA1, 所以器=器=器=入，所以是=入 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为DE//B1C1,B1C1C平面A1FG,DEE平面A1FG,所以DE//平面A1FG 因为平面AFG∩平面A1FG=FG,且DEC平面AFG, 所以DE//FG,所以B1C1//FG, 则△AB1C1△A1FG,故Sa4,FG=完Sa4,G=S, 从而三棱锥A-A1FG的体积V2=专S△4，FG~h=录V1, V 故三棱柱ABC-AB1C,与三棱锥A-A1PG的重合度K=+立7孕7 32-2 2以+1 因为K=有，所以器器=，所以83-9以+1=0 所以（入-1）(82-1-1)=0，解得=1或7=1-或7=中 16 16 因为0<7<1， 所以，=3 16 目目 考点04 外接球 一、单选题 1.D 2.C 3.A 二、填空题 42要T 5.12π 6.9 7.48r 8.4y5π 9. 是丽1 目目 考点05 内切球 一、单选题 1.B 二、多选题 2.ABD 5/6 命学科网 三、填空题 3.3-5 4.(48-322)元 目目 考点06 一、 多选题 1.ACD 2.ACD 3.ABD 二、填空题 4.2/零π www.zxxk.com 轨迹/截面/最短距离问题 6/6 让教与学更高效 专题04 立体几何（空间几何体） 6大高频考点概览 考点01几何体的概念与斜二测画法 考点02多面体表面积 考点03多面体体积 考点04外接球 考点05内切球 考点06轨迹/截面/最短距离问题 地 城 考点01 几何体的概念与斜二测画法 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 3．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 4．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．1 B． C． D．3 5．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 6．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 二、多选题 7．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)（多选）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 地 城 考点02 多面体表面积 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（    ） A．25 B． C．50 D． 3．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（   ） A． B． C．2 D．3 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)若一个球的体积为，则它的表面积为______. 地 城 考点03 多面体体积 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 3．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是平方米    A． B． C． D． 7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高h，那么圆锥的体积公式是，若一圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，据依所给公式计算其体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图几何体是一个刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，则该几何体的体积为______． 9．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 三、解答题 10．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 11．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 12．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（1）在三棱锥中，，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长是多少？ （2）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和.体积分别为和.若，则是多少？ 13．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. (1)已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. (2)若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 地 城 考点04 外接球 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________． 5．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)在四面体ABCD中，，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______________. 7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______. 8．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为_____．    9．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 地 城 考点05 内切球 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 三、填空题 3．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 4．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 地 城 考点06 轨迹/截面/最短距离问题 一、多选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 2．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)（多选）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在线段上，则四面体的体积为定值 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何（空间几何体） 6大高频考点概览 考点01几何体的概念与斜二测画法 考点02多面体表面积 考点03多面体体积 考点04外接球 考点05内切球 考点06轨迹/截面/最短距离问题 地 城 考点01 几何体的概念与斜二测画法 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由几何体的结构特征逐一判断各个命题即可求解. 【详解】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故①错误； 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误； 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误； 故命题①②③都是假命题. 故选：D. 2．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【分析】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 3．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（   ） A．球面上任意两点连成的线段都是球的直径 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形 D．棱台的侧棱延长后交于同一点 【答案】D 【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断. 【详解】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误； 对于B：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误； 对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形不一定三角形，还可能是圆等其它图形，故C错误； 对于D：因为棱台是用平行与底面的平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确. 故选：D. 4．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： ，，，则. 故选：D 5．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】    过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 6．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 【答案】D 【分析】将展开图还原为正方体，连接，结合可得为直线与所成角，进而求解即可. 【详解】还原的正方体如图所示，连接，显然直线与异面， 在正方体中，， 则为直线与所成角， 又，则为等边三角形，即. 故选：D.    二、多选题 7．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)（多选）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的定义判定A，B，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定C，利用等体积法判断D即可. 【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知， 由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面， 所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，A，B正确； 在倾斜的过程中，长度不变，不断变化， 又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形， 所以水面所在四边形的面积不是定值，C说法错误； 因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变， 所以底面面积也不会变，即是定值，D说法正确； 故选：ABD 地 城 考点02 多面体表面积 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知某圆锥的轴截面是边长为10的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（    ） A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【分析】由轴截面分析出圆锥的底面半径，母线长，从而得解. 【详解】由题意，圆锥的底面圆半径是，则底面圆周长是， 且侧面展开图的半径为，弧长为的扇形， 根据扇形面积公式，面积为：. 故选：D 3．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，根据已知条件求出，再利用勾股定理可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为， 由，得，又， 所以，解得，； 所以圆锥的高为. 故选：A. 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可. 【详解】如图所示，    在正四棱锥中，取中点，连接， 则为直角三角形， 所以， 所以表面积. 故选：B. 二、填空题 6．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)若一个球的体积为，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】根据球的体积求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设球的半径为. ∵球的体积为，∴，解得. ∴球的表面积为. 故答案为：. 地 城 考点03 多面体体积 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解等腰梯形可求得棱台的高，从而利用台体体积公式即可求解. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形，故， ， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 2．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 【答案】A 【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积得余下体积，得解. 【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为， 则，所以剩余部分的体积为， 所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为. 故选：A. 3．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 故选：B． 5．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即， 则，可得，，利用勾股定理求得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：A. 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是平方米    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案． 详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米， 故截面中阴影部分的面积S=平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米， 故水的体积V=Sh=48立方米， 故选D． 7．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高h，那么圆锥的体积公式是，若一圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，据依所给公式计算其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得底面周长和高，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以其底面直径，周长为，高， 故其体积为. 故选：C 二、填空题 8．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图几何体是一个刍童，其上下底面都为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，则该几何体的体积为______． 【答案】 【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高、底面面积，再根据棱台的体积公式即可得出答案. 【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台，如图， 它为垂直底面的截面，则棱台的高为， 由题意其上下底面的面积分别为， 由棱台体积公式有. 故答案为：. 9．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 【答案】/ 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 三、解答题 10．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解. 【详解】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积. （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面，平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 11．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）只需求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为 所以； （2）因为底面，平面，所以， 因为，，所以， 即三棱锥的高为6， 因为，，， 所以三角形的面角为， 所以三棱锥的体积为. 12．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（1）在三棱锥中，，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长是多少？ （2）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和.体积分别为和.若，则是多少？ 【答案】（1）6（2） 【分析】（1）利用平行关系找出截面，利用平行四边形周长公式得到截面周长； （2）利用弧长公式和圆锥的侧面积公式得到两个圆锥的底面半径的关系，从而得到圆锥体积的关系. 【详解】（1）如图所示，在三棱锥中，过分别作， 再分别过点作，可得四点共面， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面，所以截面即为平行四边形， 又由为线段上更靠近的三等分点，且，所以， 所以平行四边形的周长为. （2）设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又圆心角，则，所以， 所以甲圆锥的高，乙圆锥的高， 所以. 13．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. (1)已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. (2)若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）先设的面积为，三棱柱的高为，得到三棱柱的体积.①作，交于点，连接，求证平面平面得到为棱的中点，进而依次得三棱柱的体积、三棱锥的体积，从而得三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②求证得到，从而求出三棱锥的体积即可由重合度定义求解. （2）先设，进而求出三棱柱与三棱锥重合部分的体积，接着求出进而求出，从而求出三棱锥的体积，再由重合度定义列出关于的方程即可求解. 【详解】（1）设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. （2）设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因为，所以. 地 城 考点04 外接球 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 2．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求出外接圆半径，再利用直角三角形的勾股定理即可求出外接球半径，即可求得结果. 【详解】在中，其外接圆半径为，由正弦定理知：，故 故，故外接球的半径，则其体积为, 故选：C 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AD的中点为E，设交于点O，结合面面垂直的性质求出的长，说明O为四棱锥的外接球的球心，确定半径，即可求得答案. 【详解】设AD的中点为E，设交于点O，连接， 由于，则, 而平面⊥平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故 ,底面为正方形，则， 又，故， 而，即O为四棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为， 故选：A 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________． 【答案】 【详解】   分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心， ． 5．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 【答案】. 【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果. 【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为 由正方体的表面积为24，所以 则，又，所以 所以外接球的表面积为： 故答案为： 6．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)在四面体ABCD中，，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______________. 【答案】 【分析】根据已知条件的边角关系，有△、△都为等腰直角三角形，即上的中点O为外接球的球心，进而求各棱长，根据线面垂直的判定证面，则四面体ABCD的体积，可求体积. 【详解】 由题意知：△、△都为等边三角形，又，即， ∴△、△都为等腰直角三角形，即可知上的中点O为外接球的球心， ∴若外接球半径为R，则，即，所以，，， ∴，即，而，，故面，即四面体ABCD：以△为底，OA为高有. 故答案为：. 7．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面积公式，求得母线长，进而得圆锥的高，再利用几何关系求出外接球的半径，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，由题有，得到， 如图，，则， 易知圆锥外接球的球心在上，设圆锥外接球的半径为， 则，解得， 所以圆锥外接球的表面积为，    故答案为：. 8．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为_____．    【答案】 【分析】连接和交于点，先证明平面，再结合几何关系求出球的半径和球的体积公式可得. 【详解】如图正八面体，连接和交于点，      ，， ，， 又和为平面内相交直线， 平面， 为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为， 正八面体的表面积为， 正八面体的棱长为， ， 因为点为正八面体的中心，其六个顶点看作正方体各个面的中心点， 所以由勾股定理可得，解得， ，则， ， 故答案为：． 9．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 【答案】 / 1 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥外接球的半径为，根据已知条件结合球的面积公式及勾股定理求出、. 【详解】如图，设圆锥的底面半径，圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 由题意，球的表面积为，解得，即， 由，则， 在中，， 则，解得. 故答案为：；1. 地 城 考点05 内切球 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 二、多选题 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)（多选）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则 . 设 . 因为四点共面，所以 . 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以 . 又， 设内切球的半径为，则， 即 . 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则 . 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 3．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)一个棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】铁球与正方体共点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，设球半径为， 则另一个铁球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心在这条体对角线上， 要球半径最大，两个半径相等的铁球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值为 又球心到与球相切的三个面的距离为，因此，解得， 所以铁球半径的最大值为为. 故答案为： 4．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______. 【答案】 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，求出半径后代入球的表面积公式即可得解. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，，因为，所以，解得， 小球的表面积为. 故答案为：. 地 城 考点06 轨迹/截面/最短距离问题 一、多选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【分析】根据正四面体的性质进行计算，可判定A；结合球的性质研究得到曲线为正的以中心中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，进而判定BCD. 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则，点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 连接,由圆的性质可得线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 2．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)（多选）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A． B．若点在线段上，则四面体的体积为定值 C．若，则点轨迹的长度为 D．若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用直棱柱及所在棱长都为，很快可计算各边长，再利用菱形的对角线垂直，再结合直棱柱易证A成立。再结合空间关系可证明平面，即B选项正确， 而对于C选项，易证明点在平面上的轨迹是圆弧，接下来就是计算，可判断错误，最后就是利用两个平面的展开图，为一个平面四边形，再计算对角线长即可作出判断. 【详解】 连接，由菱形可得， 再由直棱柱，可得底面， 又因为底面，所以，而， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 取的中点为，连接，又由点为的中点，可得， 而，所以，即四点共面， 由平面，平面，所以平面， 因为动点，所以动点到平面的距离不变， 又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；         动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为， 由直棱柱，易证明平面， 而侧面，即有， 由菱形边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 则由侧面正方形，可知，，可得， 所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误； 利用直棱柱的所有棱长为，可计算得： 再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图： 先解三角形，由余弦定理得：， 利用平方关系得：， 所以， 再由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】/ 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面， ∴平面，， 由题意，又， 所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为， 则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又， 则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $