精品解析：江苏扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

红桥高级中学2025-2026学年度第二学期 高二数学月考试卷 2026.06 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ） A. B. C. D. 4. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 5. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 7. 六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C. 当时，有最小值 D. 的极大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（ ） A. B. 点P到平面的距离为 C. 二面角的正切值为1 D. 的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分）． 12. 若，则的值为________． 13. 某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有_______种.（不考虑是否踢进等问题） 14. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求到平面的距离． 17. 某公司为了制定下一季度的投入计划，收集了今年前6个月投入量(单位：万元)和产量(单位：吨)的数据，用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程，，进行残差分析得到如图所示的残差值及一些统计量的值： 月份 1 2 3 4 5 6 投入量(万元) 1 2 3 4 5 6 产量(吨) 13 22 43 45 55 68 模型①的残差值 -0．2 -2．4 -1．8 -3 -1．2 模型②的残差值 -5．4 -8．0 4．0 -1．6 1．6 9．0 （1）求上表中空格内的值； （2）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （3）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（2）中所选模型的回归方程． (参考公式：，，) 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2025-2026学年度第二学期 高二数学月考试卷 2026.06 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的导数公式进行求解即可. 【详解】由， 故选：C 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意可得：，，所以； 故选：B 4. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 5. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 6. 有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合求解即可． 【详解】当5人中恰有三人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人中恰有四人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人全部被录用，则不同的录用情况数为； 故不同的录用情况数为． 7. 六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 8. 已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案. 【详解】由得， 因为函数有两个不同的极值点， 所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有，解得. 因为不等式恒成立， 所以恒成立. ， 设，则， 故在上单调递增，所以， 由题意恒成立，所以. 因此实数t的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B. 在处取得极大值 C. 当时，有最小值 D. 的极大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，求出的值，判断A; 根据的值，求出导数，利用导数判断B,C,D即可. 【详解】解：因为，所以，所以，故A正确； 因为， 所以当时，；当时，； 当时，，所以在处取得极大值，为， 故B错误，D正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，故C正确． 故选：ACD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方差公式即可判断A；根据方差的性质即可判断B；根据二项分布的概率公式即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，， 则，故A错误； 对于B，若随机变量的方差，则，故B错误； 对于C，若随机变量服从二项分布， 则，故C正确； 对于D，若随机变量服正态分布，， 则，故D正确. 故选：CD. 11. 已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（ ） A. B. 点P到平面的距离为 C. 二面角的正切值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后用向量法逐项判断即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设， 所以，，则，所以，所以A正确； 因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离， 因为为正方形，连接，，使,所以， 因为正方体中，平面，所以， 所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确； 由题知，平面的一个法向量， 又，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以C错误； 作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分）． 12. 若，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用赋值法及二项展开式通项求解可得结果. 【详解】令，可得， 令，可得. 由可得，，， 所以. 故答案为：11. 13. 某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有_______种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【解析】 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 14. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正态分布的性质与二项分布的性质计算即可得. 【详解】由，服从正态分布 故， 则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生， 至少有2名学生的成绩低于80分的概率为： . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）6 （2）4320 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的比值关系求解n； （2）通过二项展开式通项公式计算含的项的系数； （3）最后通过相邻项系数的比值不等式确定系数最大的项对应的r值，进而求出该项. 【小问1详解】 因为二项展开式第项的二项式系数为， 由题意可得：，则 ，解得 【小问2详解】 因为的展开式通项 , ， 令，解得， 所以含的项的系数： . 【小问3详解】 设展开式中系数最大的项是第项， 则，整理可得，解得， 因为，可得， 所以展开式中系数最大的项是. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，． （1）求二面角的余弦值； （2）求到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用二面角的向量法求解. （2）利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，得， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 而平面的一个法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量，而， 所以B到平面的距离. 17. 某公司为了制定下一季度的投入计划，收集了今年前6个月投入量(单位：万元)和产量(单位：吨)的数据，用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程，，进行残差分析得到如图所示的残差值及一些统计量的值： 月份 1 2 3 4 5 6 投入量(万元) 1 2 3 4 5 6 产量(吨) 13 22 43 45 55 68 模型①的残差值 -0．2 -2．4 -1．8 -3 -1．2 模型②的残差值 -5．4 -8．0 4．0 -1．6 1．6 9．0 （1）求上表中空格内的值； （2）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； （3）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（2）中所选模型的回归方程． (参考公式：，，) 【答案】（1）；（2）选模型①，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据，结合表中所给数据，即可求得空格内的值； （2）分别计算出模型①和模型②的残差值绝对值之和，比较其大小，即可求得应选择哪一个模型； （3）根据所给数据计算出，，，，带入，即可求得答案. 【详解】（1）根据 空格处的值为 （2）应选择模型① 模型①的残差值的绝对值之和为 模型②的残差值的绝对值之和为 模型①的拟合效果好，应该选模型①． （3）剔除异常数据，即剔除3月份的数据后， 得，， ，． ， ． 所以关于的回归方程为． 【点睛】本题解题关键是掌握残差的定义和回归直线方程的求解步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得. 【小问2详解】 记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对， 所以，，，，， 由全概率公式可得. 所以，该学生能猜对的概率为. 【小问3详解】 由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为， 记得分为的概率为，且，， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 . 因此，丁组获胜的概率为. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） 在  和  上单调递增. （2）实数  的取值范围为 . 【解析】 【分析】（1）利用导数进行研究即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数研究单调性和极限值进而即得. 【小问1详解】 因为，该函数在  处未定义，因此定义域为 . 设 ，则 ，故 . . 分母（当 )，分子中  恒正. 令 ，则，当  时 ，当  时 ； ，且  ( ). 因此，分子 （ )，故 （ ). 从而 （). 综上， 在  和  上均单调递增. 【小问2详解】 由可得, 因 （)，两边除以 ：, 整理为：，即. 设，则方程为 ，需求  在  时有两个不同的根. 求导：，分母 （). 分子中：（当 )；当 ， ，当 ， . 所以，当，；当，；当，. 因此， 在  上单调递减，在  上单调递增， 在  处取极小值，. 又， ； ， . 综上， 的值域为 ，且在  上由  递减至 ，在  上由  递增至 . 要使  有两个不同的实根，需 ，此时，在  和  上各有一根，且两根不同. 当  时，仅一根 ；当  时，无实根. 故实数  的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $