命题大赛 山西省2025-2026学年第二学期高三数学模拟试题1

**基本信息** 高三模拟试题聚焦真实情境与创新应用，如能源发电量线性回归分析、端侧AI芯片推理延迟统计，融入牛顿迭代法数学史素材，通过原创题（第6、15题）考查数学眼光观察、思维推理及语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、三角、统计直方图、双曲线|科技情境（第9题AI芯片延迟）、函数性质探究（第11题奇偶性）| |填空题|3题15分|圆台与球、排列组合、函数新定义|空间几何与计数原理结合（第13题B型题不相邻）| |解答题|5题77分|解三角形（原创）、线性回归、正八面体、椭圆切线、牛顿迭代法|能源数据建模（第16题）、数学史应用（第19题切线法）|

2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（一）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合， 所以，. 2．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以．故选：B． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平方得：， 又因为，则，所以， 则，即. 4．在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减法得出，再应用数量积的定义及运算律计算求解． 【详解】由，则，因此， ． 5．已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台和圆柱的体积公式得出，然后利用作差法判断出，结合基本不等式判断，即可得出答案. 【详解】设圆台和圆柱的高为，则，所以． 因为 ，所以B正确，A错误； 又，所以，所以CD错误，故选：B． 6.由得 ， 两式相加，可得 所以, 故1.选A 7．若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【解】，. 令，得或.由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ，即，解得. 又，可取共5个. 8.已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求出的表达式，再根据即可求解. 【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得， 已知，即，由于，直接化简得，即，解得，又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（128tokens）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（    ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的众数约为22.5 D．估计样本的平均数大于中位数 【答案】ABD 【分析】求各组频率，即可判断A；对于B：根据中位数的定义分析判断；对于C：结合加权平均数公式运算求解；对于D：结合频率分布直方图分析判断即可. 【详解】由频率分布直方图可知每组的频率依次为：，，，，. 对于选项A：样本中延迟在内的模型个数为，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以估计样本的中位数落在区间内，故B错误； 对于选项C：估计样本的平均数约为，故C错误； 对于选项D：该分布峰值在左侧低延迟区间，频率随延迟增大逐渐降低， 所以呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，故D正确. 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线对称性和 “仅个点在曲线上”的条件，确定在曲线上，A不在，代入求得，得到双曲线方程及参数，，，再据此逐一验证选项：由渐近线公式判断A正确；计算，判断B错误；用坐标法或底高法计算​面积判断C正确；利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值判断D正确． 【详解】双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称， 因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称，所以在双曲线上，不在双曲线上， 因为在双曲线上，则， 化简得，解得，（舍去）， 所以双曲线的方程为，因此，，， 对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确； 对于B，，，， ，，所以，B错误； 对于C，，，， 的直线方程为，， 到的距离， 所以的面积，C正确； 对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上， 根据双曲线定义得，即， 所以， 当三点共线且在之间时，最小， ，所以最小值为，D正确． 11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】结合题意利用赋值法判断A，利用函数对称性和奇偶性的性质判断B，合理选取反例，进而发现矛盾判断C，求解出周期性，结合赋值法求和判断D即可. 【详解】对于A，∵，∴，故A正确， 对于B，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，故B正确， 对于C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即， 这与假设条件矛盾，故错误； 对于D，∵，∴， ∴,∴的周期为， 将代入，得， 将，代入，得，同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，故正确. 三、填空题 12．已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，，设，若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合，若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为，表面积为 13.小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 【答案】432 【分析】先按2道不同的B型题不相邻，进行排列；在B型题不相邻的排列中，排除前3道题中没有B型题的情况，即可求解. 【详解】第一步，排4道A型题．4道A型题全排列，有种安排顺序； 第二步，排2道B型题．排好后的A型题会产生5个空位（包括两端）， 将2道B型题插入空位．有种安排顺序， 由分步乘法计数原理，得B型题不相邻的安排顺序有种； 第三步，排除不符合要求的情况．前3道题都是A型题的情况， 即2道B型题在第4题和第6题的位置：4道A型题全排列，有种安排顺序， 2道B型题全排列，有种安排顺序，所以不符合要求的安排顺序有种． 所以不同的安排顺序有种． 14．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为_____________. 【答案】 【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则.所以取值的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求内切圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． （1）解：， 利用正弦定理：， 2分 整理得：，由于， 4分 所以，因为，所以； 6分 （2），， ，即， 8分 解得（负值已舍去），则， 10分 . 12分 13分 16．（15分）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【解】（1）因为， 2分 所以， 4分 所以 6分 ， 8分 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 10分 则， 12分 则经验回归方程为， 令，则， 14分 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 15分 17．（15分）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证，，根据面面平行的判定定理证明； （2）以点为原点，为轴，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解. 【详解】（1）连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以，， 2分 又平面，平面，所以平面， 3分 平面，平面，所以平面， 4分 平面，平面，又在平面内相交于点， 6分 所以平面平面. 7分 （2）根据正八面体结构，以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 则，，，， 8分 所以，，， 9分 设平面的一个法向量为，则，， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 10分 因为点为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 12分 又， 当时，，当或0时，， 13分 故直线与平面所成角的正弦值的范围. 15分 18．（17分）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据椭圆方程直接算离心率； （2）①联立，证明与椭圆相切即可；②先得到点坐标，再求直线，的斜率关系，再利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解． 【详解】（1）由椭圆知， 故，所以的离心率； 2分 （2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上， 由，联立消去得， 即， 也即， 4分 将代入上式化简，得， 因为， 5分 故切线的方程为； 6分 ②由①知，的方程为，当时，，则得， 8分 由于，故直线的斜率， 10分 由于，故直线的斜率， 又与交于点， 所以， 12分 设，则， 化简得的轨迹方程为， 14分 ， 15分 所以当时，的最小值为． 17分 19．（17分）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得； （2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式； （3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论. 【解】（1），，， 当时，，， 2分 因此切线， 当时，可得； 4分 （2）当切点为时切线方程为：. 5分 当时，可得： ，7分 即； 9分 （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. 10分 ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 11分 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 12分 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. 14分 ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 15分 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 17分 点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 5．已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6.（原创题）若不等式恒成立，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 8 7．若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8.已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（128tokens）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（    ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的众数约为22.5 D．估计样本的平均数大于中位数 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12．已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 13．小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 14．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（原创题）（13分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求内切圆的面积. ．（15分）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17．（15分）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 18．（17分）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 19．（17分）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学第二学期高三年级模拟试题（一） 双向细目表 考查范围：集合与常用逻辑用语、复数、等式与不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量、 平面解析几何、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 考察集合的基本运算。 2 容易 复数的除法运算,求复数的实部与虚部公式法 3 容易 考查三角基本公式、二倍角公式。 4 容易 数量积的运算律,向量加法的法则,用定义求向量的数量积 5 容易 考查了圆柱，圆台的体积公式和基本不等式的应用比较大小 6 适中 利用切线放缩不等式两边夹的原理求值 7 适中 考查了函数极值的定义和求极值的基本方法。 8 困难 考查古典概型的计算和解不等式 二、多选题 9 适中 考查了频率分布直方图求特征量、众数、中位数、平均数等计算 10 适中 考查双曲线的性质，以及定义直线与双曲线的位置关系。 11 困难 考查了函数的基本性质，包括对称性、周期性。 三、填空题 12 容易 考查了圆台的外接球球法 13 适中 排列组合的基本计算方法 14 困难 考查了三角函数的对称性、周期性、单调性综合应用。 四、解答题 15 适中 解三角形，求内切圆面积 16 适中 求线性回归方程可进行预测值 17 适中 立体几何综合题证明面面平行，求线面角的范围。 18 困难 证明直线和椭圆相切，求轨迹方程以及最值问题。 19 困难 利用牛顿切线法求数列的递推关系，并利用切割线放程法证明不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $