精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年第二学期高三6月模块诊断（总第九次）数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第二学期高三6月模块诊断（总第九次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三数学组 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 因为复数（）是纯虚数，所以，解得， 所以，即，故z的共轭复数的虚部为 . 3. 已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角 的终边上，则角 可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，, 且 为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 4. 在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可得，则． 5. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设“取出的三个小球最大编号为5”为事件A， 所以. 6. 平面平面 的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定 【详解】对于A，B，C，当平面 ， 相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误， 对于D，存在两条异面直线， 平移后可得，存在两条相交直线， 由面面平行的判定定理可知，平面平面 ，故D正确， 故选：D 7. 已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（ ） A. 24 B. 21 C. 18 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出. 【详解】设的公差为，的公差为， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 8. 已知函数 的导函数为 ， 和 的定义域均为 ，若，， ，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设等式和函数值，对 进行赋值，依次求出，…，推得是以0为首项， 为公差的等差数列，即可计算；再由条件推出，依次赋值求出，…，计算，即得答案. 【详解】由求导得， 又，两式相减可得， 令，可得， 在中，取 ，可得，解得， 在中，取 ，可得，所以， 在中，取 ，可得， 所以，再取 ，可得， 则得，…，故是以0为首项， 为公差的等差数列， 所以； 由得，则， 取 ，可得，故，即， 又，所以，则， 因为 ，，则，， ，， ，，， 即， 所以． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在 列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中 ） 【答案】AB 【解析】 【分析】将样本中心代入回归方程，求出a值，可判断A的正误，根据百分位数的求法，可判断B的正误；根据二项分布的方差公式，可得，根据变量间的关系，计算求解，可判断C的正误；根据计算公式，代入求解，可判断D的正误. 【详解】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确； 选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确； 选项C：由，得， 所以，解得，故C错误； 选项D：若每个数据均变成原来的2倍， 则 ，则改变，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需考虑依次将5封信投入4个不同的邮筒即得；对于B，先确定去1个人的城市和那个人，再进行部分平均分组，最后全排即得；对于C，用方法总数减去对立事件方法数即得；对于D，可采用先分组分配再全排的方法即可. 【详解】对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误； 对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组， 在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确； 对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法， 而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种， 故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确； 对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确. 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线 交抛物线 于两点，其中 在第一象限，直线 交抛物线 于另一点 ，其中，直线 与直线 交于点 ．则（ ） A. B. 当时，直线 的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点 落在定直线 上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件求出点 的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定A，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据已知条件判定B，C，根据条件求出 的横坐标，再结合韦达定理计算判定D. 【详解】因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确； 所以抛物线 的方程为， 设直线 方程为， 设，联立， 消 得到， 则， 当时，， 所以 或，且 ，即得， 所以直线 的方程为，B选项错误； 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又 ，所以，故直线 的方程为，C选项正确； 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得，， ， 由，得， 所以点 落在定直线 上，D选项正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若方程为圆的方程，则 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得 的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得 ，所以，所以. 故答案为：. 14. 在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且，若存在最小值，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化简可得，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得，再结合二次函数性质计算求解. 【详解】由正弦定理可知： ， 故或（舍去），所以， 所以 ， 且由，，，可得， 当时，存在最小值，故有. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（）,最小正周期的范围为. （1）求 的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线 对称,求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期范围计算即可得解； （2）结合（1）中所得可求出 ，再利用三角函数对称性可得 ，最后利用两角和的正切公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 又，函数的最小正周期为， 所以，则； 【小问2详解】 由，且，故，即， 则，解得， 则 . 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2） X 800 500 300 P 446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 17. 如图，在三棱锥中，是棱 的中点． （1）求证：； （2）若平面 平面，且的面积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可证 平面，得到，结合 为 的中点即可求证； （2）根据题意可得，结合的面积为，求出，再以 为坐标原点建立空间直接坐标系，利用空间向量法求二面角即可． 【小问1详解】 解：由于 为 的中点，，所以， 又平面， 所以 平面，又平面， 因此，又 为 的中点，则 为等腰三角形， 因此； 【小问2详解】 由（1）可知，二面角的平面角为， 所以． 又，设 ，则， 又，所以， 解得或． 由对称性，不妨取前者，以 为坐标原点，的方向分别为 轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图所示， 从而． 设平面 的法向量为， 则，不妨取，则． 易知平面的一个法向量为， 设二面角为 ， 易知，故． 18. 记双曲线的左焦点为，渐近线方程为，过点作直线 与 交于两点． （1）求 的方程； （2）记的斜率分别为为 轴上一定点． （i）证明：为定值； （ii）记 中点为 ，以 为圆心，为半径的圆与 另交于一点的斜率为，若为定值，求 的坐标，并求出的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）， 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标、渐近线方程求出双曲线的方程. （2）（i）设，与双曲线方程联立，结合韦达定理化简即可证明； （ii）先求出点 的坐标，然后化简所求表达式，根据定值计算即可. 【小问1详解】 由得，可得， 联立，得，于是． 【小问2详解】 （i）显然 斜率不为0，故设．联立， 得，设， 则，于是， ， ， 于是，为定值． （ii）， 于是显然 为中点，设， 由，得， 记， 由其为定值可知其与 无关， 故必有，于是，于是． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 【答案】（1） 的单调递减区间为，单调递增区间为; （2） （3）证明如下： 由（1）可知，在上单调递增，，即； ，，； ，即，得； . ，，即； ； ，； 成立. 【解析】 【分析】（1）先求函数 的定义域，再对 求导，通过判断导数的正负来确定单调区间； （2）根据已知条件化简不等式得，构造函数，求出导函数，通过分析导函数的正负，得到函数的最值来确定参数 的取值范围； （3）结合（1）中 函数的结论，结合数列的特点得到数列的递推关系式，利用放缩法对数列进行缩放，最后通过求和证明不等式成立. 【小问1详解】 当时，，； ，即； 的定义域为. ； 令 ，则，解得 ； 当时， ，则 在上单调递减； 当时， ，则 在上单调递增； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，的定义域为. . 令，即； 则； ， ①当时，，，即；在上单调递增，即； 在上恒成立，，即，解得. ②当，； 令，则； 在上单调递增，即. 当时，，即，则，在上单调递增，即成立； 当 时，，即；当 时，； ，使得； 当时，，即，在上单调递减；当时，，即，在上单调递增； 当时，取得最小值，即； 不成立； 综上所述，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第二学期高三6月模块诊断（总第九次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三数学组 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. i D. 3. 已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角 的终边上，则角 可以为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则 （ ） A. B. C. D. 5. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 平面平面 的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 7. 已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（ ） A. 24 B. 21 C. 18 D. 15 8. 已知函数 的导函数为 ， 和 的定义域均为 ，若，， ，，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 一组数据的第80百分位数是11.5 C. 已知随机变量，若，则 D. 在 列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中 ） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线 交抛物线 于两点，其中 在第一象限，直线 交抛物线 于另一点 ，其中，直线 与直线 交于点 ．则（ ） A. B. 当时，直线 的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点 落在定直线 上 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若方程为圆的方程，则 的值为______. 13. 已知向量，，与共线，则_____________. 14. 在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且，若存在最小值，则实数 的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（）,最小正周期的范围为. （1）求 的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线 对称,求的值. 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，是棱 的中点． （1）求证：； （2）若平面 平面，且的面积为，求二面角的余弦值． 18. 记双曲线的左焦点为，渐近线方程为，过点作直线 与 交于两点． （1）求 的方程； （2）记的斜率分别为为 轴上一定点． （i）证明：为定值； （ii）记 中点为 ，以 为圆心，为半径的圆与 另交于一点的斜率为，若为定值，求 的坐标，并求出的值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $