山西大学附属中学校2025-2026学年第二学期高三6月模块诊断（总第九次）数学试题

**基本信息** 山西大学附中高三6月模块诊断数学试卷，以机器人展览概率问题等真实情境为载体，通过基础到创新的梯度设计，覆盖高考核心知识，适配高三复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、三角函数等|基础巩固，如集合韦恩图应用考查抽象能力| |多选题|3/18|统计概率、排列组合等|能力提升，如抛物线综合判断体现推理能力| |填空题|3/15|圆方程、向量、解三角形|中档应用，如锐角三角形参数范围考查数学思维| |解答题|5/77|三角函数、概率统计、立体几何等|创新综合，如机器人模型抽奖（数据观念）、导数与数列证明（模型观念），贴合高考命题趋势|

山西大学附中 2025～2026学年第二学期高三6月模块诊断（总第九次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三数学组 1、 选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（   ） A． B．1 C．i D． 3．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，第5项与第8项的二项式系数相等，则（　　） A． B． C． D． 5.从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（　　） A． B． C． D． 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ）A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 7．已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，，，则（   ） A．24 B．21 C．18 D．15 8．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（   ） A． B． C． D．2 2、 多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列结论正确的是（    ） A．一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B．一组数据的第80百分位数是11.5 C．已知随机变量，若，则 D．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10．下列说法正确的是（    ） A．某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B．7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C．从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D．把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 11．已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（    ） A． B．当时，直线的方程为 C．当四点共圆时， D．点落在定直线上 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．若方程为圆的方程，则的值为______. 13．已知向量，，与共线，则_____________. 14．在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.已知函数（）,最小正周期的范围为. (1)求的取值范围； (2)若,函数的图象关于直线对称,求的值. 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下规则： 规则1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 规则2：按规则1中三种抽奖结果的可能性大小，概率越小奖项越高 规则3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 17．如图，在三棱锥中，是棱的中点． (1)求证：； (2)若平面平面，且的面积为, 求二面角的余弦值． 18．记双曲线的左焦点为，渐近线方程为，过点作直线与交于两点． (1)求的方程； (2)记的斜率分别为为轴上一定点． （i）证明：为定值； （ii）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 19.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (3)在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题答案 1．【详解】由，可得或，，故或 由图可知阴影部分表示的集合为，故选：D 2．【详解】由， 因为复数（）是纯虚数，所以，解得， 所以，即，故z的共轭复数的虚部为.故选：B 3．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．【详解】在的展开式中， 第5项的二项式系数为，第8项的二项式系数为， 结合题意得，由组合数的性质，可得．故选：． 5.【详解】随机取出三个小球，所有的情况种数是， 若取出的三个小球最大编号为5， 则可能取出的编号较小的两个小球编号可能是，，，，，， ，，，或，，共6种情况， 所以取出的三个小球最大编号为5的概率．故选：． 6．【详解】选项A：若与相交，只要直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除A； 选项B：若与相交，只要内的直线平行于两平面的交线，就满足，无法推出，排除B； 选项C：若与相交，可在内取平行于交线，在内取也平行于交线，满足，无法推出，排除C； 选项D：对于异面直线，可在内作出，在内作出，可得是内的相交直线，是内的相交直线，且都平行于另一个平面，根据面面平行判定定理可推出，符合要求. 故选：D 7．【详解】因为数列与均是公差不为0的等差数列， 可设的公差为，的公差为， 由，，可得，解得， 所以，， 因为数列也是等差数列，所以， 即，解得（舍去）或， 所以，．故选：． 8．【详解】由已知得， 又，所以， 令得， 又，所以， 又（1），所以（1）， 又，所以（2）． 故是以0为首项，为公差的等差数列， 所以； 由得， 又，所以，即， 因为，（1）， 所以（2），（4）（2）， （6）（4），（8）（6）， （3）（1），（5）（3）， ，即， 所以．故选：． 9．【详解】选项A：将代入回归方程，得，解得，故A正确； 选项B：，则该组数据的第80百分位数为，故B正确； 选项C：由，得， 所以，解得，故C错误； 选项D：若每个数据均变成原来的2倍， 则， 则改变，故D错误. 10． 【详解】对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误； 对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组， 在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确； 对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法，而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种， 故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确； 对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确. 11．【详解】因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确； 所以抛物线的方程为， 设直线方程为， 设，联立， 消得到， 则， 当时，， 所以或，且，即得， 所以直线的方程为，B选项错误； 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为，C选项正确； 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得，， ， 由，得， 所以点落在定直线上，D选项正确； 12.【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 13.【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以.故答案为：. 14．【详解】由正弦定理可知： ， 故或（舍去），所以， 所以 ， 且由，，，可得， 当时，存在最小值，故有.. 15.已知函数（）,最小正周期的范围为. (1)求的取值范围； (2)若,函数的图象关于直线对称,求的值. 【详解】（1） ，(3分） 又，函数的最小正周期为， 所以，(4分） 则；(6分） （2） 由，且，故，(7分） 即，则，(8分） 解得(9分）， 则(11分） (13分）. 16．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【详解】（1），（1分），（2分） （3分） ，（4分） ，（5分）所以A，B不独立；（6分） （2）X可能的取值为800，500，300.（7分） 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则（8分） （9分） （10分） （11分） ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P （13分） ．（15分） 17．如图，在三棱锥中，是棱的中点． (1)求证：； (2)若平面平面，且的面积为，求二面角的余弦值． 【详解】（1）由于为的中点，， 所以，（1分） 又平面， 所以平面，（2分） 又平面，因此，（3分） 又为的中点，则为等腰三角形，因此；（4分） （2）由（1）可知，二面角的平面角为，（5分）所以．（6分） 又，设，则， 又，所以，（8分） 解得或．（9分） 由对称性，不妨取前者，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，（10分） 如图所示，从而． 设平面的法向量为， 则，不妨取，则．（12分） 易知平面的一个法向量为，（13分） 设二面角为， 易知，故．（15分） 18.记双曲线的左焦点为，渐近线方程为，过点作直线与交于两点． (1)求的方程； (2)记的斜率分别为为轴上一定点． （i）证明：为定值； （ii）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 【详解】（1）由得，可得，（1分） 联立，得，（3分）于是．（4分） （3） （i）显然斜率不为0，故设（5分）． （4） 联立， 得，设， 则，（7分） 于是， ，（8分） ， 于是，为定值．（10分） 补充：还可以用“齐次化”证明，但不利用下一问解答 （ii）， 于是（11分） 显然为中点，设， 由，得，（12分） 记，（14分） 由其为定值可知其与无关，故必有，（15分） 于是，（16分）于是．（17分） 19．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (3)在（1）的条件下，数列满足：，且．证明：不等式成立． 【详解】（1）当时，，； ，即； 的定义域为. ；（1分） 令，则，解得； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 的单调递减区间为，（2分）单调递增区间为.（3分） （2）当时，， . 令，即在上恒成立， 则， ①当时，，，即；在上单调递增，（4分） 即； 在上恒成立，，即， 解得.（5分） ②当，；在恒成立. 则在单调递增， 则；（6分） 1.当时，则即恒成立， 在上单调递增， 即成立；（7分） 2. 当时，，即；当时，； ，使得； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增；（8分） 当时，取得最小值，即； 此时 当时，，不符合题意，舍.（9分） 综上所述，实数a的取值范围为.（10分） （3） 由（1）可知，在上单调递增， ，即；（11分） ，，； ，（12分）即，得；（13分） . ，，即；（14分） ；（16分） ，； 成立.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $