专题06 二次根式（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题06 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式有意义的条件 题型05 二次根式的化简求值 题型02 利用二次根式的性质化简 题型06 二次根式中含参问题 题型03 根式乘除与分母有理化 题型07 二次根式的大小比较 题型04 二次根式混合运算 题型08 二次根式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式定义与有意义条件 1.能依据定义判断二次根式； 2.准确求解被开方数中字母的取值范围 基础必考小题； 易错：忽略被开方数≥0、分母根式双重限制 二次根式的性质 1.熟练运用等核心性质进行根式化简、去绝对值运算; 2.能根据字母取值范围分类讨论去符号，精准完成根式恒等变形 高频易错重难点； 易错：化简直接等于、忽略绝对值分类讨论、不结合取值范围去符号 最简二次根式、同类二次根式 1.会判定最简二次根式; 2.能精准识别同类二次根式并合并 易错：化简不彻底、误判同类根式 二次根式乘除运算 1.熟记乘除运算法则; 2.熟练进行根式乘除与分母有理化 计算必考； 易错：分母有理化漏乘、符号出错 二次根式加减与混合运算 1.遵循运算顺序，先化简再合并同类根式，规范混合运算步骤 期末计算大题； 易错：未化简直接合并根式 二次根式化简求值（含整体代入） 1.先化简代数式，再代值计算; 2.掌握整体代换解题思路 易错：代值前不化简、忽略隐含取值范围 二次根式综合应用 1.利用根式运算求解直角三角形边长、周长面积，对接勾股定理 小压轴考点； 易错：开方取值忽略非负性 知识点01 二次根式的概念 1.定义：形如的式子叫做二次根式，被开方数是非负数。 2.有意义条件：被开方数；若根式在分母，则被开方数。 ·易错点：只关注根式内部，忽略分母不能为0的限制条件。 知识点02 二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4.。 5. ·易错点：不带范围随意拆分根式；化简直接等于，漏掉绝对值分类。 知识点03 最简二次根式与同类二次根式 1.最简根式两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 2.同类二次根式：化成最简后，被开方数相同的二次根式，可合并。 ·易错点：不化成最简直接判断同类根式。 知识点04 二次根式运算法则 1.乘除：，； 2.加减：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式； 3.分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，去掉分母根号。 4.混合运算顺序同整式：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内；乘法公式（平方差、完全平方）同样适用。 ·易错点：去括号、根式前面带负号时，括号内各项变号出现遗漏。 题型一 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 （1）单二次根式：被开方数； （2）根式在分母：（分母不能为0）； （3）多个根式：每个被开方数分别≥0，联立不等式； （4）总结：偶次根式非负，分母不为0。 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 【变式1】（25-26八年级上·江西吉安·期末）若二次根式有意义，则负整数的值可以是（填一个即可）____________． 【变式2】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）若二次根式有意义，则正整数的值可以是_______．（写出一个即可） 题型二 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 根据字母取值正负去掉绝对值，分区间讨论，优先借助数轴判断符号。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：__________． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）若，则__________． 题型三 根式乘除与分母有理化 解｜题｜技｜巧 （1）利用法则整合根号； （2）约分化简； （3）分母含根式时，同乘有理化因式去根号。 【典例1】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期末）计算：． 【典例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 【变式1】在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）阅读与思考： 知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，． 请用配方法，解答下列问题： (1)已知：，求； (2)已知：，求； (3)已知：，（其中，），求的值． 题型四 二次根式混合运算 解｜题｜技｜巧 合理套用整式乘法公式简化计算，全程先化简再计算，结果化为最简根式。 【典例1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算： 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）计算 (1)； (2) 【变式3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 题型五 二次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）先化简，后代入：因式分解、分母有理化，化成最简根式再代值； （2）遇​：先判断正负，正数开方 ，负数 。 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 题型六 二次根式中含参问题 解｜题｜技｜巧 （1）同类最简二次根式求参数技巧：最简 + 同类→被开方数相等； （2）​⇒≥0，列式不等式求参数范围。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 题型七 二次根式的大小比较 解｜题｜技｜巧 （1）平方法（正数）：两边平方，平方大原式大； （2）移根号法：​，全部放进根号比被开方数； （3）分母有理化/作差法：算出差值正负判断； （4）同分子/同分母：分母大分数小 【典例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【变式2】已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 题型八 二次根式的应用 解｜题｜技｜巧 （1）几何（面积、勾股）：列式后根式计算，结果化成最简； （2）实际列式：依题意列算式，先化简再代数字运算； （3）注意：长度、面积必为正数，舍去负根。 【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【变式1】（25-26八年级上·重庆南岸·期末）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级下·福建厦门·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 3.（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为________； 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 5．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 3.（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 4．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二次根式有意义的条件 题型05 二次根式的化简求值 题型02 利用二次根式的性质化简 题型06 二次根式中含参问题 题型03 根式乘除与分母有理化 题型07 二次根式的大小比较 题型04 二次根式混合运算 题型08 二次根式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式定义与有意义条件 1.能依据定义判断二次根式； 2.准确求解被开方数中字母的取值范围 基础必考小题； 易错：忽略被开方数≥0、分母根式双重限制 二次根式的性质 1.熟练运用等核心性质进行根式化简、去绝对值运算; 2.能根据字母取值范围分类讨论去符号，精准完成根式恒等变形 高频易错重难点； 易错：化简直接等于、忽略绝对值分类讨论、不结合取值范围去符号 最简二次根式、同类二次根式 1.会判定最简二次根式; 2.能精准识别同类二次根式并合并 易错：化简不彻底、误判同类根式 二次根式乘除运算 1.熟记乘除运算法则; 2.熟练进行根式乘除与分母有理化 计算必考； 易错：分母有理化漏乘、符号出错 二次根式加减与混合运算 1.遵循运算顺序，先化简再合并同类根式，规范混合运算步骤 期末计算大题； 易错：未化简直接合并根式 二次根式化简求值（含整体代入） 1.先化简代数式，再代值计算; 2.掌握整体代换解题思路 易错：代值前不化简、忽略隐含取值范围 二次根式综合应用 1.利用根式运算求解直角三角形边长、周长面积，对接勾股定理 小压轴考点； 易错：开方取值忽略非负性 知识点01 二次根式的概念 1.定义：形如的式子叫做二次根式，被开方数是非负数。 2.有意义条件：被开方数；若根式在分母，则被开方数。 ·易错点：只关注根式内部，忽略分母不能为0的限制条件。 知识点02 二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4.。 5. ·易错点：不带范围随意拆分根式；化简直接等于，漏掉绝对值分类。 知识点03 最简二次根式与同类二次根式 1.最简根式两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母。 2.同类二次根式：化成最简后，被开方数相同的二次根式，可合并。 ·易错点：不化成最简直接判断同类根式。 知识点04 二次根式运算法则 1.乘除：，； 2.加减：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式； 3.分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，去掉分母根号。 4.混合运算顺序同整式：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内；乘法公式（平方差、完全平方）同样适用。 ·易错点：去括号、根式前面带负号时，括号内各项变号出现遗漏。 题型一 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 （1）单二次根式：被开方数； （2）根式在分母：（分母不能为0）； （3）多个根式：每个被开方数分别≥0，联立不等式； （4）总结：偶次根式非负，分母不为0。 【典例1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 【典例2】（25-26九年级上·河南商丘·期末）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴满足条件． 【变式1】（25-26八年级上·江西吉安·期末）若二次根式有意义，则负整数的值可以是（填一个即可）____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求出x的取值范围，再选取符合要求的负整数即可. 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式有意义时被开方数为非负数， 因此对于，可得， 移项得， 系数化为，不等号方向改变，得， ∵要求为负整数， ∴所有负整数都满足条件，任写一个即可，例如． 【变式2】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）若二次根式有意义，则正整数的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可. 【详解】解：有意义， ， 解得：， 又为正整数， 的值可以是或或. 故答案为：(答案不唯一). 题型二 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 根据字母取值正负去掉绝对值，分区间讨论，优先借助数轴判断符号。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质，去绝对值等知识，熟记二次根式性质及去绝对值法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的性质化简为含绝对值的式子，再由于，判断，由绝对值代数意义去绝对值即可得到答案． 【详解】解：， 由可得， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义及二次根式的化简，解决本题的关键是明确算术平方根为非负数． 根据算术平方根的定义以及二次根式的化简方法逐一判断选项即可． 【详解】解：∵算术平方根的结果为非负数， ∴，故A错误． ∵，故B错误． ∵，故C错误． ∵，故D正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3． 【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型三 根式乘除与分母有理化 解｜题｜技｜巧 （1）利用法则整合根号； （2）约分化简； （3）分母含根式时，同乘有理化因式去根号。 【典例1】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）分母有理化：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 【变式1】在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）阅读与思考： 知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，． 请用配方法，解答下列问题： (1)已知：，求； (2)已知：，求； (3)已知：，（其中，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算． （1）通过完全平方公式变形，代入已知值计算即可； （2）先对、进行分母有理化，再利用配方法将变形为，计算出与的值后代入求解； （3）对已知的根式等式两边平方，结合完全平方公式展开，再代入的值，变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ， ∴，， ∴， （3）∵，， ∴ ． 题型四 二次根式混合运算 解｜题｜技｜巧 合理套用整式乘法公式简化计算，全程先化简再计算，结果化为最简根式。 【典例1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) 4 (2) 0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简，除法化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则，从左往右依次计算； （2）先用平方差公式和零指数幂的运算法则分别计算，再进行加法运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算分子的减法，再计算除法，最后计算减法； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法并化简，再进行加减计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 二次根式的化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）先化简，后代入：因式分解、分母有理化，化成最简根式再代值； （2）遇​：先判断正负，正数开方 ，负数 。 【典例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式的应用，整式的化简运算，二次根式的代入求值，掌握完全平方公式是解题关键． 先利用完全平方公式展开，再通过合并同类项将代数式化为最简形式，最后代入计算结果． 【详解】解：化简： ， 当时，原式． 【变式1】（25-26九年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期末）已知的算术平方根是4，是8的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）先对每个二次根式分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根为4，是8的立方根， ；， ；； （2）解：；， 原式 ． 题型六 二次根式中含参问题 解｜题｜技｜巧 （1）同类最简二次根式求参数技巧：最简 + 同类→被开方数相等； （2）​⇒≥0，列式不等式求参数范围。 【典例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型七 二次根式的大小比较 解｜题｜技｜巧 （1）平方法（正数）：两边平方，平方大原式大； （2）移根号法：​，全部放进根号比被开方数； （3）分母有理化/作差法：算出差值正负判断； （4）同分子/同分母：分母大分数小 【典例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 【变式2】已知 那么a， b的大小关系是 a___b（填“>”或者“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作差法和平方法进行计算比较即可． 【详解】解：， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八 二次根式的应用 解｜题｜技｜巧 （1）几何（面积、勾股）：列式后根式计算，结果化成最简； （2）实际列式：依题意列算式，先化简再代数字运算； （3）注意：长度、面积必为正数，舍去负根。 【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 【变式1】（25-26八年级上·重庆南岸·期末）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则分别判断各选项即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式运算法则判断： ∵二次根式乘法法则为， ∴A选项中，A计算正确； ∵只有同类二次根式才能合并，与不是同类二次根式，无法合并， ∴B选项计算错误； 验证其余选项： ∵二次根式除法法则为， ∴C选项，C计算正确； 对D选项化简得，D计算正确； 综上，计算错误的是B． 2.（25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质、立方根的定义及平方差公式进行化简，再进行加减运算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级下·福建厦门·期末）在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 3.（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为________； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 5．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 2.（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 3．（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 4．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $