第十一章 二次根式【期末复习讲义】（培优版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 二次根式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的乘除混合运算 题型八 分母有理化 题型九 最简二次根式的判断 题型十 化为最简二次根式 题型十一 已知最简二次根式求参数 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 同类二次根式 题型十四 二次根式的加减运算 题型十五 二次根式的混合运算 题型十六 已知字母的值，化简求值 题型十七 已知条件式，化简求值 题型十八 比较二次根式的大小 题型十九 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求二次根式的值 【例1】（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【变式】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【变式】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（2026八年级下·广东江门·专题练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 题型讲练四 利用二次根式的性质化简 【例4】（25-26八年级下·重庆开州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 题型讲练五 二次根式的乘法 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)直接写出第7个等式：______； (2)根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； 【变式】将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． (1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． (2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． (3)【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 题型讲练六 二次根式的除法 【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图； (1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______． (2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____． (3)在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． (4)在图④中画一个面积为8的正方形． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． (1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； (2)如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 题型讲练七 二次根式的乘除混合运算 【例7】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 【变式】．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上． (1)如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． (2)如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离． 题型讲练八 分母有理化 【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）阅读下面的折纸过程： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形．然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 请写出黄金矩形的边长之比，即_______________． 题型讲练九 最简二次根式的判断 【例9】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．算术平方根等于自身的数只有1 B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．三角形一边上的高和这边上的中线重合 D．是最简二次根式 题型讲练十 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【变式】（25-26八年级下·安徽池州·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则________． （2）过点B作，交于点M，交于点N，若、，则正方形的边长是________． 题型讲练十一 已知最简二次根式求参数 【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式，平移至（点与点对应，点与点对应），连接、． (1)求、的值及点坐标； (2)点、分别是、边上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接，当、分别在、边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，将线段绕点逆时针旋转至，连接，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 题型讲练十二 复合二次根式的化简 【例12】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 题型讲练十三 同类二次根式 【例13】先化简，再求值． ，其中，． 【变式】下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 题型讲练十四 二次根式的加减运算 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 题型讲练十五 二次根式的混合运算 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点（不与B，C重合），点B，F关于直线对称，与相交于点H，M为延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：D，F，M三点共线； ②若，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 题型讲练十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【变式】．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 题型讲练十七 已知条件式，化简求值 【例17】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 题型讲练十八 比较二次根式的大小 【例18】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 题型讲练十九 二次根式的应用 【例19】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，长方形空地的长BC为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求整改后长方形空地的总周长，即长方形与的周长总和（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【变式】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若，则的值是______． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 9．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 10．（25-26八年级下·湖北随州·期中）已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 二次根式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的乘除混合运算 题型八 分母有理化 题型九 最简二次根式的判断 题型十 化为最简二次根式 题型十一 已知最简二次根式求参数 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 同类二次根式 题型十四 二次根式的加减运算 题型十五 二次根式的混合运算 题型十六 已知字母的值，化简求值 题型十七 已知条件式，化简求值 题型十八 比较二次根式的大小 题型十九 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求二次根式的值 【例1】（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【思路引导】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【完整解答】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 【变式】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【完整解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【思路引导】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【完整解答】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 【变式】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【完整解答】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（2026八年级下·广东江门·专题练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)当时，的最大值为，无最小值； (5) 【思路引导】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【完整解答】（1）解：∵10是“完美数” ∴； （2）解：，理由如下： ∵ 要使S为“完美数”， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）解：， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的最大值为，无最小值； （5）解：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，，， ，，， ，，， ，即的周长为． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【思路引导】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【完整解答】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 题型讲练四 利用二次根式的性质化简 【例4】（25-26八年级下·重庆开州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【思路引导】先计算整式的乘法及分式的混合运算，再将代入化简结果计算即可． 【完整解答】解：原式 ； 当时， 原式． 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 【答案】(1)是“倍线平行四边形”，理由见解析 (2)①；②见解析 【思路引导】（1）由已知可得为菱形，又，故，由勾股定理可得，故，即，故为“倍线平行四边形”； （2）①由为“倍线平行四边形”可知，，设，则勾股定理求得， 进而勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出； ②过点作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，，即可得出，即可得证． 【完整解答】（1）解：是“倍线平行四边形”． 理由如下：在中，，． ， ， ， ， ， ， 是“倍线平行四边形”． （2）解：①是“倍线平行四边形”， ，， ． 设，则． ，， ， （舍负）， ， ． 是的中点，且， ． ②如图，过点作交的延长线于点，连接． ， ． ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， 设， 则，， ∴， ． ， ， ∴． 又， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，， ， ， 是的中点． 题型讲练五 二次根式的乘法 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)直接写出第7个等式：______； (2)根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）根据已有式子找出规律即可； （2）结合（1）中的规律，并验证即可． 【完整解答】（1）解：已知第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故第7个等式：； （2）解：第个等式（为正整数）为：． 证明：左式， 为正整数， ， ， 左式右式， 即． 【变式】将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． (1)【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． (2)【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． (3)【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【思路引导】（1）先证明，再利用即可证明； （2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案； （3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型讲练六 二次根式的除法 【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图； (1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______． (2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____． (3)在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． (4)在图④中画一个面积为8的正方形． 【答案】(1)图见解析，8 (2)图见解析， (3)图见解析 (4)图见解析 【思路引导】（1）根据矩形的定义，结合网格特点作图，然后求出矩形的面积； （2）根据菱形的定义，结合网格特点作图，然后根据勾股定理求出边长，然后得出周长； （3）先求出这个菱形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得； （4）先求出这个正方形的边长为，再根据勾股定理、网格特点作图即可得． 【完整解答】（1）解：如图①，矩形即为所求． ∴该矩形的面积为； （2）解：如图②，菱形即为所求． ∴ ∴该菱形的周长为； （3）解：∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， ∵， ∴如图③，菱形即为所求． （4）解：∵正方形的面积为8 ∴正方形的边长为， ∵ ∴如图④，正方形即为所求． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点E，点P为线段上一动点（不与B，E重合），连接，过P作且（点N在点P上方），连接． (1)当点E，点P在如图1所示的位置时，作，交直线于M，交直线于Q． ①在图1中补全图形； ②求证：； ③写出与的数量关系并证明； (2)如图2，若E为中点，正方形边长为2，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③，证明见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据题意画图即可； ②由四边形是正方形，，结合四边形内角和，可得，再由，即可证明结论； ③将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，可证明，可得，，，再可证明四边形是平行四边形，最后证明，即可证明； （2）连接，设与交于点，则可证明垂直平分，利用等面积法可求得的长，即可得的长，即可求得的长． 【完整解答】（1）解：①补全图形如图： ②证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ③． 证明：如图，将绕点逆时针旋转到，连接，，，设与交于点，与交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵正方形边长为2， ∴，， ∵E为中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型讲练七 二次根式的乘除混合运算 【例7】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）如图等腰三角形中，与分别是的高，已知，， (1)求的面积 (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质以及勾股定理，关键是结合等腰三角形的性质确定线段长度，再通过面积的不同表示方法求解． （1）运用三角形面积公式，以为底边、为对应高，代入已知的边长和高的数值，通过二次根式的乘法运算即可求出三角形的面积； （2）结合等腰三角形“三线合一”的性质，先确定是的中点，从而得到的长度，再在直角三角形中，用勾股定理算出腰的长度；之后利用三角形面积相等建立方程，解出的长度． 【完整解答】（1）解：∵是的高，，， ∴的面积； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴是的中点，， 在中，由勾股定理得， 又∵是的高，面积， ∴，解得． 【变式】．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上． (1)如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． (2)如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离． 【答案】(1)①，，证明见解析；②证明见解析 (2)点到边的距离为 【思路引导】（1）①根据题意证明，得，，由等腰直角三角形的性质得到，则，由此即可求解； ②由等腰直角三角形，勾股定理得到，，结合，等量代换即可求解； （2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质，结合（1）中的②得到，则，，根据等面积法即可求解． 【完整解答】（1）解：①，， 证明：、都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ； 即，． ②证明：是等腰直角三角形，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， ； （2）解：过点作于， 由②知，， ， ，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ，即点到边的距离为． 【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求三角形的高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 题型讲练八 分母有理化 【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【完整解答】（1）证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点到边的距离为． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）阅读下面的折纸过程： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形．然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 请写出黄金矩形的边长之比，即_______________． 【答案】 【思路引导】设正方形的边长为，根据折叠性质得出的长，在中利用勾股定理求出的长，由折叠性质得，进而求出的长，最后计算比值． 【完整解答】解：设正方形的边长为，则 由第二步折叠可知，为的中点 在中，由勾股定理得 由第三步折叠可知， ． 题型讲练九 最简二次根式的判断 【例9】（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【完整解答】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 【变式】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．算术平方根等于自身的数只有1 B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．三角形一边上的高和这边上的中线重合 D．是最简二次根式 【答案】B 【思路引导】本题考查判断命题真假，涉及算术平方根，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的概念，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，最简二次根式的概念逐一判断选项即可 【完整解答】解：A、算术平方根等于自身的数为1和0，故原命题为假命题； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题为真命题； C、只有等腰三角形底边上的高和中线才重合，一般三角形不一定，故原命题为假命题； D、不是最简二次根式，故原命题为假命题， 故选B． 题型讲练十 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】(1)米 (2)选这条路线时，消耗的热量更多 【思路引导】（1）过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F，求出，则可得到的长，进而求出的长，证明四边形是矩形，得到米；证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再分别计算出两条路线消耗的热量，比较即可得到答案． 【完整解答】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴， 由题意得，， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵点正好在点的东北方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：步道的长度为米； （2）解：在中，由勾股定理得米， ∴米， 这条路线消耗的热量为千卡， 这条路线消耗的热量为 千卡， ∵， ∴选这条路线时，消耗的热量更多． 【变式】（25-26八年级下·安徽池州·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则________． （2）过点B作，交于点M，交于点N，若、，则正方形的边长是________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及矩形的判定与性质． （1）证明即可作答； （2）先证明是矩形，可得、长度，再在、、中，利用勾股定理即可求出，问题随之得解． 【完整解答】（1）解正方形、、， ，，， ，即， ， ， ， 正方形、、， ，， ， ； （2）解在正方形中，， ，， 四边形是矩形， ，，即， 中，，中，， 又 中，， ，则：， ， 则正方形的边长是． 题型讲练十一 已知最简二次根式求参数 【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【完整解答】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式，平移至（点与点对应，点与点对应），连接、． (1)求、的值及点坐标； (2)点、分别是、边上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接，当、分别在、边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，将线段绕点逆时针旋转至，连接，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)，， (2)存在， 的最小值为 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）先根据二次根式的性质求出，，进而得出点，坐标，最后用平移的性质求出点的坐标； （2）先判断出，判断出时，最小，最后用平行四边形的面积求出的最小值，即可求出答案； （3）连接，先判断出，得出，进而判断出，最后用勾股定理，即可得出结论． 【完整解答】（1）解：， 满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，， ，， 由平移得，， ， （2）解：如图，连接，过点作， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 则最小，即最小， 由（1）知，，， ，， ， ， 当时，有最小， 由平移可得，，且平行于， ∴四边形是平行四边形， ， ， 即的最小值为； （3）解：． 理由：如图2，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 根据勾股定理得，， ． 题型讲练十二 复合二次根式的化简 【例12】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【思路引导】把化为，再进行化简即可． 【完整解答】解：． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【思路引导】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 题型讲练十三 同类二次根式 【例13】先化简，再求值． ，其中，． 【答案】； 【思路引导】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【完整解答】 ， 当，时， 原式 ． 【变式】下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【思路引导】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【完整解答】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 题型讲练十四 二次根式的加减运算 【例14】（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②或 【思路引导】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【完整解答】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 题型讲练十五 二次根式的混合运算 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【思路引导】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点（不与B，C重合），点B，F关于直线对称，与相交于点H，M为延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：D，F，M三点共线； ②若，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②是，8 【思路引导】（1）证明即可得出结论； （2）①证明，，可得，从而可得结论； ②作于K，根据证明，得出，，设，求出， 求出，，，可计算出． 【完整解答】（1）证明：四边形是正方形， ，得，   点B，F关于直线对称， ，                         ，得，            ； （2）①连接， 四边形是正方形， ，            点B，F关于直线对称， ， ， ， ，               ， ， ， ，F，M三点共线；     ②解：作于K． ． 点B，F关于直线对称， 由（1）得 四边形是正方形， ， ， ， ， 设，   由①得， ， 则， ， ， ， ， ， ． 题型讲练十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【完整解答】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 【变式】．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3)2018 (4) 【思路引导】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化，进行求解即可； （2）逆用分母有理化，进行判断即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【完整解答】（1）解：，； 故与互为有理化因式，分母有理化得， 故答案为：， （2）解：∵， ， ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 题型讲练十七 已知条件式，化简求值 【例17】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【完整解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【思路引导】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【完整解答】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【考点剖析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 题型讲练十八 比较二次根式的大小 【例18】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【完整解答】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【思路引导】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【完整解答】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 题型讲练十九 二次根式的应用 【例19】（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，长方形空地的长BC为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求整改后长方形空地的总周长，即长方形与的周长总和（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的运算与长方形的周长、面积公式的应用，解题的关键是掌握二次根式的化简与乘法公式． （1）先根据长方形周长公式分别表示两个长方形的周长，再合并化简； （2）利用平方差公式计算小长方形的面积． 【完整解答】（1）解：长方形的周长为： 长方形的周长为： ． 总周长和为：． （2）解：长方形的面积为： ． 答（1）整改后长方形空地的总周长为； （2）长方形花卉实验田的面积为． 【变式】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 【答案】(1) (2)矩形是黄金矩形，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据定义证明即可； （3）由题意得，，由（2）可得，根据点是线段的黄金分割点，分类讨论，或，分别求得的长，即可求解． 【完整解答】（1）解：， ； （2）矩形是黄金矩形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， 又∵， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 矩形是黄金矩形； （3）由题意得，， 由（2）可得，则同理可得， 由折叠的性质可知：， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 当时，则， ； 当时，则， ， ； 综上所述，的长为或． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【完整解答】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【完整解答】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【思路引导】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明②正确，由得到，根据即可证明①正确． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， 故①②都正确. 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若，则的值是______． 【答案】 【思路引导】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【完整解答】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【思路引导】根据二次根式的定义，先确定的值，再求出． 【完整解答】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）． 故答案为：或． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】/ 【思路引导】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后计算加减即可得． 【完整解答】解：∵， ∴， 则 ． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路引导】①连接，证明，进而证明根据等角对等边即可判断；②由①中结论即可判断；③连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；④由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断． 【完整解答】解：①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形中，， 又∵， ∴，故①正确； ②在与中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故②正确； ③如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故③不正确； ④当点G在左边时，由②得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为， 当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大， 此时，m的最大值为， ∵点E不与B、D重合， ∴， 当点G在右边时，同理可得上述结论，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【完整解答】（1）解： （2）解： 9．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据进行计算即可； （2）从数轴可知：，，得到， ，代入化简即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：从数轴可知：，， ∴，， ∴，， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北随州·期中）已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）通过证明得到，则易推知是等腰直角三角形； （2）过点作，交于点，，，可证，得到； （3）连接，，设与交于，通过证明四边形是平行四边形得到，由勾股定理计算得到，即可得到答案． 【完整解答】（1）解：等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ， ∴， 根据题意可得：， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 由题意得，， 如图，过点作，交于点，   ， 则， ， ， 在与中， ， ， ； （3）解：如图3，连接，，设与交于，    由（）得为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，， ， ∵正方形中，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $