专题09二次根式期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式被开方数非负的核心条件，能准确判断二次根式有意义的取值范围。 2.掌握二次根式三大基本性质，理解双重非负性、化简公式、积商开方公式的本质。 3.理解最简二次根式、同类二次根式概念，能准确辨析、识别同类二次根式。 4.熟练掌握二次根式的化简、加减、乘除运算规则，掌握混合运算顺序与分母有理化方法。 5.掌握含二次根式的代数式求值、化简计算题型的解题原理。 1.具备利用被开方数≥0求解字母取值范围的分析能力。 2.能熟练对二次根式进行标准化化简，能精准识别同类二次根式并合并。 3.掌握分母有理化的两种常用方法，具备规范的根式运算能力。 4.能综合运用根式性质解决化简、求值、比较大小、取值范围类题型。 5.能规避根式化简中符号易错问题，提升含绝对值根式的化简能力。 1.基础题：根式有意义条件、最简根式、同类根式辨析零失误。 2.中档题：熟练完成二次根式化简、四则运算、混合运算，步骤规范、结果最简。 3.拔高题：攻克含参数取值、根式非负性压轴、根式化简求值、分母有理化高频考点。 4.杜绝高频失分：负数开方、化简符号错误、结果不化为最简二次根式等问题。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a 0 }=a a 0 =-a 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点06:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 1．下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质．根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【详解】解：A、不含二次根号，不是二次根式，故不符合题意； B 、中，被开方数为负数，不是二次根式，故不符合题意； C、，对任意实数a，都有，则，满足被开方数非负，因此一定是二次根式，故符合题意； D、当时，被开方数为负数，不是二次根式，因此不一定是，故不符合题意； 故选∶C． 2．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 3．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型02.求二次根式中的值 4．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 5．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型03.求二次根式中的参数 7．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 8．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 9．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 题型04.二次根式有意义的条件 10．要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴对于，可得不等式， 解得． ∴只有，满足条件． 11．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 12．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵函数， ∴，，， 解可得， 解可得， 解可得， 综上所述，自变量的取值范围是且． 题型05.利用二次根式的性质化简 14．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 15．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 16．若实数满足，化简的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的性质确定的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质得 ， ， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ， ， ． 17．已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上各点的位置有：，，再利用绝对值的意义和二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴ ． 题型06.二次根式的乘法 18．化简： （1）_____； （2）_____． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （1）先计算根号内的乘方，再计算乘法，最后化简成最简根式即可； （2）先计算根式里的乘法，再化简成最简根式，最后相乘即可． 【详解】解：（1） ； 解：（2） ． 故答案为：（1）；（2）． 19．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 20．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 21．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型07.二次根式的除法 22．下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式乘除运算、同底数幂乘法、合并同类项的法则对各选项进行计算即可判断结果． 【详解】解：A、，A错误，不符合题意； B、，B正确，符合题意； C、，C错误，不符合题意； D、，D错误，不符合题意． 23．计算：______. 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的除法，先根据负整数指数幂，二次根式的除法进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式除法法则，零指数幂的性质，按照先算乘除后算加减的运算顺序逐步计算即可； 【详解】解：原式 ． 25．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型08.二次根式的乘除混合运算 26．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 27．化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 28．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型09.最简二次根式的判断 29．下列各式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A．满足上述两个条件，是最简二次根式； 选项B．，被开方数含分母，不满足条件； 选项C．，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件； 选项D．，被开方数含分母，不满足条件． 30．下列各式：①、②、③、④，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断，即可求解． 【详解】解：①是最简二次根式； ②的被开方数含有分母，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式；④是最简二次根式； 故最简二次根式共有个． 31．下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可. 【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵当时， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵当时，不是最简二次根式， ∴C选项说法不正确，符合题意； ∵等式，当即时，， ∴D选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 32．已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，同时满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：（）被开方数不含分母；（）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：被开方数含有分母，不是最简二次根式； 被开方数可以化为分数，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 综上，不是最简二次根式的有个， 故选：． 题型10.化为最简二次根式 33．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ A选项，被开方数含能开得尽方的因数9， ∴ A不是最简二次根式； ∵ B选项，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数， ∴ B是最简二次根式； ∵ C选项，，被开方数含分母， ∴ C不是最简二次根式； ∵ D选项，被开方数含分母，且含能开得尽方的因数4， ∴ D不是最简二次根式． 34．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断即可，两个条件为：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C：，被开方数9是能开得尽方的平方数，不是最简二次根式； D：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 35．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 36．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型11.由最简二次根式求参数 37．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 38．若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 39．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 题型12.同类二次根式 40．最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，即可求出的值. 【详解】∵ ， 又∵ 最简二次根式与可以合并， ∴ 两个最简二次根式的被开方数相同， ∴ ． 41．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并 ∴， 解得． 42．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 题型13.二次根式的加减运算 43．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法直接合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，计算正确，D正确． 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．计算：． 【答案】 【详解】解：． 46．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型14.二次根式的混合运算 47．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．计算：． 【答案】3 【分析】先化简负整数指数幂，运用二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 49．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先利用二次根式的乘法运算和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型15.分母有理化 50．分母有理化：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为： 51．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 52．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先将除法转化为乘法，然后运用乘法分配律进行计算，再按照同分母分式加法法则进行计算，最后将未知数的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 53．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解： 当时， 原式 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 55．化简求值： (1)化简 (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可． （2）先根据分式的混合运算法则化简，再把a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式 ． 题型16.由字母的值,化简求值 56．若，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴. 57．已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法以及代数式的变形技巧是解题的关键． 先对、进行分母有理化，再计算和的值，最后将代数式变形为后求值． 【详解】解：，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 58．已知，． (1)填空：________； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）直接代入求解； （2）分别求出和的值，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ， ． 59．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先由二次根式定义确定，然后由二次根式性质变形，再合并同类二次根式化简，最后将，代入计算即可． 【详解】解：在中，由二次根式定义可知， ， 当，时，原式． 题型17.已知条件式.化简求值. 60．已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 61．已知，，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 62．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)4，1 (2)98 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 63．在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 题型18.二次根式的大小比较 64．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 又∵，， ∴，则． ∵；，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 65．比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 66．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 67．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 68．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 题型19.二次根式的应用 69．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 70．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 71．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 题型20.复合二次根式的化简 72．当时，化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 73．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 74．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式被开方数非负的核心条件，能准确判断二次根式有意义的取值范围。 2.掌握二次根式三大基本性质，理解双重非负性、化简公式、积商开方公式的本质。 3.理解最简二次根式、同类二次根式概念，能准确辨析、识别同类二次根式。 4.熟练掌握二次根式的化简、加减、乘除运算规则，掌握混合运算顺序与分母有理化方法。 5.掌握含二次根式的代数式求值、化简计算题型的解题原理。 1.具备利用被开方数≥0求解字母取值范围的分析能力。 2.能熟练对二次根式进行标准化化简，能精准识别同类二次根式并合并。 3.掌握分母有理化的两种常用方法，具备规范的根式运算能力。 4.能综合运用根式性质解决化简、求值、比较大小、取值范围类题型。 5.能规避根式化简中符号易错问题，提升含绝对值根式的化简能力。 1.基础题：根式有意义条件、最简根式、同类根式辨析零失误。 2.中档题：熟练完成二次根式化简、四则运算、混合运算，步骤规范、结果最简。 3.拔高题：攻克含参数取值、根式非负性压轴、根式化简求值、分母有理化高频考点。 4.杜绝高频失分：负数开方、化简符号错误、结果不化为最简二次根式等问题。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式概念与有意义条件 1. 定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 必备条件：带二次根号、被开方数非负。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 知识点02:核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 重点区分（学生必考混淆点） 1.()2：先开方、再平方，结果直接等于a 2.：先平方、再开方，结果必须带绝对值 分类化简（大题必考） 字母取值 化简结果 a 0 }=a a 0 =-a 知识点03:二次根式的性质与化简 —— 给根式 “整容变标准” 1. 最简二次根式（两大硬性标准，双检法） 必须同时满足两个条件，才算标准根式： (1)被开方数不含分数、小数； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 答题铁律：所有根式计算题，最终结果一律化为最简二次根式。 2. 同类二次根式（“同门兄弟” 判别法） (1)判断步骤：先化简 → 再比对 (2)判定规则：化成最简根式后，被开方数完全相同，即为同类二次根式（和根号外系数无关）。 (3)运算规则：可仿照整式合并同类项的方法合并。 记忆口诀：先化简，看根号，根内相同就合并。 知识点04:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点05:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点06:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 1．下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.求二次根式中的值 4．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03.求二次根式中的参数 7．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 题型04.二次根式有意义的条件 10．要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 11．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 12．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 13．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 题型05.利用二次根式的性质化简 14．如果，那么（   ） A． B． C． D． 15．下列二次根式化简结果为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 16．若实数满足，化简的结果是（     ） A． B． C．1 D． 17．已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 题型06.二次根式的乘法 18．化简： （1）_____； （2）_____． 19．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 20．计算：． 21．计算：． 题型07.二次根式的除法 22．下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 23．计算：______. 24．计算：． 25．计算： 题型08.二次根式的乘除混合运算 26．计算：． 27．化简： 28．计算： (1)； (2)； (3)． 题型09.最简二次根式的判断 29．下列各式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 30．下列各式：①、②、③、④，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 32．已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型10.化为最简二次根式 33．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 35．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 36．化简下列二次根式： (1)． (2)． 题型11.由最简二次根式求参数 37．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 38．若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 39．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 题型12.同类二次根式 40．最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 41．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 42．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 题型13.二次根式的加减运算 43．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 44．计算： (1)； (2)． 45．计算：． 46．计算∶ (1)； (2)． 题型14.二次根式的混合运算 47．计算： (1) (2) 48．计算：． 49．计算： (1)． (2)． 题型15.分母有理化 50．分母有理化：_______． 51．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 52．先化简，再求值：，其中． 53．先化简，再求值：，其中 54．先化简，再求值：，其中． 55．化简求值： (1)化简 (2)先化简，再求值：，其中 题型16.由字母的值,化简求值 56．若，，则的值为______． 57．已知，，则代数式的值为______． 58．已知，． (1)填空：________； (2)求代数式的值． 59．先化简，再求值： ，其中，． 题型17.已知条件式.化简求值. 60．已知，则代数式的值为______． 61．已知，，则代数式的值为________． 62．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 63．在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 题型18.二次根式的大小比较 64．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 65．比较大小：________．（填>，<，=） 66．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 67．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 68．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 题型19.二次根式的应用 69．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 70．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 71．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 题型20.复合二次根式的化简 72．当时，化简：______． 73．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 74．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $