专题05 分式（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题05 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式概念辨析 题型07 分式化简求值 题型02 分式有无意义与值为0的条件 题型08 分式的规律性问题 题型03 分式的基本性质与变形 题型09 分式方程及其解法 题型04 分式乘除、乘方运算 题型10 分式方程增根与无解含参题 题型05 分式加减运算 题型11 根据分式方程解的情况求参数 题型06 分式混合运算 题型12 分式方程的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与有无意义条件 1.能准确区分分式与整式； 2.熟练求解分式有意义、无意义、值为0的字母取值范围 基础小题必考； 易错：混淆分式值为0与有意义条件，忽略分母不为0 分式的基本性质与约分通分 1.掌握分式基本性质，能正确进行分式变形、约分、通分，化为最简分式 所有分式运算的基础； 易错：符号变形出错、约分不彻底、随意分子分母加减变形 分式的四则运算 1.熟练掌握分式乘除、乘方、加减混合运算，遵循运算顺序规范解题 期末计算高频考点； 易错：乘方符号错误、异分母通分出错、运算顺序混乱 分式化简求值 1.能先化简后代入求值，掌握整体代入、条件限定取值的解题规范 期末解答题固定考题，高频丢分点； 易错：未化简直接代值、代入使分母为0的数值 分式规律与参数问题 1.能根据分式恒等变形求参数取值，识别分式数列规律 填空压轴常考； 易错：恒等变形对应系数出错、漏写限制条件 分式方程（解法、增根与含参问题） 1.能区分分式方程与整式方程，熟练用去分母法解分式方程，牢记解方程后代入最简公分母检验； 2.理解增根含义，会利用增根、方程无解、解为正/负数等条件求字母参数； 3.能根据方程解的限定条件，求参数取值范围 期末必考，选择题、填空题常考增根求参数、已知解求参数； 分式方程的实际应用 1.掌握应用题六步解题法：审题→设未知数→列方程→解方程→双重检验（方程+实际意义）→作答 期末解答大题必考，单独1道应用题 知识点01 分式的概念 1.分式定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。 2.分式与整式区别：分母含字母为分式，分母不含字母为整式，π为常数，含π的式子不为分式。 3.三种核心条件 ①分式有意义：；②分式无意义：；③分式值为0：且（缺一不可）。 ·易错点：求分式值为0时，只令分子为0，忽略分母不能为0的限制条件，是最高频丢分点。 知识点02 分式的基本性质 1.基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.符号变形规则：分式的分子、分母、分式本身三处符号，改变任意两处符号，分式值不变。 3.约分与通分 约分：把分子分母公因式约去，化为最简分式（分子分母无公因式）； 通分：把异分母分式化为同分母分式，关键是找最简公分母。 ·易错点：分式变形只能乘除，不能分子分母单独加减；符号变换极易出错。 知识点03 分式的乘除与乘方 1.分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，先约分再计算； 。 2.分式除法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数； 。 3.分式乘方：分子分母分别乘方，注意符号； 。 ·易错点：符号处理失误，互为相反数的因式约分时常弄错正负符号。 知识点04 分式的加减运算 1.同分母分式加减：分母不变，分子直接相加减； 。 2.异分母分式加减：先通分，化为同分母，再加减，最后约分至最简； 。 ·易错点：分子加减时，多项式必须整体加括号，去括号易漏变号。 知识点05 分式混合运算顺序 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.有括号先算括号内，同级运算从左到右； 3.全程先因式分解、先约分，最后结果必须是最简分式或整式。 ·易错点：运算顺序混乱，去括号出错，括号前面是负号时，括号内各项忘记全部变号。 知识点06 分式方程 1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区别于整式方程：整式方程分母无未知数，分式方程分母含未知数。 2.解分式方程标准五步流程 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②去括号：根据去括号法则展开，注意符号变化； ③移项合并：移项变号，合并同类项，整理成标准整式方程； ④求解整式方程：算出未知数的值； ⑤必须验根（核心步骤）：将解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母=0，为增根，原方程无解。 3.增根的本质：增根是分式方程去分母后，整式方程的根，但该根使原分式方程分母为0，导致原方程无意义，因此必须舍去。 4.分式方程无解两类情况：①整式方程无解 → 原分式方程直接无解；②整式方程有解，但所有解均为增根 → 原分式方程无解。 ·易错点：解分式方程忘记验根；混淆增根与无解概念。 知识点07 分式方程应用题解题步骤 审→设→列→解→验→答； 双重检验：既要检验是否为方程增根，又要检验是否符合实际题意。 ·易错点：只验方程不验实际意义，导致答案错误。 题型一 分式概念辨析 解｜题｜技｜巧 区分整式与分式只看分母是否含字母。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 【变式1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 题型二 分式有无意义与值为0的条件 解｜题｜技｜巧 （1）分式有意义：分母； （2）分式无意义：分母； （3）值为0必须双条件：分子为0且分母不为0，分步验证。 【典例1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式无意义即分母为零，即． 【详解】解：∵ 分式无意义， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∴； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若分式有意义，则x的值不可以是（   ） A． B．π C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0的性质，求出x的取值范围，再判断选项即可求解． 【详解】解：∵分式有意义 ∴分母 ∴ 故选：D． 【典例3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件．根据分式值为的条件：分子为且分母不为，先求解分子为时的取值，再排除使分母为的值，即可得到符合条件的． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 由 ∴或 当时， 当时， ∴ 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期末）分式的值为零，则x的值为（    ） A．0或3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式为零的条件，熟记分式为零的条件是解题关键． 根据分式为零的条件（分子为零，分母不为零）列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 题型三 分式的基本性质与变形 解｜题｜技｜巧 （1）严格遵循分式基本性质，只做同乘同除变形，禁止分子分母单独加减； （2）熟练掌握三处符号互换规律，快速化简符号复杂的分式。 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的变形及分式的基本性质，需根据相关规则逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】A选项： ，该变形正确，符合题意； B选项： ，该变形错误，不符合题意； C选项： ，该变形错误，不符合题意； D选项： 分式的基本性质要求分子分母同乘的数不为0，当时，，分式无意义， 该变形不一定成立，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立． 【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴B选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴C选项错误，不符合题意； ∵，∴（），∴D选项正确，符合题意； 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，通过直接代入验证分式值是否不变即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质．将和都变为原来的一半代入分式，计算新分式的值并与原分式比较. 【详解】解：， 即分式的值变为原来的2倍 故选：B． 题型四 分式乘除、乘方运算 解｜题｜技｜巧 （1）全部因式分解； （2）交叉约分，最后再相乘； （3）乘方运算优先判断整体符号，偶数次幂为正，奇数次幂保留符号。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，分式的乘除混合运算，解题的关键是正确运用各运算法则． 运用指数法则和分式运算法则逐一验证每个选项的运算是否正确． 【详解】解：A、（除非），故A选项运算错误，不符合题意； B、，故B选项运算错误，不符合题意； C、，故C选项运算错误，不符合题意； D、，故D选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·期末）化简：______． 【答案】 【分析】先计算分式的平方，再与另一个分式相乘，最后约分 本题考查了分式的运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：计算， 然后 ， 约分得． 故答案为：． 题型五 分式加减运算 解｜题｜技｜巧 （1）找最简公分母通分； （2）分子多项式整体加减、正确去括号； （3）合并同类项； （4）因式分解约分至最简。 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，需先将异分母分式化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算. 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为________． 【答案】2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型六 分式混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）先观察结构，有括号先算括号内，先因式分解再约分，先乘方后乘除最后加减，步步化简，不跳步、不硬算，保证结果最简。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算减法，再化简分式即可； （2）先计算减法，再计算乘法，最后化简分式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·山西阳泉·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9996 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式、因式分解和分式的运算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后去括号合并同类项即可； （2）先因式分解，再通分计算括号里的加法，再把除法转化为乘法后进行约分； （3）先因式分解，括号里的先约分化简，再算乘方，然后将除法转化为乘法，约分化简． （4）将转化为平方差公式的形式，再用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型七 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）化简完成后，先根据原式排除使分母、除式为0的数值，再选取合适数值代入计算，杜绝违规取值。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先把分式化简后，再把x的值代入求出分式的值即可． 【详解】解： 当时，原式 【变式1】（25-26九年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式进行化简，再代入求值． 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． 【点睛】重点掌握平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算法则以及零指数幂和负整数指数幂． 【变式2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）先化简：，再从、0、1中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是关键．先计算括号内的，再计算除法化简原式，然后根据分式有意义的条件可得且，可选择代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 由题意，分式有意义，则且，解得且 且， 当时， 原式， 【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）先化简，再求值：，从的范围内选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值及分式有意义的条件，先将分式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定代入的值计算即可． 【详解】解： ， 且为整数，，，， ，，， ，，， 当时， 原式． 题型八 分式的规律性问题 解｜题｜技｜巧 （1）通项找项：拆分符号、分子、分母、字母指数，分别列式再合并；正负交替用(−1)n或(−1)n+1； （2）裂项求和：分母为两数乘积，拆分分式，中间抵消简便运算； （3）周期递推：依次求值找循环周期，用总数 ÷ 周期，凭余数得答案。 【典例1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期性变化，周期为4，然后根据2026在周期中的位置确定其值． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， 即，因此序列每4项循环一次，周期为4． 由于， 故． 故答案为． 题型九 分式方程及其解法 解｜题｜技｜巧 （1）解分式方程：①确定最简公分母；②全员同乘去分母（常数项也要乘）；③解整式方程；④代入公分母严格验根；⑤作答。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边都乘以得， 解得 当时， ∴是分式方程的解． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】先把分式方程化为整式方程，最后注意验根，即可作答． 【详解】解： 去分母得： 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，得， 展开化简得，解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型十 分式方程增根与无解含参题 解｜题｜技｜巧 （1）增根问题：先找使分母为0的增根，代入整式方程反求参数； （2）无解问题：分“整式无解”和“有解全为增根”两种情况分类讨论。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 【典例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴把代入中，解得：． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 题型十一 根据分式方程解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先化整式，再控范围，必排除增根。 【典例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解及限制条件，注意分母不为零，先将分式方程化为整式方程，用m表示出方程的解，再根据解为正数且分母不为0的条件，列出不等式求解m的取值 范围． 【详解】解：∵方程两边同时乘以得，， ∴展开得， ∴整理得 ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不能为0，即， ∴，解得， ∴m的取值范围是且， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 【典例2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围． （1）先将代入分式方程，再求解分式方程，最后将求解的x进行检验，若分母不为0即为分式方程的解； （2）先将分式方程化为整式方程，得出x的表达式，再根据方程的解是非负数这一条件，进一步确定m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘，得，解得， 当时，， ∴分式方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘，得，解得， ∵这个方程的解为非负数， ∴且，解得且． 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解的定义等知识． （1）将代入方程，可得方程为，解分式方程即可； （2）解分式方程得，根据方程解为正数，得到且，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， ∵方程解为正数， ∴，且， 即，且， ∴，且． 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 题型十二 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 解题步骤：①审题找等量关系；②设未知数，列分式方程；③解方程；④双重检验；⑤规范作答。 【典例1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【答案】(1)250米 (2)275米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． （1）设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2)甲车的平均行驶速度； (3) 【分析】本题考查列代数式，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得到乙车的平均行驶速度为，利用时间路程速度即可解答； （2）根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可； （3）由题意得甲车所用时间为，乙车所用时间为，根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得到乙车的平均行驶速度为， 则甲车到达B地用时，乙车到达B地用时， 甲车用时是乙车用时的（倍）； 故答案为：，，； （2）解：由题意得，，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲车的平均行驶速度是； （3）解：由题意得甲车所用时间为：，乙车所用时间为：， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，即甲车的平均行驶速度是． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． (1)若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【答案】(1)甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为 (2)25 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，根据时间差，列出方程求解即可； （2）得出乙无人机的平均巡航速度为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴，， ∴甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为； （2）解：乙无人机的平均巡航速度为， ∴ 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴的值为25． 【典例2】（25-26八年级上·云南楚雄·期末）有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 【答案】6天 【分析】本题考查分式方程的实际应用-工程问题，核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系构建等量关系．先设预期完成天数为未知数，分别表示甲、乙两队的工作效率；再根据“甲队总共工作2天完成的工作量与乙队总共工作天完成的工作量之和为单位1”列出分式方程，最后求解并检验，得到符合实际的解． 【详解】解：设这项工程预期天完成，则甲队单独完成该工程需天，乙队单独完成该工程需天． 设工作总量为1，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 根据题意，可列方程：； 解得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：这项工程预期6天完成． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【答案】(1)甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件 (2)培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件 【分析】（1）设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍，列出方程进行求解即可； （2）设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得        解得    检验：当时， 原分式方程的解为           答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件； （2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得      解得      检验：当时， 原分式方程的解为       （个） （个） 答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件． 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．凤冈县的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术，主要体现在两种核心工艺上，即人工炒茶和机器炒茶，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和李厂长（机器炒茶）的对话： 仔细阅读茶农与李厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？ (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【答案】(1)手工炒茶每小时能炒斤； (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了小时． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得，手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，设他们两人合作了小时，完成李厂长提出的合作订单，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， 答：手工炒茶每小时能炒斤； （2）解：由（）得，手工炒茶每小时能炒斤，则机器炒茶每小时能炒斤，设他们两人合作了小时，完成李厂长提出的合作订单， 根据题意得：， 解得：， 答：完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了小时． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 【答案】(1)每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元 (2)该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品 【分析】（1）设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元，根据“用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半”得到方程，即可解得结果； （2）设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品，由于买一个 A 赠一个 B，实际只需支付 个 B 种用品的费用，且需满足总需求量 ，根据题意列不等式组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则(元/个)， 答：每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元； （2）解：设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品， 根据题意得， 解得， 答：该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 【答案】任务一：A型号充电桩单价为0.8万元，B型号充电桩单价为1万元，任务二：购买这批充电桩所需总费用为18.4万元 【分析】任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据数量相等列出分式方程求解； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，根据“A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的”列出方程，求出的值，可得A、B型号充电桩的数量，再结合（1）的单价可求总费用． 【详解】解：任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，由题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴， 答：A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1万元； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，根据题意得： ， 解得：， 所以，， 所以，总费用为（万元） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·甘肃定西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 2.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若分式的值为0，则整数x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是明确分式值为0需满足分子为0且分母不为0． 先求解分子为0时的x值，再排除使分母为0的x值，从而确定整数x的值． 【详解】解：根据分式的值为0得，， 解得或， 又∵， 即， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】先根据运算法则先进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式； 当时，原式． 5．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查了分式的混合运算和分式方程的解法，关键是掌握分式运算的法则和分式方程的解题步骤，注意分式方程解完后要检验． （1）先计算括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分得到最简分式；运算过程中需注意符号的变化以及因式分解的应用． （2）先确定最简公分母，将分式方程两边同乘最简公分母转化为整式方程，求解整式方程后，必须检验所得的解是否使原分式方程的分母为0，若分母不为0则为原方程的解，否则为增根，原方程无解． 【详解】（1）解： ； （2）解：方程两边同时乘以，得：， ， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2.（25-26八年级上·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 1.当时，由定义得： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵，符合条件， 故此解有效； 2.当时，由定义得： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵，不符合的条件， 故此解舍去． 综上，x的值为3． 【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式 ，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 2.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式概念辨析 题型07 分式化简求值 题型02 分式有无意义与值为0的条件 题型08 分式的规律性问题 题型03 分式的基本性质与变形 题型09 分式方程及其解法 题型04 分式乘除、乘方运算 题型10 分式方程增根与无解含参题 题型05 分式加减运算 题型11 根据分式方程解的情况求参数 题型06 分式混合运算 题型12 分式方程的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与有无意义条件 1.能准确区分分式与整式； 2.熟练求解分式有意义、无意义、值为0的字母取值范围 基础小题必考； 易错：混淆分式值为0与有意义条件，忽略分母不为0 分式的基本性质与约分通分 1.掌握分式基本性质，能正确进行分式变形、约分、通分，化为最简分式 所有分式运算的基础； 易错：符号变形出错、约分不彻底、随意分子分母加减变形 分式的四则运算 1.熟练掌握分式乘除、乘方、加减混合运算，遵循运算顺序规范解题 期末计算高频考点； 易错：乘方符号错误、异分母通分出错、运算顺序混乱 分式化简求值 1.能先化简后代入求值，掌握整体代入、条件限定取值的解题规范 期末解答题固定考题，高频丢分点； 易错：未化简直接代值、代入使分母为0的数值 分式规律与参数问题 1.能根据分式恒等变形求参数取值，识别分式数列规律 填空压轴常考； 易错：恒等变形对应系数出错、漏写限制条件 分式方程（解法、增根与含参问题） 1.能区分分式方程与整式方程，熟练用去分母法解分式方程，牢记解方程后代入最简公分母检验； 2.理解增根含义，会利用增根、方程无解、解为正/负数等条件求字母参数； 3.能根据方程解的限定条件，求参数取值范围 期末必考，选择题、填空题常考增根求参数、已知解求参数； 分式方程的实际应用 1.掌握应用题六步解题法：审题→设未知数→列方程→解方程→双重检验（方程+实际意义）→作答 期末解答大题必考，单独1道应用题 知识点01 分式的概念 1.分式定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。 2.分式与整式区别：分母含字母为分式，分母不含字母为整式，π为常数，含π的式子不为分式。 3.三种核心条件 ①分式有意义：；②分式无意义：；③分式值为0：且（缺一不可）。 ·易错点：求分式值为0时，只令分子为0，忽略分母不能为0的限制条件，是最高频丢分点。 知识点02 分式的基本性质 1.基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.符号变形规则：分式的分子、分母、分式本身三处符号，改变任意两处符号，分式值不变。 3.约分与通分 约分：把分子分母公因式约去，化为最简分式（分子分母无公因式）； 通分：把异分母分式化为同分母分式，关键是找最简公分母。 ·易错点：分式变形只能乘除，不能分子分母单独加减；符号变换极易出错。 知识点03 分式的乘除与乘方 1.分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，先约分再计算； 。 2.分式除法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数； 。 3.分式乘方：分子分母分别乘方，注意符号； 。 ·易错点：符号处理失误，互为相反数的因式约分时常弄错正负符号。 知识点04 分式的加减运算 1.同分母分式加减：分母不变，分子直接相加减； 。 2.异分母分式加减：先通分，化为同分母，再加减，最后约分至最简； 。 ·易错点：分子加减时，多项式必须整体加括号，去括号易漏变号。 知识点05 分式混合运算顺序 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.有括号先算括号内，同级运算从左到右； 3.全程先因式分解、先约分，最后结果必须是最简分式或整式。 ·易错点：运算顺序混乱，去括号出错，括号前面是负号时，括号内各项忘记全部变号。 知识点06 分式方程 1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区别于整式方程：整式方程分母无未知数，分式方程分母含未知数。 2.解分式方程标准五步流程 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； ②去括号：根据去括号法则展开，注意符号变化； ③移项合并：移项变号，合并同类项，整理成标准整式方程； ④求解整式方程：算出未知数的值； ⑤必须验根（核心步骤）：将解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母=0，为增根，原方程无解。 3.增根的本质：增根是分式方程去分母后，整式方程的根，但该根使原分式方程分母为0，导致原方程无意义，因此必须舍去。 4.分式方程无解两类情况：①整式方程无解 → 原分式方程直接无解；②整式方程有解，但所有解均为增根 → 原分式方程无解。 ·易错点：解分式方程忘记验根；混淆增根与无解概念。 知识点07 分式方程应用题解题步骤 审→设→列→解→验→答； 双重检验：既要检验是否为方程增根，又要检验是否符合实际题意。 ·易错点：只验方程不验实际意义，导致答案错误。 题型一 分式概念辨析 解｜题｜技｜巧 区分整式与分式只看分母是否含字母。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 题型二 分式有无意义与值为0的条件 解｜题｜技｜巧 （1）分式有意义：分母； （2）分式无意义：分母； （3）值为0必须双条件：分子为0且分母不为0，分步验证。 【典例1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）无论取何值，下列分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若分式有意义，则x的值不可以是（   ） A． B．π C． D．2 【典例3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期末）分式的值为零，则x的值为（    ） A．0或3 B． C． D．3 题型三 分式的基本性质与变形 解｜题｜技｜巧 （1）严格遵循分式基本性质，只做同乘同除变形，禁止分子分母单独加减； （2）熟练掌握三处符号互换规律，快速化简符号复杂的分式。 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 题型四 分式乘除、乘方运算 解｜题｜技｜巧 （1）全部因式分解； （2）交叉约分，最后再相乘； （3）乘方运算优先判断整体符号，偶数次幂为正，奇数次幂保留符号。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·期末）化简：______． 题型五 分式加减运算 解｜题｜技｜巧 （1）找最简公分母通分； （2）分子多项式整体加减、正确去括号； （3）合并同类项； （4）因式分解约分至最简。 【典例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为________． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 题型六 分式混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）先观察结构，有括号先算括号内，先因式分解再约分，先乘方后乘除最后加减，步步化简，不跳步、不硬算，保证结果最简。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）分式计算 (1) (2) 【变式3】（25-26八年级上·山西阳泉·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 （1）化简完成后，先根据原式排除使分母、除式为0的数值，再选取合适数值代入计算，杜绝违规取值。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26九年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）先化简：，再从、0、1中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）先化简，再求值：，从的范围内选择一个合适的整数代入求值． 题型八 分式的规律性问题 解｜题｜技｜巧 （1）通项找项：拆分符号、分子、分母、字母指数，分别列式再合并；正负交替用(−1)n或(−1)n+1； （2）裂项求和：分母为两数乘积，拆分分式，中间抵消简便运算； （3）周期递推：依次求值找循环周期，用总数 ÷ 周期，凭余数得答案。 【典例1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 题型九 分式方程及其解法 解｜题｜技｜巧 （1）解分式方程：①确定最简公分母；②全员同乘去分母（常数项也要乘）；③解整式方程；④代入公分母严格验根；⑤作答。 【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）解方程： 【变式1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）解方程：． 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）解方程：． 题型十 分式方程增根与无解含参题 解｜题｜技｜巧 （1）增根问题：先找使分母为0的增根，代入整式方程反求参数； （2）无解问题：分“整式无解”和“有解全为增根”两种情况分类讨论。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【变式2】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【典例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 题型十一 根据分式方程解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先化整式，再控范围，必排除增根。 【典例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【典例2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 题型十二 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 解题步骤：①审题找等量关系；②设未知数，列分式方程；③解方程；④双重检验；⑤规范作答。 【典例1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． (1)若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【典例2】（25-26八年级上·云南楚雄·期末）有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）手工是“凭经验的艺术”，机器是“按标准的科学”，两者一个传承文化，一个提升产业．凤冈县的茶叶生产融合了传统智慧与现代技术，主要体现在两种核心工艺上，即人工炒茶和机器炒茶，两者相辅相成．下面是茶农（手工炒茶）和李厂长（机器炒茶）的对话： 仔细阅读茶农与李厂长的对话，解决以下问题： (1)手工炒茶，每小时能炒多少斤？ (2)完成李厂长提出的合作订单，他们两人合作了多少小时？ 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·甘肃定西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若分式的值为0，则整数x的值为_______． 4．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）（1）计算：； （2）解分式方程：． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式 ，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 3．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $