专题八 二次根式（10大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题八 二次根式 考点一：二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 【典例精讲】（2026春•西和县月考）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【解答】解：A、当a≥0时，是二次根式，当a＜0时，没有意义，选项式子不是二次根式，不符合题意； B、当a≥﹣1时，是二次根式，当a＜﹣1时，没有意义，选项式子不是二次根式，不符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、由于a2+1＞0，故是二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2026春•道外区期中）下列式子是二次根式的是（　　） A．2x B． C． D． 【答案】C 【分析】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、2x不是二次根式，故此选项不符合题意； B、不是二次根式，故此选项不符合题意； C、是二次根式，故此选项符合题意； D、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2026春•淄博校级月考）下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【解答】解：①，根指数为2，被开方数，是二次根式，符合题意； ②，被开方数﹣5＜0，在实数范围内无意义，不是二次根式，不符合题意； ③，根指数为2，∵x2≥0，∴x2+1≥1＞0，满足被开方数非负，是二次根式，符合题意； ④，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，不符合题意； ⑤，根指数为2，被开方数，是二次根式，符合题意． 故选：B． =考点二：二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例精讲】（2026•五华区校级模拟）要使有意义的x取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≤3 C．x＜3 D．x≤3且x≠2 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【解答】解：由条件可知3﹣x≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≤3且x≠2． 故选：D． 【变式训练1】（2026春•廉江市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，可得2x﹣5≥0，求出x的取值范围即可． 【解答】解：由题意得2x﹣5≥0， 解得． 故选：B． 【变式训练2】（2026春•兴宁市期中）已知，则y﹣x的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组解答即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得， 解得x＝3， ∴y＝5， ∴y﹣x＝5﹣3＝2． 故选：C． 考点三：二次根式的性质与化简 1、二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） 2、二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） 3、化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例精讲】（2026春•番禺区校级单元）如果，则x＝（　　） A．9 B． C．±9 D．± 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义得出x2＝81，再计算即可． 【解答】解：如果，则x2＝81， ∴x＝±9， 故选：C． 【变式训练1】（2026•卢氏县二模）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质逐项化简即可． 【解答】解：根据二次根式的性质逐项化简如下： A：，A计算错误，不符合题意； B：，B计算错误，不符合题意； C：，C计算正确，符合题意； D：，D计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2026春•庐江县校级期中）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　） A．1 B．﹣5 C．13 D．19﹣4k 【答案】A 【分析】首先根据三角形三边关系确定k的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，最后计算得到结果． 【解答】解：由三角形三边关系得3﹣1＜k＜3+1， 即2＜k＜4， ∴2k﹣9＜0，2k﹣3＞0， 原式 ＝7﹣|2k﹣9|﹣|2k﹣3| ＝7﹣（9﹣2k）﹣（2k﹣3） ＝7﹣9+2k﹣2k+3 ＝1． 故选：A． 考点四：最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【典例精讲】（2026春•海淀区校级期中）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•龙口市期中）下列式子中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可． 【解答】解：根据最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式逐项分析判断如下： A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、的被开方数21不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义； C、分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式； D、，被开方数含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式， 故选：B． 【变式训练2】（2026春•牟平区期中）在，，，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个， 故选：B． 考点五：二次根式的乘法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义 【典例精讲】（2025秋•武乡县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝2． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•同步）下列计算正确的有（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除法法则，二次根式的性质与化简分别计算判断即可． 【解答】解：①2×3＝6； ②2×3＝6； ③3×1＝3； ④3． 所以计算正确的有1个， 故选：A． 【变式训练2】（2026春•中江县月考）若，那么（　　） A．a≥3 B．a≥0 C．0≤a≤3 D．a为一切正实数 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则成立的条件解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴a≥3， 故选：A． 考点六：二次根式的除法 （1）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （2）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【典例精讲】（2026春•越城区校级期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为含和的表达式，结合已知条件，进行化简． 【解答】解：∵， ∴原式． 故选：D． 【变式训练1】（2026春•惠城区期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、化简规则，逐一计算各选项即可解答． 【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（2025春•西陵区期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘除法法则分别判断即可． 【解答】解：①（a≥0，b≥0），原变形错误； ②（a≥0，b＞0），原变形错误； ③，变形正确； ④，变形正确； 所以从左到右的变形正确的有2个， 故选：B． 考点七：分母有理化 1、分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． 2、两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 【典例精讲】（2025秋•栾城区校级期末）已知，，则a与b的关系是（　　） A．a+b＝0 B．a＝b C．a•b＝1 D．a•b＝﹣1 【答案】A 【分析】先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【解答】解：∵ ， 又∵， ∴a+b＝0， 故选：A． 【变式训练1】（2026•虹口区二模）下列各式中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需找到与相乘后积不含根号的选项． 【解答】解：根据题意可知，，结果不含根号，符合有理化因式的定义， 其余选项与相乘后，结果仍含有根号，不符合要求． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•崇明区期末）下列各选项中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式计算去掉根号即可． 【解答】解：的有理化因式是， 故选：B． 考点八：同类二次根式 同类二次根式的定义： 　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质把选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断． 【解答】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（2026春•东川区期中）把下列二次根式化成最简二次根式后，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【解答】解：A、，故能与合并，不符合题意； B、，故能与合并，不符合题意； C、，故不能与合并，符合题意； D、，故能与合并，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•正定县期末）若最简二次根式可以与合并，则a的值可以是（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先把化为2，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【解答】解：2， ∵最简二次根式可以与合并， ∴a+1＝3， 解得a＝2． 故选：C． 考点九：二次根式的加减 1、法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2、步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3、合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【典例精讲】（2026春•巩留县期中）计算的结果是　　 ． 【答案】． 【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式 ． 【变式训练1】（2026•松北区二模）计算：　　 ． 【答案】． 【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【变式训练2】（2026春•西和县月考）计算：． 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再算二次根式的加减即可． 【解答】解： ． 考点九：二次根式混和运算 1、二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3、在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【典例精讲】（2026•武清区二模）计算的结果为　71　 ． 【分析】先利用平方差公式简化计算，再由二次根式性质计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝（6）2﹣12＝72﹣1＝71． 故答案为：71． 【变式训练1】（2026•红桥区三模）计算的结果为　6　 ． 【分析】先算完全平方公式，再算加减即可． 【解答】解： ＝2+1+22+1﹣2 ＝6． 故答案为：6． 【变式训练2】（2026春•黄岩区期中）我们规定运算符号“△”的意义是当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，则　　 ． 【分析】先判断与、与的大小关系，再根据新运算法则计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 考点十：二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例精讲】（2026春•台州期中）已知，． （1）求m2﹣mn+n2的值； （2）若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求ma+nb的值． 【分析】（1）先计算m+n和mn的值，再利用完全平方公式把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，然后利用整体代入的方法计算； （2）由23得到7＜58，2＜53，所以m＝7，n＝52＝3，所以ma+nb＝7（5）+（3）（5），然后进行二次根式的混合运算． 【解答】解：（1）∵m＝5，n＝5， ∴m+n＝10，mn＝25﹣7＝18， ∴m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝102﹣3×18＝46； （2）∵4＜7＜9， ∴23， ∴7＜58，﹣32， ∴2＜53， ∴m＝7，n＝52＝3， ∴ma+nb＝7（5）+（3）（5）＝35+715﹣357＝57． 【变式训练1】（2026春•廉江市期中）【课本再现】一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数． 【探究新知】（1）若，则a的取值范围是a≥0　 ． 【知识应用】（2）若，求（a+b）2025的值． 【拓展应用】（3）若，求a﹣20242的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，得出a的取值范围即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性即可解决问题； （3）根据二次根式及绝对值的非负性即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为， 所以a的取值范围是a≥0． 故答案为：a≥0； （2）因为， 所以a+b+1＝0且a﹣2b+4＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 所以（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1； （3）由题知， a﹣2025≥0， 所以a≥2025， 则2024﹣a≤﹣1＜0， 所以a﹣2024， 则， 所以a﹣2025＝20242， 则a﹣20242＝2025． 【变式训练2】（2026春•寿县月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … （1）按照你所发现的规律，请你写出第5个等式：　　 ； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）利用（2）中的规律计算：． 【分析】（1）观察已知等式的规律，代入n＝5写出对应的二次根式化简等式； （2）根据规律猜想第n个等式，再通过通分、因式分解和二次根式性质证明等式成立； （3）利用（2）的规律将乘积转化为分数相乘的形式，约分化简后得到结果． 【解答】解：（1）根据题意可知，第5个等式是． 故答案为：； （2）根据题意可知，第n个等式为：， 证明：已知n为正整数， ∵左边右边， ∴原等式成立； （3） ． 1．（2026春•邹城市校级月考）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 【答案】B 【分析】分别根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件解答即可．． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣2＞0， ∴x＞2． 故选：B． 2．（2026春•番禺区校级单元）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴得出a与b的取值范围，再根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由数轴可知， a＜0＜b且|a|＞|b|， A、b﹣a＞0，故有意义，符合题意； B、a﹣b＜0，故无意义，不符合题意； C、a+b＜0，故无意义，不符合题意； D、ab＜0，故无意义，不符合题意． 故选：A． 3．（2026春•武昌区校级期中）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和平方根的定义解答即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．（2026春•林州市月考）下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出3﹣a＞0，可得a﹣3＜0，由此可将a﹣3变形得出答案． 【解答】解：由题意得：3﹣a＞0，可得a﹣3＜0， ∴（3﹣a）． 故选：D． 5．（2026春•濠江区月考）化简的结果是（　　） A．10 B．20 C．40 D． 【答案】B 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 【解答】解：根据二次根式乘法法则可得： ， 因此化简结果为20． 故选：B． 6．（2026春•鞍山月考）若a＞0，b＞0，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则将除法化成乘法进而化简得出即可． 【解答】解： ＝a ． 故选：D． 7．（2026春•淄博校级月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的乘除法的法则进行运算即可． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 8．（2026春•同步）已知a，b，则的值（　　） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则，求出，再利用平方差公式比较分子和分母的大小，从而得到答案即可． 【解答】解：∵a，b， ∴， ∵2021×2023＝（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣1， ∴2021×2023＜20222， ∴， 故选：B． 9．（2026春•蓬莱区期中）化简的结果是（　　） A．﹣x B．3x﹣2 C．x D．﹣3x﹣2 【答案】C 【分析】将原式整理后根据二次根式有意义的条件确定x的范围，然后利用二次根式的性质化简并计算即可． 【解答】解：原式（）2， 则1﹣2x≥0， 解得：x≤0.5， 则x﹣1＜0， 原式＝1﹣x﹣（1﹣2x） ＝1﹣x﹣1+2x ＝x， 故选：C． 10．（2025秋•闵行区校级期中）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 【解答】解：倒数为， ． 故选：A． 11．（2026春•南岗区校级月考）在下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义进行作答即可． 【解答】解：A．原式＝4，故本选项不符合题意； B．原式，故本选项不符合题意； C．原式是最简二次根式，故本选项符合题意； D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 12．（2025秋•房山区期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质把各个不是最简二次根式的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断． 【解答】解：A、2， 则与不是同类二次根式，不符合题意； B、， 则与是同类二次根式，符合题意； C、2，2， 则与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 13．（2026春•西山区校级月考）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解答】解：， ∵n是一个正整数，是整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 14．（2026•南海区校级一模）若，，则下列表示正确的是（　　） A．5m B．5n C．5mn D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【解答】解：55n， 故选：B． 15．（2026•鲁山县二模）若，则a﹣b的值为（　　） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【分析】两边同时除以即可得到a﹣b的值． 【解答】解：两边同时除以可得： ． 故选：C． 16．（2026春•潜江月考）已知实数a，b满足，则a+b的值为（　　） A．3 B．7 C．10 D．3或7 【答案】C 【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出a+b即可． 【解答】解：∵实数a，b满足， ∴， 解得a≥3且a≤3， ∴a＝3， 将a＝3代入得b＝2×0+0+7＝7， ∴a+b＝3+7＝10． 故选：C． 17．（2026春•成武县期中）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（　　） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【解答】解：将二次根式分母有理化并找到规律进行计算如下： ， ， ， ∴n＝200． 故选：B． 18．（2026春•下城区期中）当x＝6时，二次根式的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝6时，2． 故答案为：2． 19．（2026春•西和县月考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是　﹣2a﹣b ． 【答案】﹣2a﹣b． 【分析】先根据数轴的定义得出a＜0＜b，|a|＞|b|，a+b＜0，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【解答】解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，a+b＜0， ∴原式＝﹣a+|a+b| ＝﹣a﹣（a+b） ＝﹣a﹣a﹣b ＝﹣2a﹣b． 故答案为：﹣2a﹣b． 20．（2026•雷州市模拟）已知点A（2m﹣6，1﹣m）在第三象限，化简的结果为　2　 ． 【答案】2． 【分析】由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【解答】解：由条件可知2m﹣6＜0且1﹣m＜0，解得1＜m＜3． 所以原式＝3﹣m+m﹣1＝2． 故答案为：2． 21．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵a＜0， ∴﹣4a3＞0， ∴b＞0， ∴原式． 故答案为：． 22．（2026春•城中区校级期中）　﹣2　 ． 【分析】根据乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝[（]2025 ＝﹣1 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 23．（2026•南岗区校级二模）计算24的结果是　　 ． 【分析】先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 24．（2026春•鹿邑县月考）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　　 ． 【分析】根据新定义列出算式计算即可． 【解答】解：由题意，得：． 故答案为：． 25．（2026春•门头沟区校级期中）已知2＜x＜3，化简：　1　 ． 【答案】1． 【分析】本题利用二次根式的性质化简，再根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去绝对值符号后合并同类项即可得到结果． 【解答】解：． 故答案为：1． 26．（2026春•洪山区期中）若x、y、z、m满足：，则m﹣2026的值为　11　 ． 【分析】确定等式右边的值：根据二次根式被开方数非负，得x﹣4y+3z＝2026，等式右边为0．分析等式左边：因左边为两个非负数之和且等于0，故每个根式为0，得方程组：，联立方程求解m：将x﹣4y+3z＝2026与上述方程组联立，消元后解得m＝2037．计算m﹣2026：2037﹣2026＝11． 【解答】解：因为：， 所以x﹣4y+3z﹣2026≥0，2026﹣x+4y﹣3z≥0， 得x﹣4y+3z≥2026，x﹣4y+3z≤2026， 所以x﹣4y+3z＝2026， 所以0， 步骤2：因左边非负且和为0，故：0， 所以， ①﹣②得：x+3y﹣z＝8③， 由③得z＝x+3y﹣8， 代入x﹣4y+3z＝2026得： x﹣4y+3（x+3y﹣8）＝2026， 4x+5y＝2050④， 将z＝x+3y﹣8代入②：2x﹣y+2（x+3y﹣8）﹣m+3＝0， 4x+5y﹣m﹣13＝0⑤， 将④代入⑤：2050﹣m﹣13＝0解得m＝2037， m﹣2026＝2037﹣2026＝11． 故答案为：11． 27．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并即可； （2）先化为最简二次根式，再合并即可； （3）利用分配律进行简便运算即可； （4）先计算二次根式的乘法运算，除法运算，再合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ＝5﹣49+2 ＝﹣42． 28．（2026春•武昌区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式除法法则计算，合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式0； （2）原式 ． 29．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化为最简二次根式再合并同类二次根式； （2）根据同级运算从左到右的顺序进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 30．（2026春•荣县月考）已知，求的值． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求出x的值，再根据x的值求出y的值，最后代入求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴x＝3， ∴， ∴． 31．（2026春•蒙城县月考）已知实数x＞0，，． （1）求M2﹣N2的值； （2）若M﹣N＝2，求x的值． 【分析】（1）直接把M、N的值代入计算即可； （2）运用平方差公式求出M+N＝5，与M﹣N＝2结合求出，由可求出x的值． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）由（1）知，M2﹣N2＝（M+N）（M﹣N）＝10， ∵M﹣N＝2， ∴M+N＝5， ∴N＝5﹣M， ∴M﹣（5﹣M）＝2， 解得， ∴ ∴， ∵x＞0， ∴． 32．（2026春•寿县月考）已知． （1）求x、y的值； （2）计算：． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值即可； （2）把x，y的值代入，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， 解得． ∴y＝0+0+4＝4； （2）由（1）知，x，y＝0， ∴原式． 33．（2026春•老河口市月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 【分析】（1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【解答】解：（1）， ，， ∵45＜75， ∴， ∴； （2），， ，， ∵20＜32， ∴， ∴， ∴． 34．（2026春•潮阳区期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＞”“＜”填空：a+1　＞　 0，b﹣1　＜　 0，a﹣b　＜　 0． （2）化简：． 【分析】（1）根据数轴得到﹣1＜a＜0＜b＜1且|b|＞|a|，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到﹣1＜a＜0＜b＜1且|b|＞|a|，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【解答】解：（1）由数轴得：﹣1＜a＜0＜b＜1，且|b|＞|a|， ∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0； 故答案为：＞，＜，＜； （2）∵a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0， ∴原式＝|a+1|+2|b﹣1|+|a﹣b| ＝a+1+2（1﹣b）+（b﹣a） ＝a+1+2﹣2b+b﹣a ＝3﹣b． 35．（2026春•大连期中）【特例探究】 （1）　5　 ，　0　 ，　6　 ； 【规律总结】 （2）对于实数a，当a≥0时，a ，当a＜0时，　﹣a ； 【学以致用】 （3）计算：． 【分析】（1）特例探究：计算、、，观察结果与被开方数的关系． （2）规律总结：得出，即a≥0时，a＜0时． （3）学以致用：利用上述规律化简每一项（去绝对值），得到，通过裂项相消计算结果为． 【解答】解：（1）（1）5， 0， 6； 故答案为：5，0，6； （2）当a≥0时，|a|＝a， 当a＜0时， |a|＝﹣a； 故答案为：a，﹣a； （3） ． 36．（2026春•廉江市期中）【课本再现】一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数． 【探究新知】（1）若，则a的取值范围是a≥0　 ． 【知识应用】（2）若，求（a+b）2025的值． 【拓展应用】（3）若，求a﹣20242的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，得出a的取值范围即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性即可解决问题； （3）根据二次根式及绝对值的非负性即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为， 所以a的取值范围是a≥0． 故答案为：a≥0； （2）因为， 所以a+b+1＝0且a﹣2b+4＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 所以（a+b）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1； （3）由题知， a﹣2025≥0， 所以a≥2025， 则2024﹣a≤﹣1＜0， 所以a﹣2024， 则， 所以a﹣2025＝20242， 则a﹣20242＝2025． 37．（2026春•庐江县校级期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： （1）①的一个有理化因式是　　 ； ②﹣3的一个有理化因式是　（答案不唯一）　 ； （2）计算：； （3）已知a，b，试比较a，b的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【解答】解：（1）①∵， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：； ②∵， ∴的一个有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （2）原式 ； （3）a＞b，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴a＞b． 38．（2025秋•三元区期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较2和的大小． 解：2，， ∵2， ∴2． （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【解答】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，，， ∵，2， ∴， ∴． 39．（2026春•北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　1　 ； （2）　　 ； （3）计算：． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 ． 40．（2026•老河口市模拟）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，4，16　是　 ；②4，16，25　是　 ；③3，9，12　否　 ；④3，12，48　是　 ； 活动二将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”，2，8，18　是　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）　是　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【分析】（1）①②③根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据“漂亮数”的定义进行计算即可； （3）根据“漂亮数”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； ②∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； ③∵不是整数， ∴这三个数不是“漂亮数”， 故答案为：否； ④∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； （2）解：∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． 故答案为：是； （3）是，理由： ∵k＞1，且k是整数， ∴，，， ∵a，b，c是“漂亮数”， ∴是整数， ∴是整数， ∴若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）是“漂亮数”． 故答案为：是． 41．（2026春•双城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 【分析】（1）对于，先把化简，然后把分子分母都乘以，然后根据二次根式的性质计算；对于，把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）； ； （2）原式... ． 42．（2026春•西山区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：　　 ，　　 ，　　 ； （2）计算：． 【分析】（1）根据题干给出的分母有理化方法，对三个二次根式逐一化简即可； （2）先将括号内的每一项进行分母有理化，再抵消中间项得到括号内的化简结果，最后利用平方差公式计算得到最终答案． 【解答】解：（1）； ； ． 故答案为：，，； （2）原式 ＝2026﹣1 ＝2025． 43．（2026春•巩留县期中）像•2：（1）（1）＝2：（）（）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝3326﹣22．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）23的有理化因式是 　23　 ； （2）化简：； （3）化简：． 【分析】（1）根据平方差公式可得其有理化因式； （2）原式进行分母有理化得，再进一步求解即可； （3）原式变形为，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）23的有理化因式是23， 故答案为：23； （2）原式 2 ； （3）原式 11 ＝2． 44．（2026春•成武县期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　　 ； （2）　2　 ； （3）计算：； （4）比较的大小，并说明理由． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：2； （3）原式 ； （4）．理由如下， ， ， ∵， ∴． 45．（2026春•东莞市校级期中）我们规定用（a，b）表示有序数对．给出如下定义：记，，其中a＞0，b＞0，将（m，n）与（n，m）称为有序数对（a，b）的一对“对称数对”．例如；（4，1）的一对“对称数对”为和． （1）有序数对（4，3）的一对“对称数对”是 　和　 ； （2）若有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 　　 ； （3）若有序数对（x，2）的一个“对称数对”是，则x的值为 　　 ； （4）若有序数对（a，b）的一个“对称数对”是，求ab的值． 【分析】（1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【解答】解：（1）∵， ∴有序数对（4，3）的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）∵有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵有序数对（x，2）的一个“对称数对”是， ∴， ∴， 故答案为：； （4）∵有序数对（a，b）的一个“对称数对”是， ∴或， ∴或， ∴或． 即ab的值为6或． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题八 二次根式 考点一：二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 【典例精讲】（2026春•西和县月考）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•道外区期中）下列式子是二次根式的是（　　） A．2x B． C． D． 【变式训练2】（2026春•淄博校级月考）下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 =考点二：二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例精讲】（2026•五华区校级模拟）要使有意义的x取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≤3 C．x＜3 D．x≤3且x≠2 【变式训练1】（2026春•廉江市期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•兴宁市期中）已知，则y﹣x的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 考点三：二次根式的性质与化简 1、二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） 2、二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） 3、化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例精讲】（2026春•番禺区校级单元）如果，则x＝（　　） A．9 B． C．±9 D．± 【变式训练1】（2026•卢氏县二模）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•庐江县校级期中）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　） A．1 B．﹣5 C．13 D．19﹣4k 考点四：最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【典例精讲】（2026春•海淀区校级期中）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•龙口市期中）下列式子中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•牟平区期中）在，，，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点五：二次根式的乘法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义 【典例精讲】（2025秋•武乡县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•同步）下列计算正确的有（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2026春•中江县月考）若，那么（　　） A．a≥3 B．a≥0 C．0≤a≤3 D．a为一切正实数 考点六：二次根式的除法 （1）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （2）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 【典例精讲】（2026春•越城区校级期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•惠城区期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•西陵区期中）下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点七：分母有理化 1、分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． 2、两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数． 【典例精讲】（2025秋•栾城区校级期末）已知，，则a与b的关系是（　　） A．a+b＝0 B．a＝b C．a•b＝1 D．a•b＝﹣1 【变式训练1】（2026•虹口区二模）下列各式中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•崇明区期末）下列各选项中，的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 考点八：同类二次根式 同类二次根式的定义： 　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•东川区期中）把下列二次根式化成最简二次根式后，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•正定县期末）若最简二次根式可以与合并，则a的值可以是（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 考点九：二次根式的加减 1、法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2、步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 3、合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【典例精讲】（2026春•巩留县期中）计算的结果是　 　 ． 【变式训练1】（2026•松北区二模）计算：　 　． 【变式训练2】（2026春•西和县月考）计算：． 考点九：二次根式混和运算 1、二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3、在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【典例精讲】（2026•武清区二模）计算的结果为　 　 ． 【变式训练1】（2026•红桥区三模）计算的结果为　 　 ． 【变式训练2】（2026春•黄岩区期中）我们规定运算符号“△”的意义是当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，则　 　 ． 考点十：二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例精讲】（2026春•台州期中）已知，． （1）求m2﹣mn+n2的值； （2）若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求ma+nb的值． 【变式训练1】（2026春•廉江市期中）【课本再现】一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数． 【探究新知】（1）若，则a的取值范围是a≥0　 ． 【知识应用】（2）若，求（a+b）2025的值． 【拓展应用】（3）若，求a﹣20242的值． 【变式训练2】（2026春•寿县月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … （1）按照你所发现的规律，请你写出第5个等式：　 　 ； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； （3）利用（2）中的规律计算：． 1．（2026春•邹城市校级月考）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 2．（2026春•番禺区校级单元）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•武昌区校级期中）下列算式中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•林州市月考）下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•濠江区月考）化简的结果是（　　） A．10 B．20 C．40 D． 6．（2026春•鞍山月考）若a＞0，b＞0，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•淄博校级月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026春•同步）已知a，b，则的值（　　） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 9．（2026春•蓬莱区期中）化简的结果是（　　） A．﹣x B．3x﹣2 C．x D．﹣3x﹣2 10．（2025秋•闵行区校级期中）的倒数是（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•南岗区校级月考）在下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025秋•房山区期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（2026春•西山区校级月考）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．14 14．（2026•南海区校级一模）若，，则下列表示正确的是（　　） A．5m B．5n C．5mn D． 15．（2026•鲁山县二模）若，则a﹣b的值为（　　） A． B． C．5 D．25 16．（2026春•潜江月考）已知实数a，b满足，则a+b的值为（　　） A．3 B．7 C．10 D．3或7 17．（2026春•成武县期中）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（　　） A．400 B．200 C．199 D．20 18．（2026春•下城区期中）当x＝6时，二次根式的值为　 　． 19．（2026春•西和县月考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是　 　． 20．（2026•雷州市模拟）已知点A（2m﹣6，1﹣m）在第三象限，化简的结果为　 　 ． 21．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． 22．（2026春•城中区校级期中）　 　 ． 23．（2026•南岗区校级二模）计算24的结果是　 　 ． 24．（2026春•鹿邑县月考）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　 　 ． 25．（2026春•门头沟区校级期中）已知2＜x＜3，化简：　 　 ． 26．（2026春•洪山区期中）若x、y、z、m满足：，则m﹣2026的值为　 　 ． 27．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 28．（2026春•武昌区校级期中）计算： （1）； （2）． 29．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）． 30．（2026春•荣县月考）已知，求的值． 31．（2026春•蒙城县月考）已知实数x＞0，，． （1）求M2﹣N2的值； （2）若M﹣N＝2，求x的值． 32．（2026春•寿县月考）已知． （1）求x、y的值； （2）计算：． 33．（2026春•老河口市月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 34．（2026春•潮阳区期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＞”“＜”填空：a+1　 　 0，b﹣1　 　 0，a﹣b　 　 0． （2）化简：． 35．（2026春•大连期中）【特例探究】 （1）　 　 ，　 　 ，　 　 ； 【规律总结】 （2）对于实数a，当a≥0时，a ，当a＜0时，　 　 ； 【学以致用】 （3）计算：． 36．（2026春•廉江市期中）【课本再现】一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数． 【探究新知】（1）若，则a的取值范围是　 　 ． 【知识应用】（2）若，求（a+b）2025的值． 【拓展应用】（3）若，求a﹣20242的值． 37．（2026春•庐江县校级期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： （1）①的一个有理化因式是　 　； ②﹣3的一个有理化因式是　 　 ； （2）计算：； （3）已知a，b，试比较a，b的大小，并说明理由． 38．（2025秋•三元区期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较2和的大小． 解：2，， ∵2， ∴2． （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 39．（2026春•北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　 　； （2）　 　 ； （3）计算：． 40．（2026•老河口市模拟）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，4，16　　 　 ；②4，16，25　 　 ；③3，9，12　 　 ；④3，12，48　 　 ； 活动二将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”，2，8，18　 　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）　 　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 41．（2026春•双城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 42．（2026春•西山区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：　 　 ，　 　，　 　； （2）计算：． 43．（2026春•巩留县期中）像•2：（1）（1）＝2：（）（）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． （1）； （2）3+2． 勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数． （3）化简：． 解：设x，易知，∴x＞0． 由：x2＝3326﹣22．解得x． 即． 请你解决下列问题： （1）23的有理化因式是 　 　 ； （2）化简：； （3）化简：． 44．（2026春•成武县期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　 　 ； （2）　 　 ； （3）计算：； （4）比较的大小，并说明理由． 45．（2026春•东莞市校级期中）我们规定用（a，b）表示有序数对．给出如下定义：记，，其中a＞0，b＞0，将（m，n）与（n，m）称为有序数对（a，b）的一对“对称数对”．例如；（4，1）的一对“对称数对”为和． （1）有序数对（4，3）的一对“对称数对”是 　 　 ； （2）若有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 　 　 ； （3）若有序数对（x，2）的一个“对称数对”是，则x的值为 　 　 ； （4）若有序数对（a，b）的一个“对称数对”是，求ab的值． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $