专题04矩形性质与判定期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题04矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形为矩形，理清矩形和平行四边形的从属关系。 2.牢固掌握矩形性质：四角均为直角、对角线相等，兼具平行四边形全部性质；熟记矩形是轴对称、中心对称图形（2 条对称轴）。 3.吃透三种矩形判定方法：①一个直角的平行四边形；②三个直角的四边形；③对角线相等的平行四边形。 4.牢记推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，理清该结论与矩形对角线的关联 1.能依托矩形性质完成线段长度、角度、图形面积的基础计算。 2.能根据题干条件灵活选用判定定理，完成几何证明题的逻辑书写。 3.借助类比思想区分平行四边形与矩形，提升几何识图、数形结合能力。 4.初步拆解矩形折叠、简单动点题型，学会把实际几何问题转化为矩形模型解题。 1.基础题：选择、填空零失误，避开判定易错陷阱（如 “对角线相等的四边形是矩形” 这类错误表述）。 2.中档题：规范书写证明步骤，熟练搞定矩形边角计算、简单几何证明必考题型。 3.拔高题：能结合直角三角形斜边中线结论，解决矩形综合、折叠类期末常考大题，掌握常规解题套路。 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.矩形的性质与判定求角度 题型12,矩形的性质与判定求线段长 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.求平行线间的距离 题型15.利用平行线间距离解决问题 题型16.矩形中的最值问题 题型17.矩形中的动点问题 题型18.矩形中的存在性问题 题型19.矩形的实际应用问题 题型20.矩形的多结论判断问题 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05.黄金推论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点06:平行线之间的距离. 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点07:高频易错点 错误说法 正确结论 错因分析 有一个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形才是矩形 缺少 “平行四边形” 前提 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 普通四边形对角线相等不能判定矩形 矩形有 4 条对称轴 矩形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴数量混淆 任意三角形斜边中线等于斜边一半 只有直角三角形满足斜边中线定理 定理适用条件记错 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线相等 D．四边相等 【答案】C 【分析】对比矩形和菱形的性质，找出符合题干要求的选项即可． 【详解】解：A．对边平行，矩形和菱形都一定具有，不合题意； B．对角相等，矩形和菱形都一定具有，不合题意； C．对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，符合题意； D．四边相等，菱形一定具有，矩形不一定具有，不合题意． 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线垂直） 【分析】先根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系得A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形，再根据正方形和矩形的性质即可解答． 【详解】解：由图可知，A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形， 正方形具有而矩形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）， 即A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）． 故答案为：邻边相等（或对角线垂直）． 3．在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可. 【详解】A. 菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B. 菱形和矩形的内角和都为，故B选项不符合题意； C. 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意； D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键. 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 【答案】/66度 【分析】根据角平分线的判定定理得出平分，求出的度数，利用矩形性质和等腰三角形性质求出，通过证明 得出 ，利用三角形内角和定理求出 ，最后利用平角定义求解． 【详解】 四边形是矩形 ， ， ， ，， ， 平分， ． ， ， ． 在中，． 平分， ． 在 中， ， ． 在和中 ， ． 在 中，， ， ． 6．如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，．    (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定即可证得结论； （2）根据矩形性质可得到，进而利用等腰三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴  ，， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解答的关键． 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 8．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．如图，在矩形中，，点，分别为，的中点，连结，作点关于直线的对称点，连结，当时，的长是（） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】连接，延长交于点，根据已知条件可以证得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可以得出，再结合，关于轴对称，所以可以得出，进而得出三角形是等边三角形，再由对称性可得等于，利用含的直角三角形即可求出，最后便能求出． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 在矩形中， ，且 ，即 四边形是矩形 是中点 是的垂直平分线 ，关于直线对称 ， 是等边三角形 解得 是中点 . 10．如图，矩形，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵在矩形中，， ∴利用勾股定理有：，，，， ∵，， ∴，即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质以及勾股定理等知识． （1）结合矩形的性质，利用勾股定理证明即可； （2）先求出，，之间的数量关系（都用表示出来），再在中，利用勾股定理列出方程即可求出，进而可得、的长度，问题得解． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴ ． 题型04.矩形的性质求面积 11．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到半圆的面积等于半圆的面积，再根据矩形的面积公式计算即可得到答案．解题的关键是掌握：平移不改变图形的形状和大小． 【详解】解：如图， ∵直径为的圆，平移到圆， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 12．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 13．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 题型05.矩形的性质证明 14．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 15．如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得到，，利用角的等量代换求出，即可证明； （2）先求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴在中，． 16．在平行四边形中，已知． (1)如图1，求证：平行四边形为矩形． (2)如图2，点E在上，点F在上，连接交于点G，若，请直接写出度数 ． (3)如图3，在（2）的条件下，作的外角平分线，点N为射线上一点，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明平行四边形为矩形，即要证明有一个内角是即可，利用已知和平行四边形对角相等即可得证； （2）由已知条件可证明，得出，再由，得出，即； （3）过点N作直线交延长线于点，交延长线于点，由正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，由平分，可得，可设，，，由可得，由可得，由这两个式子可得，最后由即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图所示，过点N作直线交延长线于点，交延长线于点， ∵平行四边形为矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 由（2）得：， 设，，， ∴，，，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴，展开整理得：， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， 整理得：， ∴， ∴在中，． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 20．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)，，， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． （2）解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． （4）解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 题型07.矩形与折叠问题 21．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 22．如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，结合矩形性质推出四边形为正方形，从而求出 的长，根据第二次折叠的性质得出，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在 中利用勾股定理方程求出即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ，， 又由折叠的性质可知，，， 在 中，∵， ， ， 设，则， 在 中，∵， ，即， 解得， ． 23．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，可知，由翻折的性质可得，，根据等角对等边得到，可知； （2）证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （3）连接交于，根据菱形的性质得到，，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折的性质可得，， ， ， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，连接交于． 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， 根据勾股定理得． 题型08.矩形的判定定理理解 24．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 25．如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 26．下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据矩形的定义和判定规则逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A ∵对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴该说法错误． 选项B 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴该说法正确． 选项C ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该说法正确． 选项D ∵四边形内角和为，四个内角都相等，每个内角为 ，四个角都是直角的四边形是矩形，∴该说法正确． 27．下列命题中，（    ） ①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 ②对角线相等的四边形是矩形 A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定定理判断①；根据矩形的判定定理判断②． 【详解】解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等， ∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确； ②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、矩形的判定定理是解题的关键． 题型09.证明四边形是矩形 28．如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，根据菱形的性质可知，根据，，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证结论成立． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， 四边形是矩形． 29．如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，且四边形是菱形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的面积为120，四边形的周长为52，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与面积，矩形的判定与性质，完全平方公式，解题的关键是理清楚题中条件，掌握相关性质，作出辅助线． （1）连接，，根据，可得四边形为平行四边形，根据菱形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，可以得到，即可求证； （2）连接，交于点，由题意可得，四边形为矩形，设，，则，，根据题意可得，，，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如下图： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵点E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形． ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接，交于点，如下图： 根据题意可得，，，，， ∴，， 设，，则，， 由菱形的面积为120可得，解得， 由四边形的周长为52可得，即， 对进行平方可得，，则， 由勾股定理可得． 30．根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）设与交于点，利用矩形和垂直平分线的性质证明，进而证明四边形是平行四边形，利用垂直平分线的性质证明四边形是菱形； （2）连接、，同（1）证得四边形是菱形，由翻折的性质得到：垂直平分，在中，利用勾股定理列出方程，求出长，进而求出，据此求解即可； （3）根据矩形的性质证明四边形是矩形，分情况讨论：当点在矩形的内部或外部时，在中，利用勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， 四边形是矩形， ， ， 垂直平分， 、， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接、， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质得到：垂直平分， 同（1）证得：四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 、， ， ， 解得：， 四边形的周长为：； （3）解：四边形是矩形， 、、， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 、， 四边形是矩形， 、， 分两种情况： 如图，当点在矩形的内部时： 由折叠的性质得：、， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在矩形的外部时， 由折叠的性质得：、， 同①得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为10； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定与性质勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 题型10.添条件使四边形是矩形 31．已知，平行四边形，要使四边形为矩形，需添加一个条件为________．（只需填一个你认为正确的条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形填空即可． 【详解】解：①根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可填或或或， ②根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可填． 32．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 33．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 34．如图，已知中，，点D是斜边的中点，连接，作的平分线交于点E，点F为上一点，和交于点H．    (1)不添加任何辅助线的条件下，请你添加一个条件________，使得四边形为矩形，并予以证明． (2)若四边形是矩形，请用尺规作图的方式作出菱形，要求为对角线． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的性质、菱形的判定等知识，准确作图是关键． （1）添加条件，证明，即可得到结论； （2）分别以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点P，连接即可． 【详解】（1）解：添加的条件为， 证明：∵， ∴ ∵中，，点D是斜边的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵作的平分线交于点E，点F为上一点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 故答案为：； （2）解：如图，四边形即为所求，    题型11.矩形的性质与判定求角度 35．如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 36．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接，先证四边形，是平行四边形，再证四边形是矩形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，结合，可得是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，F是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形． 平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 又 E是的中点， ， ， ，是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，能够综合应用上述知识是解题的关键． 37．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 题型12,矩形的性质与判定求线段长 38．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 39．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明：， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 40．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)①；②点M的坐标为；的周长的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和平行线的性质可证明，则可证明，得到，故，据此可证明是等腰直角三角形，得到，则，可推出，再利用待定系数法求解即可；②可证明是等腰直角三角形，则，可求出；作点E关于直线的对称点T，连接，则，可证明当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；证明点P为的中点，求出点T的坐标为，据此可得答案； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，则可求出，，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得，，则， ∴， ∴直线的解析式为； ②由（1）①可知是等腰直角三角形，则， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于直线的对称点T，连接，则， ∴的周长， ∴当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 由（1）①得， 由轴对称的性质可得， ∴E、P、T三点共线，即点P为的中点， ∴点T的坐标为，即， ∴， ∴的周长的最小值为； ∵轴， ∴点M的横坐标为4， 在中，当时，， ∴此时点M的坐标为 （2）解：如图，作于点H， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 题型13.矩形的性质与判定求面积 41．如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式（两条对角线的乘积的一半），矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题关键． （1）利用面积公式进行求解即可； （2）等积法求出的长即可； （3）根据题意，画出图形，得到四边形为矩形，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形ABCD的面积为． 故答案为：24． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴菱形的面积， ∴． （3）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形的面积． 42．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形； （2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形是平行四边形，                     ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：， ， ， ，                     ， ， ∵四边形是矩形， ， ∴在中，根据勾股定理得，， ，                         ， ， ． 43．四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； (2)如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①18；②11． (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式以及整体思想成为解题的关键． （1）①先说明，然后运用三角形面积公式求解即可；②结合①可得，则、，则，整理后得到，然后代入计算即可； （2）设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积，由题意可得，由可得，整理得，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，四边形是矩形， ∴，即 ∴， ∴， ∴三角形的面积为； ②∵若正方形和正方形的边长分别为， ∴结合①可得，则， ∵， ∴ ． （2）解：设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴的面积为． 题型14.求平行线间的距离 44．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，已知．若，，，则平行线、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，且， 平行线、之间的距离为的长， ， 平行线、之间的距离为， 故选：D． 45．如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质以及三角形面积的等积变换，关键是利用正方形的角度关系证明，从而将的面积转化为的面积，发现与的关系． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴点与点到直线的距离相等， ∴． ∵正方形的边长为， ∴， ∴，即． 当时，， ∴． 故答案为：． 46．如图，在中，，，，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，点在边上，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质，平行线间的距离，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，由四边形为平行四边形，得，又，则，根据平行线间的距离线段即可得出即有阴影部分的面积等于的面积，过作交于，再由勾股定理，所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于的面积， 过作交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 即阴影部分的面积等于． 故选：． 47．【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 【答案】(1)，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” (2)见解析 (3)①见解析；②见解析 【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，解题的关键是理解题意． （1）由阅读材料可求解； （2）由两条平行线之间的距离处处相等，可得，即可证； （3）①取的中点D，连接，则直线即为所求； ②取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求直线． 【详解】（1）解：补全证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 假设，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上． ∵， ∴点Q与点F不重合． 由，得，而，同时，这与基本事实“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以假设不正确，于是． 故答案为：，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”． （2）证明：过点E作于点P，过点G作于点Q． 由（1）可知，． ∵， ∴． ∵．， ∴． （3）解：①如图1，取的中点D，连接，则直线即为所求． ②如图2，取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求． 根据（2）同理可得∵，， 根据平行线间距离相等得出， ∴， 根据中线可得， ∴． ∴． 题型15.利用平行线间距离解决问题 48．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作的平行线． (2)过点C作的平行线，与（1）中的平行线相交于点D． (3)用符号表示出图中的一组平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查基本作图，根据平行线的定义作图即可． （1）A所在的横线就是满足条件的直线，在方格中画出即可； （2）根据的长度，可判断出的长度，从而确定点D，包含C，D两点的直线即为所求； （3）根据（1）（2）的图写出一组平行线即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求的与平行得直线：    （2）如图，就是所求的与平行得直线：    （3）（答案不唯一） 49．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 50．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 题型16.矩形中的最值问题 51．在矩形中，，，P为边上一点，过点P作于E，连接，取的中点F，连接．当最小时，的长为______． 【答案】 【分析】设点关于直线的对称点为点，连接，延长，交于点，连接，设交于点，根据对称性质得，再证和，得到是的中位线，，那么当时，最短，然后根据勾股定理求出，接着利用求得，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，连接，延长，交于点，连接，设交于点，如图所示： ∵关于直线对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴是的中位线， ∴， ∴要使最小，则需取得最小值， ∵点为固定点，在上运动， ∴时，取得最小值， ∵矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 不妨设，那么， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 52．如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 【答案】5 【分析】如图，连接，，求解四边形是矩形时，，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，连接，， 的中点分别是P，Q，N，， ， ∴四边形是平行四边形． 当四边形是矩形时，则． ∴点M到的距离不超过5，即， ∴长度的最大值为． 53．如图，在矩形中，，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（     ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点作交于，交于，利用含角的直角三角形性质得，将转化为，根据垂线段最短可知当与重合时最小，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：过点作交于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵在上，在上， ∴（当与重合时取等号）， ∴， 即的最小值是6． 54．如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是（　  　） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】以，为邻边作矩形，连接，由题意易得点C、M、E三点共线，且点M是的中点，则有，要使的面积为最大，则需满足的面积为最大，然后可得当时，的面积为最大，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：以，为邻边作矩形，连接，如图所示： ∴互相平分， ∵点是的中点， ∴点C、M、E三点共线，且点M是的中点， ∴， 要使的面积为最大，则需满足的面积为最大， ∵， ∴当时，的面积为最大， 由对于平面内的一点和矩形，恒有，可知： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即的面积最大值为． 题型17.矩形中的动点问题 55．如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（     ） A． B．的大小 C． D．四边形的周长 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，， A、点在上运动，点在上运动， 不是定值该选项错误； B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误； C、在矩形中，与交于点， ， ， ，， ， ， 为定值，故该选项正确； D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错． 56．在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用面积法求解动点相关的垂线段和，无需分别计算两条垂线段的长度，通过分割三角形面积建立等式即可快速推导结果． 【详解】解：在矩形中，，， 对角线， ， 矩形总面积为，对角线分成的四个三角形面积相等， 的面积为矩形面积的，即， 连接，将拆分为和两个小三角形，则两个小三角形的面积和等于的面积， ， ， ． 57．如图，矩形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若，，当时，的长为______． 【答案】 或 【分析】根据折叠性质可得，，结合可得，从而确定点在的垂直平分线上. 过点作的垂线，利用勾股定理求出点到的距离，进而分点在矩形内部和外部两种情况，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解的长 【详解】解：由折叠的性质得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 过点作于点，直线交直线于点，则，， ，， ， 在中，， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在矩形内部时，如图： 则， 四边形是矩形， ， ， 在中，，即， 解得； ②当点在矩形外部时，如图： ， 同理可得，， 在中，， 即， 解得； 综上所述，的长为或． 58．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为______，的长为______； (2)当点P在第一象限运动时，用含t的代数式表示线段的长； (3)当点P在的平分线上时，求t的值； (4)在整个运动过程中，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【答案】(1)8；6 (2)当时，；当时， (3) (4)1或9.5或10或10.6 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意分在上运动和在上运动两种情况，结合（1）中结果计算即可； （3）过点作交于点，构造，根据（2）可推得，，，根据勾股定理列式求解即可； （4）根据题意分情况讨论，根据等腰三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴； （2）解：由题可知，当在上运动时，，则 当与重合时，，解得， 当在上运动时，， 当与重合时，，解得， 综上所述，当时，；当时，； （3）解：过点作交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点P在的平分线上，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； （4）解：当在上时，由于是等腰三角形，则， 即，解得； 当在上时，此时，，三点共线，不构成三角形； 当在上时，，； 若，过点作交于， ∵， ∴， ∵， ∴ 则在中，，解得，（不符题意，故舍去） 若，则，解得， 若，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为1或9.5或10或10.6． 题型18.矩形中的存在性问题 59．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点，，，， ∴，，， ∴， 由折叠性质可得：，， 当点在上，在上时，过作于点，则， 设，其中，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，是平行四边形， ∵， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 当在上时，如图，过作于点， 同理可得：四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在上，在上时，如图， 设，则， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或． 60．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 61．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，直线经过点，分别与、的延长线交于点、，与、交于点、． (1)求证：； (2)连接、，若，当点位于的什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当为的中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，．由全等三角形的判定可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，证明四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． 在与中， ， ； （2）解：当为的中点时，四边形是矩形． 理由：， ， 四边形是平行四边形， ，为的中点， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，证得是解题的关键． 题型19.矩形的实际应用问题 62．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 【答案】 【分析】先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间t，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【详解】解：设点P的运动时间为t（单位：s）， 电子屏总面积：，展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴， ∴未展开面积为． 63．如图1是某种简易房屋，它由顶角为的等腰三角形和矩形组成，在整体运输时需用钢丝绳进行加固，示意图如图2所示．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在EC上，点N在上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．若米， ①＝______．　　 ②钢丝绳长度的最小值为______米． 嗨，你好！我是小数，对于此题，我是这样思考的：通过构造，把转化为，从而把双动点问题转化为单动点问题，这样就很容易解决问题了．你试试看！ 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；过作，过作，作，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而推出点在以为顶点，的角的一边上运动，当时，最小，再求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知：是顶角为的等腰三角形， ， 四边形为矩形， ，， 如图，过作，过作，作， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， 点在以为顶点，的角的一边上运动； 当时，最小，此时最小； ，米，， ，， ， 在中，， ∴（米），（米）， ∴（米）， ，， （米）， 故钢丝绳长度的最小值为米． 64．综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】(1)长为4米，宽为2米 (2)① ②能，见解析 【分析】（1）设每一个矩形菜畦的长为米，宽为米，由图可知长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为6米得出方程组，求出解即可；（2）①由（1）知矩形菜畦的面积为8平方米，过点作 于点，根据勾股定理求出（米），再根据 ，求出答案；②设矩形菜畦有排，则平行四边形菜畦有排，得出通道数量为条，通道每条宽米，则可计算出通道总宽为米，再计算竖直方向总高度为，列出不等式，得出的值，最后得出竖直高度和水平长度都不大于米即可得出答案． 【详解】（1）解：每一个矩形菜畦的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米； （2）解：①由（1）知，矩形菜畦的面积为（平方米）， ∵平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， ∴平行四边形菜畦的面积为8平方米． 如图，过点作 于点， 由（1）知， ， 在 中， ， ∴， ∴， ∴（米）． ∵每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即 ， ∴ ， 解得， 所以平行四边形菜畦的另一边的长为米； ②设矩形菜畦有排，则平行四边形器材区有排， 由题意得，通道数量为：（条），每条宽米， ∴通道总宽（米）， 由（1）矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为米， ∴竖起方向总高度为：， 要想该方案在边长为米的正方形基地中实现，需满足：， 解得， ∵为正整数， ∴，即矩形菜畦有3排， ∴平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：，故竖直高度满足在边长为米的正方形基地中实现； 矩形菜畦每排可放（个），3排共能放（个）， 则平行四边形菜畦需要放（个），每排需放 （个）， ∵每个平行四边形菜畦水平方向占米， ∴6个总长度：，故水平长度满足在边长为米的正方形基地中实现； 综上，该方案能在边长为米的正方形基地中实现． 题型20.矩形的多结论判断问题 65．如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，①，②，③是等边三角形，④，则下列结论正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用等边对等角可得，进而可得，从而判断是等边三角形，则③正确；设，则，利用等边三角形的性质及勾股定理可得①正确；进而可得②错误；利用三角形的面积公式及矩形的面积公式即可判断④正确，进而可求解． 【详解】解：，点G是中点， ，， ， ， ， 是等边三角形，故③正确； 设，则， 在中，， ， O为中点， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 在中，， ， ， ，故①正确； ，， ，故②错误； ，， ，故④正确， 则结论正确的个数有3个． 66．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②垂直平分线段；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，则，根据点是的中点，证明，得到，根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断②；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断③；求出，，即可判断④． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段，故②正确； ∵，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．故③不正确； ∴， ∵垂直平分线段，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 67．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意；. 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形为矩形，理清矩形和平行四边形的从属关系。 2.牢固掌握矩形性质：四角均为直角、对角线相等，兼具平行四边形全部性质；熟记矩形是轴对称、中心对称图形（2 条对称轴）。 3.吃透三种矩形判定方法：①一个直角的平行四边形；②三个直角的四边形；③对角线相等的平行四边形。 4.牢记推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，理清该结论与矩形对角线的关联 1.能依托矩形性质完成线段长度、角度、图形面积的基础计算。 2.能根据题干条件灵活选用判定定理，完成几何证明题的逻辑书写。 3.借助类比思想区分平行四边形与矩形，提升几何识图、数形结合能力。 4.初步拆解矩形折叠、简单动点题型，学会把实际几何问题转化为矩形模型解题。 1.基础题：选择、填空零失误，避开判定易错陷阱（如 “对角线相等的四边形是矩形” 这类错误表述）。 2.中档题：规范书写证明步骤，熟练搞定矩形边角计算、简单几何证明必考题型。 3.拔高题：能结合直角三角形斜边中线结论，解决矩形综合、折叠类期末常考大题，掌握常规解题套路。 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.矩形的性质与判定求角度 题型12,矩形的性质与判定求线段长 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.求平行线间的距离 题型15.利用平行线间距离解决问题 题型16.矩形中的最值问题 题型17.矩形中的动点问题 题型18.矩形中的存在性问题 题型19.矩形的实际应用问题 题型20.矩形的多结论判断问题 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05.黄金推论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点06:平行线之间的距离. 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点07:高频易错点 错误说法 正确结论 错因分析 有一个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形才是矩形 缺少 “平行四边形” 前提 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 普通四边形对角线相等不能判定矩形 矩形有 4 条对称轴 矩形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴数量混淆 任意三角形斜边中线等于斜边一半 只有直角三角形满足斜边中线定理 定理适用条件记错 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线相等 D．四边相等 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 3．在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 6．如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，．    (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 题型03.矩形的性质求线段长 7．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为_________． 9．如图，在矩形中，，点，分别为，的中点，连结，作点关于直线的对称点，连结，当时，的长是（） A． B． C．8 D． 10．如图，矩形，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型04.矩形的性质求面积 11．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为_______． 12．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 13．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 题型05.矩形的性质证明 14．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 15．如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 16．在平行四边形中，已知． (1)如图1，求证：平行四边形为矩形． (2)如图2，点E在上，点F在上，连接交于点G，若，请直接写出度数 ． (3)如图3，在（2）的条件下，作的外角平分线，点N为射线上一点，连接，若，，求线段的长． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 19．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 20．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07.矩形与折叠问题 21．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 23．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 题型08.矩形的判定定理理解 24．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 25．如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    26．下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 27．下列命题中，（    ） ①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 ②对角线相等的四边形是矩形 A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 题型09.证明四边形是矩形 28．如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 29．如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，且四边形是菱形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的面积为120，四边形的周长为52，求的长． 30．根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 题型10.添条件使四边形是矩形 31．已知，平行四边形，要使四边形为矩形，需添加一个条件为________．（只需填一个你认为正确的条件即可）． 32．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 33．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 34．如图，已知中，，点D是斜边的中点，连接，作的平分线交于点E，点F为上一点，和交于点H．    (1)不添加任何辅助线的条件下，请你添加一个条件________，使得四边形为矩形，并予以证明． (2)若四边形是矩形，请用尺规作图的方式作出菱形，要求为对角线． 题型11.矩形的性质与判定求角度 35．如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 36．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 37．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 题型12,矩形的性质与判定求线段长 38．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 39．在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 40．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 题型13.矩形的性质与判定求面积 41．如图，在菱形中，若，，过点作于点． (1)菱形的面积为 ． (2)求的长． (3)过点作，垂足为，求四边形的面积． 42．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 43．四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； (2)如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 题型14.求平行线间的距离 44．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，已知．若，，，则平行线、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 45．如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 46．如图，在中，，，，是对角线上任一点（点不与点重合），且交于，点在边上，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 47．【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 题型15.利用平行线间距离解决问题 48．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作的平行线． (2)过点C作的平行线，与（1）中的平行线相交于点D． (3)用符号表示出图中的一组平行线． 49．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 50．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 题型16.矩形中的最值问题 51．在矩形中，，，P为边上一点，过点P作于E，连接，取的中点F，连接．当最小时，的长为______． 52．如图，在矩形纸片中，，点M是边上的一点，点N是边上的中点，小明按如下方式作图：①连接；②取的中点P，Q；③连接．若四边形是矩形，则长度的最大值为________． 53．如图，在矩形中，，，点在边上，点是矩形内一点，，则的最小值是（     ） A．1 B．4 C．6 D．8 54．如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是（　  　） A． B． C．10 D．12 题型17.矩形中的动点问题 55．如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（     ） A． B．的大小 C． D．四边形的周长 56．在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 57．如图，矩形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若，，当时，的长为______． 58．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为______，的长为______； (2)当点P在第一象限运动时，用含t的代数式表示线段的长； (3)当点P在的平分线上时，求t的值； (4)在整个运动过程中，若是等腰三角形，直接写出t的值． 题型18.矩形中的存在性问题 59．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 60．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 61．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，直线经过点，分别与、的延长线交于点、，与、交于点、． (1)求证：； (2)连接、，若，当点位于的什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 题型19.矩形的实际应用问题 62．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 63．如图1是某种简易房屋，它由顶角为的等腰三角形和矩形组成，在整体运输时需用钢丝绳进行加固，示意图如图2所示．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在EC上，点N在上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．若米， ①＝______．　　 ②钢丝绳长度的最小值为______米． 嗨，你好！我是小数，对于此题，我是这样思考的：通过构造，把转化为，从而把双动点问题转化为单动点问题，这样就很容易解决问题了．你试试看！ 64．综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 题型20.矩形的多结论判断问题 65．如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，①，②，③是等边三角形，④，则下列结论正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 66．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②垂直平分线段；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 67．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $