专题03 四边形（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题03 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行四边形性质与判定证明 题型05 中点四边形 题型02 矩形性质与判定综合 题型06 四边形折叠综合 题型03 菱形的性质与判定综合 题型07 四边形动点存在性问题 题型04 正方形边性质与判定综合 题型08 梯形性质与判定 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形定义、性质与判定 1.能默写五种判定定理； 2.借助边角、对角线条件完成平行四边形证明； 3.熟练完成边长、角度、周长与面积计算 基础必考，小题常设；证明题为必考大题；易错：误用一组对边平行、另一组对边相等判定平行四边形 矩形性质判定、直角三角形斜边中线 1.辨析矩形独有性质； 2.灵活选用三种判定方法； 3.熟练运用斜边中线定理进行线段换算 高频综合考点，常搭配直角三角形出题； 易错：仅证明一个直角直接判定矩形 菱形性质判定、菱形面积 1.牢记四边相等、对角线互相垂直平分特征； 2.掌握两种面积计算公式 3.合理选用判定定理 填空、计算题高频； 易错：混淆矩形与菱形对角线性质 正方形性质与判定 1.整合矩形、菱形全部性质，理清三类正方形判定推导路径 小压轴高频考点； 易错：判定条件缺失直接判定正方形 中点四边形模型 1.依托原四边形对角线相等、垂直关系快速判定中点四边形形状 填空压轴热点； 梯形 1.掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的定义、性质与判定； 2.熟练运用梯形面积公式计算，能结合辅助线、勾股定理完成边角求解与简单证明 期末基础必考内容，多见于选择、填空和简单证明； 易错：判定梯形忽略“另一组对边不平行”，混淆等腰梯形与矩形的对角线相等性质 折叠、动点四边形综合 1.结合全等、勾股定理处理折叠求边长、动点存在性问题 期末解答压轴 知识点01 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称图形。 3.五大判定：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④两组对角分别相等；⑤对角线互相平分。 ·易错点：一组对边平行，另一组对边相等无法判定平行四边形，等腰梯形可作为反例。 知识点02 矩形 1.特殊性质：四个内角均为直角，对角线相等且互相平分，兼具轴对称、中心对称性。 2.重要推论：直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半。 3.判定方法：①平行四边形加一个直角；②平行四边形加对角线相等；③四边形中有三个内角是直角。 ·易错点：对角线相等的普通四边形不是矩形，等腰梯形对角线相等。 知识点03 菱形 1.特殊性质：四条边长全部相等，对角线互相垂直平分且平分一组内角。 2.面积公式：底×高对角线乘积。 3.判定：①平行四边形加一组邻边相等；②平行四边形加对角线互相垂直；③四条边全相等的四边形。 ·易错点：仅对角线垂直不能判定菱形，筝形对角线垂直但不是菱形。 知识点04 正方形 1.性质：同时具备矩形与菱形全部性质，四边相等、四角为直角，对角线相等垂直平分，四条对称轴+中心对称。 2.判定路径：平行四边形叠加邻边相等与直角；矩形添加一组邻边相等；菱形添加一个直角。 ·易错点：缺少任一限定条件，不可直接判定正方形。 知识点05 中点四边形 1.原四边形对角线无特殊关系→中点四边形：平行四边形 2.原四边形对角线相等→中点四边形：菱形 3.原四边形对角线互相垂直→中点四边形：矩形 4.原四边形对角线相等且垂直→中点四边形：正方形 ·易错点：中点四边形只看对角线，与原四边形形状、边长、内角无任何关系。 知识点06 梯形 1.梯形基础定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的一组对边为梯形的底（上底、下底），不平行的一组对边为腰，两底之间的垂线段为梯形的高。 2.梯形分类 ①普通梯形：仅有一组对边平行，腰不相等、底角无特殊关系； ②直角梯形：有一个角是直角的梯形，一组腰与底边垂直，兼具梯形和直角图形特征； ③等腰梯形：两腰相等的梯形，是梯形中考试核心特殊图形，为轴对称图形。 3.等腰梯形性质 ①边角性质：同一底上的两个内角相等，同一腰上的两个内角互补； ②对角线性质：等腰梯形的两条对角线相等； ③对称性：是轴对称图形，对称轴为上下底中点的连线所在直线，无中心对称性。 4.等腰梯形判定方法 ①定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； ②角判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； ③对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 5.梯形面积公式：，适用于所有梯形。 ·易错点：①梯形判定关键：必须满足一组对边平行，另一组对边不平行，两组对边均平行为平行四边形，不属于梯形； ②等腰梯形对角线相等，但对角线相等的四边形不一定是等腰梯形（矩形对角线也相等），必须限定是梯形； ③等腰梯形只有轴对称性，无中心对称性，区别于平行四边形、矩形、菱形。 题型一 平行四边形性质与判定证明 解｜题｜技｜巧 （1）优先利用一组对边平行且相等证平行四边形； （2）出现对角线条件选用对角线互相平分判定； （3）边角条件选用对边相等或平行判定。 【典例1】如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 题型二 矩形性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）遇对角线优先用：对角线相等平分，出现斜边中线直接套定理； （2）计算题：常勾股定理求边长、对角线； （3）证明题：先证平行四边形，再补直角 / 对角线相等。 【典例1】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，且，求． 题型三 菱形的性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）看到对角线→垂直，立刻出现四个直角小三角形，勾股算边长； （2）求面积：给对角线长直接用乘积一半，给边长 + 高用底 × 高； （3）角平分线条件：菱形对角线平分内角，出现角分线优先证菱形。 【典例1】．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【典例2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在上取一点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，相交于点，若，四边形的面积为120，求的周长． 【变式2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 题型四 正方形边性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）出现对角线，必有45° 角，等腰直角三角形遍地； （2）证明套路二选一：先证菱形，再加直角；先证矩形，再加邻边相等。 【典例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，E，F是正方形的对角线上的两点． (1)请从下列条件：①；②；③；④中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 我选择条件_____________（填序号），证明如下． (2)若正方形和菱形的面积分别为10，6，求的值． 题型五 中点四边形 解｜题｜技｜巧 只看原四边形对角线的数量、位置关系，与原四边形边长无关。 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形可能是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 题型六 四边形折叠综合 解｜题｜技｜巧 （1）根据折叠性质锁定全等，确定相等边、相等角； （2）设未知边长，依托直角构造勾股方程； （3）结合特殊四边形性质列式求解。 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 题型七 四边形动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）设运动参数，用参数表示各线段长度； （2）根据特殊四边形判定条件列等式； （3）分类讨论，舍去不符合实际的取值。 【典例1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【变式2】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 【变式3】（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．      (1)求直线的函数解析式； (2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标． 题型八 梯形性质与判定 解｜题｜技｜巧 （1）判定梯形：先证一组对边平行，再证另一组对边不平行； （2）判定等腰梯形：优先用同一底角相等、两腰相等、对角线相等三种方法； （3）梯形计算优先使用面积公式，可通过作高构造直角三角形结合勾股定理求解边长、高。 【典例1】如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式1】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式2】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点是外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，若，求四边形的面积． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1.（25-26九年级下·天津·期末）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 2.（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O． (1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，点O为矩形的对称中心，．点E、F、G分别在边上．点E从点B出发向点A运动，速度为，点F从点B出发向点C运动，速度为，点G从点C出发向点D运动，速度为．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． (1)四边形 （填“能”或“不能”）是正方形； (2)若M、N分别是的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平行四边形性质与判定证明 题型05 中点四边形 题型02 矩形性质与判定综合 题型06 四边形折叠综合 题型03 菱形的性质与判定综合 题型07 四边形动点存在性问题 题型04 正方形边性质与判定综合 题型08 梯形性质与判定 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形定义、性质与判定 1.能默写五种判定定理； 2.借助边角、对角线条件完成平行四边形证明； 3.熟练完成边长、角度、周长与面积计算 基础必考，小题常设；证明题为必考大题；易错：误用一组对边平行、另一组对边相等判定平行四边形 矩形性质判定、直角三角形斜边中线 1.辨析矩形独有性质； 2.灵活选用三种判定方法； 3.熟练运用斜边中线定理进行线段换算 高频综合考点，常搭配直角三角形出题； 易错：仅证明一个直角直接判定矩形 菱形性质判定、菱形面积 1.牢记四边相等、对角线互相垂直平分特征； 2.掌握两种面积计算公式 3.合理选用判定定理 填空、计算题高频； 易错：混淆矩形与菱形对角线性质 正方形性质与判定 1.整合矩形、菱形全部性质，理清三类正方形判定推导路径 小压轴高频考点； 易错：判定条件缺失直接判定正方形 中点四边形模型 1.依托原四边形对角线相等、垂直关系快速判定中点四边形形状 填空压轴热点； 梯形 1.掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的定义、性质与判定； 2.熟练运用梯形面积公式计算，能结合辅助线、勾股定理完成边角求解与简单证明 期末基础必考内容，多见于选择、填空和简单证明； 易错：判定梯形忽略“另一组对边不平行”，混淆等腰梯形与矩形的对角线相等性质 折叠、动点四边形综合 1.结合全等、勾股定理处理折叠求边长、动点存在性问题 期末解答压轴 知识点01 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称图形。 3.五大判定：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④两组对角分别相等；⑤对角线互相平分。 ·易错点：一组对边平行，另一组对边相等无法判定平行四边形，等腰梯形可作为反例。 知识点02 矩形 1.特殊性质：四个内角均为直角，对角线相等且互相平分，兼具轴对称、中心对称性。 2.重要推论：直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半。 3.判定方法：①平行四边形加一个直角；②平行四边形加对角线相等；③四边形中有三个内角是直角。 ·易错点：对角线相等的普通四边形不是矩形，等腰梯形对角线相等。 知识点03 菱形 1.特殊性质：四条边长全部相等，对角线互相垂直平分且平分一组内角。 2.面积公式：底×高对角线乘积。 3.判定：①平行四边形加一组邻边相等；②平行四边形加对角线互相垂直；③四条边全相等的四边形。 ·易错点：仅对角线垂直不能判定菱形，筝形对角线垂直但不是菱形。 知识点04 正方形 1.性质：同时具备矩形与菱形全部性质，四边相等、四角为直角，对角线相等垂直平分，四条对称轴+中心对称。 2.判定路径：平行四边形叠加邻边相等与直角；矩形添加一组邻边相等；菱形添加一个直角。 ·易错点：缺少任一限定条件，不可直接判定正方形。 知识点05 中点四边形 1.原四边形对角线无特殊关系→中点四边形：平行四边形 2.原四边形对角线相等→中点四边形：菱形 3.原四边形对角线互相垂直→中点四边形：矩形 4.原四边形对角线相等且垂直→中点四边形：正方形 ·易错点：中点四边形只看对角线，与原四边形形状、边长、内角无任何关系。 知识点06 梯形 1.梯形基础定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的一组对边为梯形的底（上底、下底），不平行的一组对边为腰，两底之间的垂线段为梯形的高。 2.梯形分类 ①普通梯形：仅有一组对边平行，腰不相等、底角无特殊关系； ②直角梯形：有一个角是直角的梯形，一组腰与底边垂直，兼具梯形和直角图形特征； ③等腰梯形：两腰相等的梯形，是梯形中考试核心特殊图形，为轴对称图形。 3.等腰梯形性质 ①边角性质：同一底上的两个内角相等，同一腰上的两个内角互补； ②对角线性质：等腰梯形的两条对角线相等； ③对称性：是轴对称图形，对称轴为上下底中点的连线所在直线，无中心对称性。 4.等腰梯形判定方法 ①定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； ②角判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； ③对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 5.梯形面积公式：，适用于所有梯形。 ·易错点：①梯形判定关键：必须满足一组对边平行，另一组对边不平行，两组对边均平行为平行四边形，不属于梯形； ②等腰梯形对角线相等，但对角线相等的四边形不一定是等腰梯形（矩形对角线也相等），必须限定是梯形； ③等腰梯形只有轴对称性，无中心对称性，区别于平行四边形、矩形、菱形。 题型一 平行四边形性质与判定证明 解｜题｜技｜巧 （1）优先利用一组对边平行且相等证平行四边形； （2）出现对角线条件选用对角线互相平分判定； （3）边角条件选用对边相等或平行判定。 【典例1】如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得，平分，即，由题意可得，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由勾股定理可得，， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． (1)求证：； (2)若，，，则的长度为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 题型二 矩形性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）遇对角线优先用：对角线相等平分，出现斜边中线直接套定理； （2）计算题：常勾股定理求边长、对角线； （3）证明题：先证平行四边形，再补直角 / 对角线相等。 【典例1】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据，由平行线的性质得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）证出四边形是平行四边形，再由得，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，于点D， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，且，求． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先利用“”证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得 ，即可得到 结合即可解答． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形, ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴． （2）解：, ∴, , , ． 题型三 菱形的性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）看到对角线→垂直，立刻出现四个直角小三角形，勾股算边长； （2）求面积：给对角线长直接用乘积一半，给边长 + 高用底 × 高； （3）角平分线条件：菱形对角线平分内角，出现角分线优先证菱形。 【典例1】．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在上取一点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，相交于点，若，四边形的面积为120，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握是解题关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得出，再由面积得出，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， ，点D是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：，由（1）知， 由（1）知四边形是菱形， ， ∵四边形的面积为120， ∴， ， 在中， ， ， （负值舍去）， ， ∴的周长为． 【变式2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质求出，，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：， ． 为的平分线， ， ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． ， ． ， ， 菱形的面积为． 故答案为：4． 题型四 正方形边性质与判定综合 解｜题｜技｜巧 （1）出现对角线，必有45° 角，等腰直角三角形遍地； （2）证明套路二选一：先证菱形，再加直角；先证矩形，再加邻边相等。 【典例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，E，F是正方形的对角线上的两点． (1)请从下列条件：①；②；③；④中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 我选择条件_____________（填序号），证明如下． (2)若正方形和菱形的面积分别为10，6，求的值． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质与判定，正方形和菱形的面积，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据正方形的性质和菱形的判定定理即可证明； （2）根据正方形和菱形的面积即可求值． 【详解】（1）解：我选择条件①，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，． ， ， 即． ， 四边形为平行四边形． 又 ，即， 四边形是菱形； 我选择条件②，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，， ． ，， ， ． 又 ， 四边形为平行四边形， 又 ，即， 四边形是菱形； 我选择条件④，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，，，， ，，， ， ， ， 即． 又 ， 四边形为平行四边形． 又 ，即， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接交于点， 正方形的面积为10， 正方形的边长为， 对角线， ． 菱形的面积为6， ， ， ， ， ． 答：的值为． 题型五 中点四边形 解｜题｜技｜巧 只看原四边形对角线的数量、位置关系，与原四边形边长无关。 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形可能是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，顺次连接四边形四边中点所得四边形是平行四边形，当它是矩形时，根据中位线性质，原四边形的对角线互相垂直，对于平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，因此原四边形一定是菱形，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设这个原四边形为四边形，其中点四边形为矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别为各边中点， ∴（中位线性质）， ∴ 则 ∴， 结合四个选项，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A选项不符合题意； 矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； 菱形的对角线一定互相垂直， 当原四边形是平行四边形，则对角线垂直的平行四边形是菱形， 梯形的对角线不一定互相垂直，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，连接，由三角形中位线定理得出，且，同理，，且，从而得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵是边的中点，是边的中点， ∴，， ∴，且， 同理，，且， ∴，， 四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型六 四边形折叠综合 解｜题｜技｜巧 （1）根据折叠性质锁定全等，确定相等边、相等角； （2）设未知边长，依托直角构造勾股方程； （3）结合特殊四边形性质列式求解。 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据矩形顶点坐标及勾股定理求出长，进而得到长，设，则，利用勾股定理得，解方程后即可得出答案． 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，， 在中 设，则， ，即， 解得：， ， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由 ，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七 四边形动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）设运动参数，用参数表示各线段长度； （2）根据特殊四边形判定条件列等式； （3）分类讨论，舍去不符合实际的取值。 【典例1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题是一次函数与几何综合题，涉及到矩形的性质、一次函数的图象与性质、画函数图象等． （1）当点在上运动时，；当点在上运动时，，再利用面积公式即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式画出的函数图象，再写出该函数的一条性质即可； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， 当点在上运动时，即，如图， 则 ； 当点在上运动时，即，如图： 则 ； 综上，； （2）解：画出的函数图象如下： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 令，则， 解得； 当时， 令，则， 解得； 观察图象得，当时，， ∴当时x的取值范围为． 【变式3】（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．      (1)求直线的函数解析式； (2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)点坐标为或 【分析】（1）首先确定点，点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，当时，过点作于点，过点作于点，，，，，结合全等三角形的性质和建立方程即可求解； （3）分点在上、点在上、点在上和点在上四种情况，分别讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点在轴正半轴上，且， 即 ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：设，如图， 当时，此时，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ∴， ∴， 又∵， 即 ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； （3）解：当点在上时，如图， 设，则，， ∵，， 若， 则有，解得， 即； 当点在上时，如图， 设，则，， ∴，， 若， 则有，解得，不合题意，舍去； 当点在上时，如下图， 设，则，， ∴，， 若，则有，解得， 即； 当点在上时，如下图， 此时，而，故不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，综合性强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 题型八 梯形性质与判定 解｜题｜技｜巧 （1）判定梯形：先证一组对边平行，再证另一组对边不平行； （2）判定等腰梯形：优先用同一底角相等、两腰相等、对角线相等三种方法； （3）梯形计算优先使用面积公式，可通过作高构造直角三角形结合勾股定理求解边长、高。 【典例1】如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 【变式1】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式2】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 2.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点是外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于点，证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再求出，则，然后由三角形面积关系得四边形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，设交于点， 由折叠的性质得：，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图2， 由（1）可知，四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 四边形的面积 ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1.（25-26九年级下·天津·期末）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 2.（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解： ，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O． (1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①或③，理由见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边中线的性质． （1）若选①，证明得，从而，可得四边形是菱形；若选③，证明得，从而，可得四边形是菱形； （2）作线段的垂直平分线与交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：可选择①或③．若选①：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 若选③：． 理由：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，点P即为所求． 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线．即， ∴， ∵是的中线， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，点O为矩形的对称中心，．点E、F、G分别在边上．点E从点B出发向点A运动，速度为，点F从点B出发向点C运动，速度为，点G从点C出发向点D运动，速度为．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． (1)四边形 （填“能”或“不能”）是正方形； (2)若M、N分别是的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不能 (2) (3)存在实数t，使得点与点O重合；t 【分析】（1）根据得出结论； （2）连接，证明平行四边形是矩形，则，当时，四边形是平行四边形，根据列方程求出结论； （3）连接交于点H，连接，求出，当点与点O重合时，，最后根据列方程求出结论； 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴四边形不能是正方形； （2）解：如图1，连接， 在矩形中， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 此时，即， 解得； （3）解：存在实数t，使得点与点O重合；理由如下： 如图2，连接交于点H，连接， ∵点O为矩形的对称中心，． ∴， ∴， ∵关于直线的对称图形是， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点O重合时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 2.（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $