第八章 四边形【期末复习讲义】（培优版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+22个题型讲练+真题实战练 共54题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二 平行四边形性质和判定的应用 题型三 矩形与折叠问题 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 正方形折叠问题 题型十一 求正方形重叠部分面积 题型十二 根据正方形的性质与判定证明 题型十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 题型二十 三角形的中位线 题型二十一 等腰梯形的性质定理 题型二十二 等腰梯形的判定定理 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【思路引导】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【规范解答】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例2】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 【变式】（25-26八年级·上海·寒假作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【思路引导】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【规范解答】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再次折叠纸片，使的对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请猜想的度数是多少，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【思路引导】连接，由折叠的性质可证是等边三角形，得出，即可求解． 【规范解答】解：，证明如下： 如图，连接， 由折叠的性质可知，垂直平分，，， ， 是等边三角形， ， ． 【变式】（25-26八年级下·山西大同·期中）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，点分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为． (1)【初步探究】如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形； (2)【深入探究】如图3，若点E是的中点，改变点F的位置，延长交于点H，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，若点F是的中点，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以，为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）根据矩形性质得出，根据折叠得出，，据此可证明结论； （2）连接，证明即可； （3）分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴； ∵E为中点， ∴， 根据折叠可知，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵点F为的中点， ∴， 根据折叠可知，， 当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， 同理得四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴； 当时，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴三点共线， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质及三角形外角定理的推论，综合性较强． 由四边形是长方形，得，可得，最后可求证. 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴ . 【变式】（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，已知，点在第二象限，且，． (1)的坐标是____________； (2)如图（2），的平分线交射线于点，连接，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）如图（1）中，过点作轴于点，轴于点，证明四边形是正方形，求出，可得结论； （2）求出直线，的解析式，构建方程组求解； 【规范解答】（1）解：如图（1）中，过点作轴于点，轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图（2）中，设交于点，过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴． 【考点剖析】本题是三角形的综合题，考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，待定系数法确定函数解析式，两条直线的交点坐标等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由题意得，四边形是矩形，，则可求出的长，进而求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可； （2）当时， ，，利用勾股定理求出此时的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，四边形是矩形，， ∴， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：秋千的长度为； （2）解：当时， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：需要将秋千往前推送． 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【思路引导】对于①，连接，先证明，即知，再根据，即知结论成立； 对于②，连接，先证明四边形是矩形，可证明，结合①的结论，即可证明结论； 对于③，根据勾股定理可得，即得，结合，可得，即可推得结论正确； 对于④，由③知，，即知结论成立． 【规范解答】解：连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 即， 由①知，， ， 故②正确； ， ， 四边形，四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 由②知，， ， ， 故③正确； 由③知，， ， 故④正确； 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【考点剖析】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 【变式】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 菱形 的对角线， 相交于点O， 分别延长， 到点E， F， 使， 依次连接点B， F， D， E．    (1)求证： ； (2)①若，则当 °时，四边形 是正方形，请说明理由； ②若四边形是正方形，且正方形 的面积为32，，则的长为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①25；②1.5 【思路引导】（1）由菱形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，证出，由SAS证明即可． （2）①由菱形的性质得出，，，，证出，得出四边形是菱形，证明是等腰直角三角形，得出，，证出四边形是矩形，即可得出结论．②由四边形是正方形的性质得出，再根据四边形是菱形，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴． （2）解：①若，则当时，四边形 是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ②∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【考点剖析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 题型讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【思路引导】（1）由可知点E在的垂直平分线上，故作的垂直平分线交于点E即可； （2）①可证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进一步可证明平行四边形是菱形；②由菱形的性质得到，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，据此求出的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，点O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若 ，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【思路引导】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； ②取的中点， 连接、、，再根据然后求出，即可判断出是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出、的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形的面积即可. 【规范解答】（1）解：如图2所示，四边形即为所求； （2）证明：①∵，， ∴垂直平分 ∴，， ∵， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图，取的中点，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴菱形中，， ∴菱形的面积为：． 【变式】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图1，在 中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了菱形的性质及判定，矩形的性质及判定，勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定及性质． （1）由条件先证四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解； （2）由条件先证四边形是矩形，再利用对角线相等即可证明； （3）过点D作于点H，通过菱形的等面积法求出，再利用勾股定理求． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． （3）如图，过点D作于点H， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴解得， 在中，由勾股定理，得， 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 题型讲练十 正方形折叠问题 【例10】如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【思路引导】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【规范解答】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】(1)30 (2)①证明见解析；② (3) 【思路引导】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【规范解答】（1）解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∵． ． 是等边三角形． ． ． （2）解：①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． （3）解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 题型讲练十一 求正方形重叠部分面积 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可； （2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【规范解答】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心， 、、， 、， ， 在和中， ， ， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ， ， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， 、， 、， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形的对角线的交点， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 当时，将四边形面积二等分． 【变式】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【规范解答】解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定证明 【例12】（25-26八年级下·河南许昌·期中）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，四边形的形状是 ． (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)正方形 (2) 【思路引导】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，，即可得证； （2）易证四边形是矩形，则，．由勾股定理得，则，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形的形状是正方形， 证明：四边形是矩形， ． 由折叠得：，． ， ∴四边形是矩形． ， ∴矩形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，． ． 四边形是矩形， ． 四边形是矩形． ，． 由折叠得：，， ． ． 设，则， ， ，解得． ． 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1，发现点在对角线的中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究： (1)如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)如图3，取中点，连接、、，在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【思路引导】（1）由旋转的性质可得，证明，得到，再证明，则可证明四边形是正方形； （2）连接，由正方形的性质得到O是的中点，，，，由直角三角形的性质得到，，证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，据此可得； （3）过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，则可证明，由勾股定理得，则，求出，则． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ∴， ， ， ， 又∵， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， 四边形是正方形，O是的中点， O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， G是的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∴， 由正方形的性质可得， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例13】在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①；②，详见解析 (2)，详见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键． （1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答． 【规范解答】（1）解：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图2，在上取一点N，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图3，过点D作于E，连接， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， 由（1）同理得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例14】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【规范解答】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 【答案】(1)， (2)①；②点的横坐标为； (3) 【思路引导】（1）利用二次根式的性质即可求出，进而求出； （2）①先证明四边形是正方形，再证明，连接，证明，设，则，结合点为中点，利用勾股定理即可求解；②过点作轴的垂线交轴于点，证明，即可解答； （3）同理（2）①解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴点H的横坐标为， ∴点的横坐标为； （3）解：如图，以为边，在下方构造正方形，过作交延长线于点，延长交于点，连接， ∵， ∴正方形的边长为，即， 同理（2）①得， ∴， 设，则， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∴点的纵坐标为， 令，解得， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例15】（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【规范解答】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)等腰直角三角形，见解析； (3)①；②． 【思路引导】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 题型讲练十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例16】（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）证，得出即可； （2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【规范解答】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【答案】(1)B (2)24 (3)详见解析 【思路引导】（1）根据“和谐四边形”的定义进行判断即可； （2）由于对角线互相垂直，所以四边形的面积可化为的和，再求解即可； （3）先证明，再证得，求得，由等腰三角形三线合一性质可得，从而证得结论． 【规范解答】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握对“和谐四边形”的理解． 题型讲练十七 （特殊）平行四边形的动点问题 【例17】如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______；______； (2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ (3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 【答案】(1)；；； (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据运动时间乘以速度等于运动路径求解即可； （2）根据，构建方程求解即可； （3）根据，构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；；； （2）解：当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． ∴时，四边形是平行四边形． （3）解：当时，四边形是矩形， ∴ 解得， ∴时，四边形是矩形． 【变式】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． (1)求线段的长 （用含的代数式表示）． (2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或 【思路引导】（1）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （2）若四边形为平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，，在中，根据勾股定理得进行计算即可． 【规范解答】（1）解：点运动到点时，共用了，总共运动了， 当时，， 当时，， 综上，； （2）若四边形为平行四边形，则， 由（2）得，， 根据题意得，， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或． （3）过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当时， 则， ， 解得：， 当，如图所示，过点作， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得：或； 综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 题型讲练十八 四边形中的线段最值问题 【例18】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【思路引导】设交于点F，连接，四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【规范解答】解：设交于点F，连接， 四边形是矩形，，， 四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为5， 的最小值为5． 【变式】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 【答案】/15.6 【思路引导】利用矩形的性质结合中点的性质得出，，利用勾股定理求得的长度，从而求得的面积，再利用求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，并最终求得结果． 【规范解答】解：∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即当最小时，最小， ∵最小值为， ∴的最小值为． 题型讲练十九 四边形其他综合问题 【例19】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【思路引导】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【考点剖析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式】（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析；（4）①四边形是垂美四边形；理由见解析；② 【思路引导】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式可求解； （3）根据“”证明即可； （4）①根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型讲练二十 三角形的中位线 【例20】（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路引导】由菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，即；然后利用三角形中位线的性质即可解答． 【规范解答】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴． 【变式】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是上一点，点是菱形外部一点，满足． (1)求的度数； (2)连接，取的中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【思路引导】（1）连接，证明得出，即可得证； （2）①根据题意画出图形，即可求解； ②延长至使得，连接，根据中位线的性质可得，证明得出，即可得证； （3）过点作于点，证明四边形是平行四边形，，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，对角线相交于点，点是上一点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：①如图所示， ② 如图，延长至使得，连接 ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴， 由（1）可得 设，则 ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，过点作于点， ∵在菱形中，， ∴，，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，则 又∵ ∴ ∵，则 又 ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，则 ∴，即 题型讲练二十一 等腰梯形的性质定理 【例21】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【思路引导】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【规范解答】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： (1)四边形为平行四边形； (2)四边形为等腰梯形； (3)，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，继而得到，，，根据平行四边形的性质得，即，求解即可； （2）如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点，证明四边形是矩形，得，证明，得，再根据列出方程求解； （3）分三种情况：①当点在上时；②当点在上时；③当点在上且在点的右侧时；当点在上且在点的左侧时；分别画出图形求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点， ∴， ∵梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，移动时间为， ∴，，，， ∵点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动， ∴， 如图，当四边形为平行四边形，则， ∴，即， 解得：， ∴当为时，四边形为平行四边形； （2）解：如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为时，四边形为等腰梯形； （3）解：要使，分三种情况讨论： ①当点在上时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴与的距离为， ∵，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， 解得：； ②当点在上时，此时，即， 如图， 在中，， ∵， ∴， ∴在中， ∴， ∴，不符合题意； ③当点在上且在点的右侧时，如图， ∴， ∴， 解得：； 当点在上且在点的左侧时，如图， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或时，． 题型讲练二十二 等腰梯形的判定定理 【例22】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【答案】见解析 【思路引导】（）过梯形的上底两端点作下底的垂线，利用“一组对边平行且相等”证明四边形为平行四边形，得到两高，再结合已知的，通过证明，推出两腰，从而证明该梯形为等腰梯形； （）通过延长梯形两腰交于点，利用平行线的性质得到，结合推出，进而得到；再由得出为等腰三角形，即，通过等式相减得到，从而证明梯形是等腰梯形． 【规范解答】解：选择方法一，证明过程如下： ∵，， ∴，且； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和 中： ， ∴， ∴， ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形； 选择方法二，证明过程如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，即 ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形． 【变式】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，， 【思路引导】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分三种情况讨论求解． 【规范解答】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当，四边形是等腰梯形时，如图，连接， 则，； 设， 则，解得：或， ∴或； 当时，它为的中点，此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去； ∴； 综上，，，． 【考点剖析】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形的边在数轴上，且，点A表示的实数是，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据矩形的性质以及勾股定理求解，即可求解点表示的实数． 【规范解答】解：∵矩形的边在数轴上， ∴， ∵ ∴ ∵点A表示的实数是， ∴点表示的实数是． 2．（25-26八年级下·重庆合川·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 4．（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【思路引导】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【规范解答】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 5．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 【答案】22 【思路引导】先由证明，得，，再求得，由四边形的周长，即可求得答案． 【规范解答】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， 平行四边形的周长为32， ， 四边形的周长 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边于点，且，连接．给出下面5个结论： ①； ②； ③四边形CEOF的面积为； ④若的中点为，则的最小值为 ⑤当时，． 上述结论中，所有正确的结论是_____．（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【思路引导】根据正方形性质得出，，，结合利用同角的余角相等得出，依据判定 ，从而判断①；由全等得，在 中利用勾股定理及 中判断②；利用全等三角形面积相等将四边形面积转化为面积，计算数值判断③；利用直角三角形斜边中线性质得，将 转化为，利用二次函数性质求最小值判断④；计算长度，结合最小值及取等条件判断⑤ 【规范解答】解：①∵四边形为正方形，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ，故结论正确； ②由①得： ， ∴，， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 在 中，， ∴， ∴，故结论②正确； ③由①得： ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 四边形的面积为1，故结论③不正确； ④∵，，为中点， ∴，， ∴， 设，则 ， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴ 的最小值为，故结论正确； ⑤∵， ∴， ∴， 由④知的最小值为，此时，即为中点， 此时 ，即为中点， ∵为正方形中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当时，， ∴当时，， ∴ ，故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论是①②④⑤ 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求，的长； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)， (2)能，当时，四边形是菱形 (3)当或时，为直角三角形 【思路引导】（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以求出、的长度； （2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知且，可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知当时，四边形是菱形，解方程求出值即可； （3）四边形是平行四边形，所以，当为直角三角形时，只有或，分情况求出值即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：当秒时，四边形是菱形； 理由如下： ， ， 又， ， ， 当运动秒时，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 可得：， 解得：， 当时，四边形是菱形； （3）解：在中，，， ， 由（2）可知四边形是平行四边形， ； 当，如下图所示， 又， 四边形为矩形， ，， ， ， 则有，， ， ， 解得：； 当秒时，为直角三角形． 当时，如下图所示， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，当或时，为直角三角形． 8．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的三个顶点都在格点上，点为边上一点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中画出边的高； (2)在图2中画出线段，且点在边上． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】（1）由网格中，连接即可得到答案； （2）取点右侧三个单位长度的点，连接交于点即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 高即为所求； （2）解：如图所示： ， 四边形是平行四边形， 则， 点即为所求． 9．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【思路引导】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）先由勾股定理求解，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：， 证明：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，为的中点， ∴． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期中）【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①四边形为菱形，理由见详解；②，理由见详解 (3)或4 【思路引导】（1）根据折叠得出，再根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：①四边形为菱形， 理由：根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； ②， 理由：∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 如图，当时，过点M作， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 由（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 如图，连接， 由勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在， 综上所述，或4． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+22个题型讲练+真题实战练 共54题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二 平行四边形性质和判定的应用 题型三 矩形与折叠问题 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 题型十 正方形折叠问题 题型十一 求正方形重叠部分面积 题型十二 根据正方形的性质与判定证明 题型十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 题型二十 三角形的中位线 题型二十一 等腰梯形的性质定理 题型二十二 等腰梯形的判定定理 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例2】（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【变式】（25-26八年级·上海·寒假作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再次折叠纸片，使的对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请猜想的度数是多少，并证明你的结论． 【变式】（25-26八年级下·山西大同·期中）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，点分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为． (1)【初步探究】如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形； (2)【深入探究】如图3，若点E是的中点，改变点F的位置，延长交于点H，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，若点F是的中点，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以，为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，直接写出线段的长． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形是长方形，F是延长线上一点，连接与相交于点E，G是上一点，．试证明：． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，已知，点在第二象限，且，． (1)的坐标是____________； (2)如图（2），的平分线交射线于点，连接，求点的坐标． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 题型讲练七 根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【变式】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 菱形 的对角线， 相交于点O， 分别延长， 到点E， F， 使， 依次连接点B， F， D， E．    (1)求证： ； (2)①若，则当 °时，四边形 是正方形，请说明理由； ②若四边形是正方形，且正方形 的面积为32，，则的长为 ． 题型讲练八 根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若 ，，，请直接写出四边形的面积． 【变式】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图1，在 中，，，，，相交于点O，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长． 题型讲练十 正方形折叠问题 【例10】如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 题型讲练十一 求正方形重叠部分面积 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【变式】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 题型讲练十二 根据正方形的性质与判定证明 【例12】（25-26八年级下·河南许昌·期中）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，四边形的形状是 ． (2)如图2，若，，求的长． 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1，发现点在对角线的中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究： (1)如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)如图3，取中点，连接、、，在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，直接写出的长度． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例13】在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【变式】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例14】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，A分别在轴和轴的正半轴上，顶点C的坐标为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接，并且． (1)如图1，若a，b满足：，则__________，__________； (2)在（1）的条件下 ①如图1，若点为中点，过点作交轴于点，求点坐标； ②如图2，若坐标为，过点作交的延长线于点，求点横坐标； (3)如图3，若，若点坐标为，求点坐标__________． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例15】（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 题型讲练十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例16】（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【变式】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 题型讲练十七 （特殊）平行四边形的动点问题 【例17】如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______；______； (2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ (3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 【变式】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． (1)求线段的长 （用含的代数式表示）． (2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 题型讲练十八 四边形中的线段最值问题 【例18】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，P是上一动点，交于点Q，M是上一个动点，交于点N，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 题型讲练十九 四边形其他综合问题 【例19】（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【变式】（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 题型讲练二十 三角形的中位线 【例20】（2026·山西吕梁·一模）如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【变式】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是上一点，点是菱形外部一点，满足． (1)求的度数； (2)连接，取的中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系是 ． 题型讲练二十一 等腰梯形的性质定理 【例21】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： (1)四边形为平行四边形； (2)四边形为等腰梯形； (3)，直接写出的值． 题型讲练二十二 等腰梯形的判定定理 【例22】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【变式】如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形的边在数轴上，且，点A表示的实数是，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆合川·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 4．（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 5．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 6．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边于点，且，连接．给出下面5个结论： ①； ②； ③四边形CEOF的面积为； ④若的中点为，则的最小值为 ⑤当时，． 上述结论中，所有正确的结论是_____．（填序号）． 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)求，的长； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． (3)若为直角三角形，求的值． 8．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的三个顶点都在格点上，点为边上一点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图1中画出边的高； (2)在图2中画出线段，且点在边上． 9．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，交于点O，且． (1)判断和的关系，并证明； (2)若为的中点，，求的长． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期中）【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $