专题五 因式分解（6大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题五 因式分解 考点一：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【典例精讲】（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 【变式训练1】（2026•泗洪县模拟）下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B．6a3b＝3a2•2ab C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 【变式训练2】（2026•鼓楼区一模）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 考点二：公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【典例精讲】（2026春•丰县期中）多项式a2+ab的公因式是（　　） A．a B．a2 C．ab D．b 【变式训练1】（2026春•历下区期中）多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【变式训练2】（2026春•市中区校级期中）多项式a3b﹣ab2c的公因式是（　　） A．a B．b C．abc D．ab 考点三：提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例精讲】（2026春•高州市期中）把多项式x2﹣9x分解因式，结果正确的是（　　） A．x（x﹣9） B．（x+3）（x﹣3） C．x（x+3）（x﹣3） D．（x﹣3）2﹣9 【变式训练1】（2026•隆安县三模）多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　） A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y） 【变式训练2】（2026•虹口区三模）分解因式：x2y3+xy＝　 ． 考点四：公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【典例精讲】（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4 【变式训练1】（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【变式训练2】（2026春•钟楼区校级月考）因式分解：4x2﹣4xy+y2＝　 ． 考点五：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【典例精讲】（2026•朝阳二模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝　 ． 【变式训练1】（2026•哈尔滨模拟）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 ． 【变式训练2】（2026•铁岭二模）因式分解：9x2﹣36＝　 ． 考点六：因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例精讲】（2026春•沈阳期中）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8； ∵（x+1）2≥0， ∴原式≥﹣8， 即当x＝﹣1时，原式有最小值﹣8． 学以致用： （1）用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5；（其他方法不得分） （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+5有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知﹣x2+3x+y+5＝0，请直接写出x+y的最小值． 【变式训练1】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【变式训练2】（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 1．（2026•长春一模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．6a2b＝2a•3ab B．2a3b﹣4a2b＝2a2b（a﹣2） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2a﹣1＝a（a﹣2）﹣1 2．（2026春•灌南县期中）12x3y2与2x6y的最大公因式是（　　） A．12x6y2 B．2x3y C．x3y D．xy 3．（2026春•同步）已知m为有理数，则整式m2（m2﹣1）﹣m2+1的值（　　） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 4．（2026•广东二模）因式分解a2﹣4的结果是（　　） A．（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣4） C．（a﹣2）2 D．2（a﹣2） 5．（2026春•丰县期中）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 6．（2025春•市中区校级月考）下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x•5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是　 ． 7．（2026春•东台市期中）4x2y3z与2x3y2的公因式是　 ． 8．（2026春•同步）（1）多项式πr2h+πr3中各项的公因式是 　 ； （2）多项式3a2y﹣3ay+6y中各项的公因式是 　 ； （3）多项式﹣5x3+25x2﹣10x中各项的公因式是 　 ． 9．（2025秋•龙凤区校级期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 ． 10．（2025春•成都期末）若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　 ． 11．（2025秋•吴中区期中）分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　 ． 12．（2025秋•翔安区期末）若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　　 ． 13．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　 ． 14．（2026•朝阳区校级模拟）因式分解：2m2﹣4m＝　 ． 15．（2026春•浑南区期中）因式分解：25﹣16x2＝　 ． 16．（2026•定海区三模）利用因式分解计算：20262﹣20252＝　 ． 17．（2026春•环翠区校级月考）若x2+2x﹣5＝0，则x3+3x2﹣3x+2017的值为　 ． 18．（2026春•兴化市月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　 三角形． 19．（2026春•同步）确定下列多项式的公因式． （1）ax+ay； （2）3mx﹣6nx2； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． 20．（2026春•宿城区校级期中）分解因式： （1）3x2﹣27； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 21．（2025春•兰州期中）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值． 22．（2025秋•淄博期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 23．（2025秋•志丹县期末）如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求x的取值范围． 24．（2025秋•武冈市期中）【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 ； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 25．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝　 ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 26．（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　 ． 27．（2026•西湖区二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy． 证明方法如下： 因为x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，所以x2+y2≥2xy． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在x3+y3≥x2y+xy2的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2） ＝… 小敏： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣xy2）+（y3﹣x2y） ＝… （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． 【简单应用】 （2）已知正实数x，y满足x+y＝2xy，求证：． 28．（2026•沁水县二模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和1+8＝9，18＝2×9，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数）由定义可得：10a+b＝k（a+b）， 我们可以利用这个式子解决相关问题… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则k＝　 ； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求k+m的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证p2﹣p一定是42的倍数． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题五 因式分解 考点一：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【典例精讲】（2026春•邳州市期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【解答】解：A．3（x﹣y）＝3x﹣3y，是整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意，； B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2，符合因式分解定义，故选项B符合题意； C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3，等号右边不是几个整式积的形式，故选项C不符合题意； D．6m2n2＝2m2•3n2，等号的左边不是应该多项式，不是因式分解，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2026•泗洪县模拟）下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B．6a3b＝3a2•2ab C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 【答案】A 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【解答】解：A符合因式分解的定义，符合题意， B中等号左边是单项式，不符合题意， C中等号右边不是积的形式，不符合题意， D是乘法运算，不符合题意， 故选：A． 【变式训练2】（2026•鼓楼区一模）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 考点二：公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【典例精讲】（2026春•丰县期中）多项式a2+ab的公因式是（　　） A．a B．a2 C．ab D．b 【答案】A 【分析】根据公因式的定义，即可解答． 【解答】解：多项式a2+ab的公因式是a， 故选：A． 【变式训练1】（2026春•历下区期中）多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【答案】B 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是5mn， 故选：B． 【变式训练2】（2026春•市中区校级期中）多项式a3b﹣ab2c的公因式是（　　） A．a B．b C．abc D．ab 【答案】D 【分析】根据公因式的定义确定公因式为ab． 【解答】解：多项式a3b﹣ab2c的公因式是ab． 故选：D． 考点三：提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例精讲】（2026春•高州市期中）把多项式x2﹣9x分解因式，结果正确的是（　　） A．x（x﹣9） B．（x+3）（x﹣3） C．x（x+3）（x﹣3） D．（x﹣3）2﹣9 【答案】A 【分析】根据提取公因式分解即可． 【解答】解：提取公因式得x2﹣9x＝x（x﹣9）． 故选：A． 【变式训练1】（2026•隆安县三模）多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　） A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y） 【答案】B 【分析】首先确定公因式，然后提取公因式即可． 【解答】解：xy2﹣y＝y（xy﹣1）． 故选：B． 【变式训练2】（2026•虹口区三模）分解因式：x2y3+xy＝xy（xy2+1）　 ． 【答案】xy（xy2+1）． 【分析】观察多项式x2y3+xy的两项，系数的最大公约数是1，相同字母x的最低次幂是x，相同字母y的最低次幂是y，因此公因式为xy．将公因式xy提取出来，x2y3÷xy＝xy2，xy÷xy＝1，所以x2y3+xy＝xy（xy2+1）． 【解答】解：x2y3+xy＝xy（xy2+1）． 故答案为：xy（xy2+1）． 考点四：公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【典例精讲】（2026春•浑南区期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．a2+2a﹣1 B．a2+4 C．a2﹣1 D．a2﹣4a+4 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A．a2+2a+1＝（a+1）2，而a2+2a﹣1不符合完全平方公式的结构特征，因此选项A不符合题意； B．a2+4是二项式，不符合完全平方公式的结构特征，因此选项B不符合题意； C．a2﹣1是二项式，符合平方差公式的结构特征，但不符合完全平方公式的结构特征，因此选项C不符合题意； D．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，符合完全平方公式的结构特征，因此选项D符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【答案】D 【分析】根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2，再计算即可． 【解答】解：根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴a+2＝±6， ∴a＝4或a＝﹣8， 故选：D． 【变式训练2】（2026春•钟楼区校级月考）因式分解：4x2﹣4xy+y2＝　（2x﹣y）2 ． 【答案】（2x﹣y）2． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝（2x﹣y）2． 故答案为：（2x﹣y）2． 考点五：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【典例精讲】（2026•朝阳二模）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝a（x﹣y）2 ． 【答案】a（x﹣y）2 【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2． 【解答】解：ax2﹣2axy+ay2， ＝a（x2﹣2xy+y2）， ＝a（x﹣y）2． 故答案为：a（x﹣y）2． 【变式训练1】（2026•哈尔滨模拟）分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　（x﹣y）（a+3）（a﹣3）　 ． 【答案】（x﹣y）（a+3）（a﹣3）． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣9） ＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 【变式训练2】（2026•铁岭二模）因式分解：9x2﹣36＝　9（x+2）（x﹣2）　 ． 【答案】9（x+2）（x﹣2）． 【分析】原式提取9，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝9（x2﹣4） ＝9（x+2）（x﹣2）． 考点六：因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【典例精讲】（2026春•沈阳期中）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8； ∵（x+1）2≥0， ∴原式≥﹣8， 即当x＝﹣1时，原式有最小值﹣8． 学以致用： （1）用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5；（其他方法不得分） （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+5有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知﹣x2+3x+y+5＝0，请直接写出x+y的最小值． 【分析】（1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可； （2）首先将多项式配方为﹣2（x+2）2+13，然后得到﹣2（x+2）2+13≤13，进而求解即可； （3）将﹣x2+3x+y+5＝0变形为x+y＝（x﹣1）2﹣6，然后根据非负数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4x+4﹣9 ＝（x﹣2）2﹣9 ＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3） ＝（x+1）（x﹣5）； （2）原式 ＝﹣2（x+2）2+13， ∵﹣2（x+2）2≤0， ∴原式≤13， 即当x＝﹣2时，原式有最大值13． （3）由条件可知y＝x2﹣3x﹣5， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴原式有最小值﹣6． 【变式训练1】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为x2+8x+16﹣9，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为（x﹣2）2+（y+3）2+5，即可进行解答． 【解答】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 【变式训练2】（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）将已知等式两边乘2，移项后分组配方，得到三个完全平方的和为0．（2）根据平方的非负性，得出三边相等，判定为等边三角形． 【解答】解：（1）因为a2+b2+c2＝ab+bc+ca 所以2（a2+b2+c2）＝2（ab+bc+ca）， 所以2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝0， 即a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2＝0， 所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0． （2）△ABC是等边三角形，理由如下： 因为（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0， 因为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 1．（2026•长春一模）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．6a2b＝2a•3ab B．2a3b﹣4a2b＝2a2b（a﹣2） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2a﹣1＝a（a﹣2）﹣1 【答案】B 【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可． 【解答】解：A、6a2b＝2a•3ab，不是因式分解，不符合题意； B、2a3b﹣4a2b＝2a2b（a﹣2），符合因式分解的概念，符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D、a2﹣2a﹣1＝a（a﹣2）﹣1，变形没有分解成积的形式，不符合题意． 故选：B． 2．（2026春•灌南县期中）12x3y2与2x6y的最大公因式是（　　） A．12x6y2 B．2x3y C．x3y D．xy 【答案】B 【分析】根据公因式定义解答即可． 【解答】解：12x3y2与2x6y的最大公因式2x3y， 故选：B． 3．（2026春•同步）已知m为有理数，则整式m2（m2﹣1）﹣m2+1的值（　　） A．不是负数 B．恒为负数 C．恒为正数 D．不等于0 【答案】A 【分析】原式变形后，提取公因式，即可做出判断． 【解答】解：原式＝m2（m2﹣1）﹣（m2﹣1）＝（m2﹣1）2≥0，即不为负数， 故选：A． 4．（2026•广东二模）因式分解a2﹣4的结果是（　　） A．（a+2）（a﹣2） B．a（a﹣4） C．（a﹣2）2 D．2（a﹣2） 【答案】A 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）． 故选：A． 5．（2026春•丰县期中）若x2+ax+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．3 B．3或﹣3 C．6 D．6或﹣6 【答案】D 【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：∵x2+ax+9＝（x±3）2， ∴x2+ax+9＝x2±6x+9， ∴常数a的值是6或﹣6， 故选：D． 6．（2025春•市中区校级月考）下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x•5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是　④　 ． 【答案】④． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：①中不是整式，它不是因式分解， ②是乘法运算，它不是因式分解， ③中等号左边是单项式，它不是因式分解， ④符合因式分解的定义，它是因式分解， 故答案为：④． 7．（2026春•东台市期中）4x2y3z与2x3y2的公因式是　2x2y2 ． 【答案】2x2y2． 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：4x2y3z与2x3y2的公因式是2x2y2， 故答案为：2x2y2． 8．（2026春•同步）（1）多项式πr2h+πr3中各项的公因式是 　πr2 ； （2）多项式3a2y﹣3ay+6y中各项的公因式是 　3y ； （3）多项式﹣5x3+25x2﹣10x中各项的公因式是 　﹣5x ． 【答案】（1）πr2；（2）3y；（3）﹣5x． 【分析】先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂． 【解答】解：（1）多项式πr2h+πr3中各项的公因式是πr2； （2）多项式3a2y﹣3ay+6y中各项的公因式是3y； （3）多项式﹣5x3+25x2﹣10x中各项的公因式是﹣5x． 故答案为：（1）πr2；（2）3y；（3）﹣5x． 9．（2025秋•龙凤区校级期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【答案】x2+6x+8＝（x+2）（x+4） 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 10．（2025春•成都期末）若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　35　 ． 【答案】35． 【分析】将（x+5）2展开后求得m，n的值，然后计算m+n的值即可． 【解答】解：（x+5）2＝x2+10x+25＝x2+mx+n， 则m＝10，n＝25， 那么m+n＝10+25＝35， 故答案为：35． 11．（2025秋•吴中区期中）分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　（x+1）（x﹣6）　 ． 【答案】（x+1）（x﹣6） 【分析】根据已知分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），可求出a的值，进行因式分解即可． 【解答】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2）， ∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴b＝﹣6， ∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3）， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴a＝﹣5， ∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）． 故答案为：（x+1）（x﹣6）． 12．（2025秋•翔安区期末）若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　4　 ． 【答案】4． 【分析】设另一个因式为x+m，计算（x+1）（x+m）后即可求得答案． 【解答】解：设另一个因式为x+m， 则（x+1）（x+m） ＝x2+mx+x+m ＝x2+（m+1）x+m ＝x2+bx+3， 那么m＝3，b＝m+1＝3+1＝4， 故答案为：4． 13．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　6　 ． 【答案】6 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2）， B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3， ∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k， 解得k＝6． 故答案为：6． 14．（2026•朝阳区校级模拟）因式分解：2m2﹣4m＝　2m（m﹣2）　 ． 【答案】2m（m﹣2）． 【分析】提公因式即可解答． 【解答】解：2m2﹣4m＝2m（m﹣2）． 故答案为：2m（m﹣2）． 15．（2026春•浑南区期中）因式分解：25﹣16x2＝　（5﹣4x）（5+4x）　 ． 【答案】（5﹣4x）（5+4x）． 【分析】根据平方差公式进行解答即可． 【解答】解：原式＝52﹣（4x）2＝（5﹣4x）（5+4x）， 故答案为：（5﹣4x）（5+4x）． 16．（2026•定海区三模）利用因式分解计算：20262﹣20252＝　4051　 ． 【答案】4051． 【分析】利用平方差公式进行因式分解后计算． 【解答】解：原式＝（2026+2025）（2026﹣2025）＝4051×1＝4051． 故答案为：4051． 17．（2026春•环翠区校级月考）若x2+2x﹣5＝0，则x3+3x2﹣3x+2017的值为　2022　 ． 【答案】2022． 【分析】由已知方程x2+2x﹣5＝0移项得x2+2x＝5．将x3+3x2﹣3x+2017变形为x（x2+2x）+x2﹣3x+2017．代入x2+2x＝5，得5x+x2﹣3x+2017＝x2+2x+2017．再次代入x2+2x＝5，计算得5+2017＝2022． 【解答】解：因为x2+2x﹣5＝0， 所以x2+2x＝5， x3+3x2﹣3x+2017 ＝x3+2x2+x2﹣3x+2017 ＝x（x2+2x）+x2﹣3x+2017 ＝5x+x2﹣3x+2017 ＝x2+2x+2017 ＝5+2017 ＝2022． 故答案为：2022． 18．（2026春•兴化市月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　等腰　 三角形． 【答案】等腰． 【分析】根据已知等式因式分解，得出a＝b或b＝c，即可求解． 【解答】解：∵ab﹣b2＝ac﹣bc， ∴b（a﹣b）＝c（a﹣b）， 即（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 19．（2026春•同步）确定下列多项式的公因式． （1）ax+ay； （2）3mx﹣6nx2； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． 【分析】（1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【解答】解：（1）ax+ay ＝a（x+y）， 则公因式为a； （2）3mx﹣6nx2 ＝3x（m﹣2nx）， 则公因式为3x； （3）4a2b+10ab﹣2ab2． ＝2ab（2a+5﹣b）， 则公因式为2ab． 20．（2026春•宿城区校级期中）分解因式： （1）3x2﹣27； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）3x2﹣27 ＝3（x2﹣9） ＝3（x+3）（x﹣3）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． 21．（2025春•兰州期中）若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值． 【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到结果为2x2﹣x﹣1，利用多项式相等的条件即可求出m的值． 【解答】解：∵2x2+mx﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝2x2﹣x﹣1， ∴mx＝﹣x， 则m＝﹣1． 22．（2025秋•淄博期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 23．（2025秋•志丹县期末）如图，这是一个正确的因式分解，其中部分式子被遮盖后看不清． （1）求被遮盖处的式子． （2）若被遮盖处的式子的值不小于3，求x的取值范围． 【分析】（1）计算（2x﹣3）（x+5）﹣（2x2+3x﹣6）即可解答； （2）根据题意解4x﹣9≥3即可解答． 【解答】解：（1）（2x﹣3）（x+5）﹣（2x2+3x﹣6） ＝2x2+10x﹣3x﹣15﹣2x2﹣3x+6 ＝4x﹣9， ∴被遮盖处的式子为4x﹣9； （2）∵被遮盖处的式子的值不小于3， ∴4x﹣9≥3， 解得：x≥3， ∴x的取值范围是x≥3． 24．（2025秋•武冈市期中）【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）　 ； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 【分析】（1）将（x﹣1）（x+m）展开后求得m的值即可； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a），将（x﹣2）（x+a）展开后求得a的值后即可求得2m﹣n的值； （3）将（x+a）（x2+bx+c）展开后即可求得答案． 【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m， 则m＝2， 则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣1）（x+2）； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a， 则m＝a﹣2，n＝2a， 那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4； （3）∵（x+a）（x2+bx+c） ＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac ＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac ＝x3+2x2﹣3， ∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3， 解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3． 25．（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 【分析】（1）先由2a+b＝6平方得4a2+4ab+b2＝36，结合4a2+b2＝24求出ab＝3；阴影面积为ab，求出结果即可； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024，则m+n＝1，2mn＝﹣2；利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算得5． （3）图3正方形边长为a+2b+c，分割成小图形后面积相加，得展开式a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）由a+2b+c＝5平方得a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc＝25；将2ab+2bc+ac＝3乘2得4ab+4bc+2ac＝6，代入得a2+4b2+c2＝19． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， 所以（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝62＝36， 4ab＝36﹣（4a2+b2） ＝36﹣24 ＝12， ab＝3， 阴影面积ab． 故答案为：； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024 （2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 即（2025﹣y）×2（y﹣2024）＝﹣2， 所以2mn＝﹣2， m+n＝2025﹣y+y﹣2024＝1， 因为（2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝12﹣（﹣2） ＝3； （3）（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）因为a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3， 所以（a+2b+c）2＝52＝25， 因为（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc 4ab+2ac+4bc＝2×（2ab+2bc+ac）＝2×3＝6， a2+4b2+c2＝25﹣6＝19． 26．（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　（x+7）（x﹣1）　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　﹣6　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　18　 ． 【分析】（1）先将原式配成完全平方差形式（x+3）2﹣42，再用平方差公式分解为（x+7）（x﹣1）； （2）将原式配方为（x﹣4）2﹣6，利用平方的非负性，当（x﹣4）2＝0时取最小值﹣6； （3）对等式配方得（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，由平方非负性得a＝5、b＝6，根据三角形三边关系得1＜c＜11； （4）面积，结合x+y＝12得，由二次函数性质得最大值为18． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7 ＝（x2+6x+9）﹣16 ＝（x+3）2﹣16 ＝（x+3+4）（x+3﹣4） ＝（x+7）（x﹣1）， 故答案为：（x+7）（x﹣1）； （2）x2﹣8x+10 ＝x2﹣8x+16﹣16+10 ＝（x﹣4）2﹣6， 因为（x﹣4）2≥0， 所以当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是﹣6； （3）a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0， （a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， 因为平方数具有非负性， （a﹣5）2≥0，（b﹣6）2≥0， 所以a﹣5＝0，b﹣6＝0， 解得a＝5，b＝6， 因为a，b，c分别为△ABC的三边长， 可得6﹣5＜c＜6+5， 即1＜c＜11； （4）四边形ABCD的面积：， 因为x+y＝12， 所以y＝12﹣x， 则S ， 因为， 所以当x＝6时，S有最大值，最大值为18． 27．（2026•西湖区二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy． 证明方法如下： 因为x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，所以x2+y2≥2xy． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在x3+y3≥x2y+xy2的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2） ＝… 小敏： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣xy2）+（y3﹣x2y） ＝… （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． 【简单应用】 （2）已知正实数x，y满足x+y＝2xy，求证：． 【分析】（1）对x3+y3﹣（x2y+xy2）分组因式分解，得到（x﹣y）2（x+y）；利用正实数性质，（x﹣y）2≥0且x+y＞0，推出差非负，故x3+y3≥x2y+xy2，猜想正确； （2）对通分，分子为y3+x3﹣2x2y2；结合（1）的结论x3+y3≥x2y+xy2，将分子转化为x2y+xy2﹣2x2y2；代入已知条件x+y＝2xy，化简后证明分子非负，分母x2y2＞0，故． 【解答】解：（1）x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝x3+y3﹣x2y﹣xy2 ＝x2（x﹣y）+y2（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）2（x+y）， 因为x，y为正实数，所以（x﹣y）2≥0，x+y＞0， 因此（x﹣y）2（x+y）≥0， 即x3+y3﹣（x2y+xy2）≥0， 所以x3+y3≥x2y+xy2，小聪的猜想正确． （2）2 ， 由（1）知x3+y3≥x2y+xy2， 所以y3+x3﹣2x2y2≥x2y+xy2﹣2x2y2， 所以y3+x3﹣2x2y2≥xy（x+y）﹣2x2y2， 将x+y＝2xy变形为x＝2xy﹣y，y＝2xy﹣x， 代入上式，可得 y3+x3﹣2x2y2≥xy•2xy﹣2x2y2， 即y3+x3﹣2x2y2≥0， 因为x2y2＞0， 因此， 即． 28．（2026•沁水县二模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和1+8＝9，18＝2×9，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数）由定义可得：10a+b＝k（a+b）， 我们可以利用这个式子解决相关问题… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则k＝　5　 ； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求k+m的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证p2﹣p一定是42的倍数． 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为10a+b＝k（a+b），则新数是10b+a＝m（a+b），根据“k阶和倍数”的定义得到（10a+b）+（10b+a）＝k（a+b）+m（a+b），据此化简即可求解； （3）设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b，根据“7阶和倍数”的定义可得10a+b＝7（a+b），化简得a＝2b，故p＝10a+b＝21b；要证明p2﹣p 是42的倍数，即证明p（p﹣1）＝21b（21b﹣1）是42的倍数，只需证明b（21b﹣1）是2的倍数即可． 【解答】（1）解：∵4+5＝9，45÷9＝5， ∴45是“k阶和倍数”，则k＝5， 故答案为：5； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数），则 原数：10a+b＝k（a+b）①． 新数是：10b+a＝m（a+b）②， 将①+②：（10a+b）+（10b+a）＝k（a+b）+m（a+b）， ∴11（a+b）＝（k+m）（a+b）， ∵a，b≥1， ∴a+b≠0． 两边同时除以a+b，得：k+m＝11； （3）证明：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9）， 由p是“7阶和倍数”，得：10a+b＝7（a+b）， 化简得a＝2b， 因此p＝10a+b＝10×2b+b＝21b， p2﹣p＝p（p﹣1）代入p＝21b，得：p（p﹣1）＝21b（21b﹣1）， 可知p2﹣p 是21的倍数， 又∵21b和21b﹣1 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即p2﹣p 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴p2﹣p 一定是2×21＝42的倍数， ∴21b（21b﹣1）一定能被42整除．即p2﹣p一定是42的倍数． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $