期末培优：已知线面角、面面角、点到平面距离求其他量专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦空间角与距离互求，以立体几何模型为载体，系统覆盖线面角、面面角、点面距离三类核心问题的证明与计算 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知线面角求其他量|例3+变式3|结合柱锥几何体，已知线面角求长度、二面角|从线面垂直关系切入，体现空间角与线段长度的转化| |已知面面角求其他量|例3+变式3|以二面角为条件，求线段长或体积|基于面面垂直性质，构建空间角与几何体度量的关联| |已知点到平面距离求其他量|例2+变式2|由点面距离推导二面角、线段长|通过距离公式反推空间几何量，强化空间观念与推理能力|

期末培优：已知线面角、面面角、点到平面距离求其他量专项训练 期末培优：已知线面角、面面角、点到平面距离求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 已知点到平面距离求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（2026·江苏·二模）如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1) 法一：取中点，连接， 因为是的中点，所以且. 由直三棱柱的性质知且，所以且， 又因为是的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以， 结合，所以，又因为是的中点，所以. 法二：由直三棱柱的性质知平面， 因为平面，所以， 又因为，所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 因为分别为和的中点，所以. 因为平面，所以， 又因为，所以， 由解得，即. (2)2 【分析】（1）方法1，取中点，连结接，由题设可得四边形为平行四边形，据此可完成证明；方法2，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量知识结合可完成证明； （2）方法1，设到平面的距离为，由，可得，然后由与平面所成角的正弦值为，可得 ，据此可得答案；方法2，由（1）方法2，设直线与平面所成角为，由题设及空间向量知识可得，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）法一：在等腰直角中，因为，所以. 由（1）知，平面且. 设到平面的距离为， 则三棱锥的体积. 又因为三棱锥的体积， 所以由，得，解得. 因为直线与平面所成角的正弦值为，所以， 所以，因为，所以，即的长为2. 法二：因为，所以由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则取，则，即. 设直线与平面所成角为，则， 即，化简得， 因为，所以，即的长为2. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：直线平面； (3)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，结合面面垂直得出线面垂直，再根据线面垂直的判定定理可得平面； （2）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线与底面所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可. 【详解】（1）侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 取的中点为，连接， 为等边三角形， ，平面， 所以底面， 底面， ，又因为，所以， 平面，所以平面； （2）取的中点，连接，，如图． 是的中点， ，． 由得，又， ，，四边形是平行四边形， ，又平面，不在平面内， 平面． （3）由已知得， 以为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 过做的平行线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，． 因为与底面所成的角为，是底面的法向量， ，即．① 又M在棱上，设， 则，，．② 由①②解得（舍去）或 所以，从而． 设是平面的法向量， 则，即， 取，则， 所以． 设二面角的平面角为 于是， 又因为的平面角为锐角，所以， 因此二面角的余弦值为． 例3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，结合四边形ABCD为矩形可得为BD的中点，根据平面AEC可得，进而求证即可； （2）方法一：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而得到，进而得到平面PAD，在平面PAD内作，垂足为G，连接GC，可得，进而得到是二面角的平面角，进而求解即可； 方法二：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量求解即可. 【详解】（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF， 四边形ABCD为矩形，为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，， 又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点. （2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，， 则就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得． 四边形ABCD为矩形，， 又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD， 如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则， 是二面角的平面角． 在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点， ，且 平面PAD，平面PAD，，故， 二面角的平面角的正切值为． 方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD， ，则就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故 解得，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故， 则，即， 所以二面角的平面角的正切值为． 变式1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的正弦值; (2)为线段上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，进而得到正弦值； （2）根据为线段上一点，设，，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列式即可求解. 【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （2）设，， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或，因为，所以， 故 变式2．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，.点在线段上.    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)为靠近点的四等分点，理由见解析; (2); (3). 【分析】（1）当为靠近点的四等分点时，结合已知条件可得，而，则，从而可得结论； （2）取中点，连接，由面面垂直可得平面，再由结合菱形的性质可得，则得平面，然后求出，再利用等体积法可求得点到平面的距离； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）当为靠近点的四等分点，四点共面. 理由如下：    如图，，，， 四边形是菱形，， ，四点共面. （2）    如图，取中点，连接 是等边三角形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面 平面平面 平面，又平面， 设点到平面的距离为， ，即， 解得 所以点到平面的距离为 （3）由（2）知，两两垂直，所以以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．    则， 所以 设,则 则， 又平面，故取平面的法向量， 设与平面所成角为，则， 化简整理得，解得 则 设平面的法向量，则， 令则，所以平面的法向量. 所以，二面角的余弦值为 变式3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的余弦值; (2)为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值； (2)根据为线段EF上一点，设，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列式即可求解. 【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 因为二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为 （2）设， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或， 因为，所以， 故 考点二 已知面面角求其他量 例1．（2026·江苏·模拟预测）在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见下详解 (2) 【分析】（1）先证平面，再证平面，最后证出平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，分别求出平面和平面法向量，表示出向量夹角余弦的绝对值，求出点坐标，再根据向量夹角求出的值即可. 【详解】（1）证明：连接，由四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由正方形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，， 设为平面法向量，则，则， 取，则，所以， 易知平面，即平面，所以为其法向量， 所以，解得或（舍）， 所以点为，则，， 所以. 例2．（2026·江苏苏州·三模）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形.，，，，，. (1)证明：； (2)已知是线段上的一点，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，再由面面垂直的性质可得平面，然后由线面垂直的性质即可证明； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求面面角，列式求出即可． 【详解】（1）因为，，， 所以，则， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）知，平面，因为平面， 所以，同理，又因为， 所以可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向， 建立如下图所示空间直角坐标系， 得，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设， 则，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 由，得， 所以． 例3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）根据面面垂直的判定定理，过点作，再根据线面垂直的判定定理，转化为线线垂直的关系； （3）首先以底面对角线的交点为原点，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量法求，最后再代入锥体体积公式，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 已知是的中点，是的中点， 在中，且， 又， 所以，，所以四边形是平行四边形 所以． 又平面，平面 所以平面    （2）过点作的垂线，垂足为 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面．又平面， 所以. （3）设，过点作， 又底面是边长为2的菱形，则， 以点为坐标原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系， 由（2）可知，，为的中点， 所以，又， 所以是等边三角形，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取， 同理设平面的法向量， 取， 设平面与平面的夹角为，， 所以，， . 变式1．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）在三棱锥中，，，． (1)若平面平面， ①证明：． ②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值． (2)若二面角的正切值为，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①根据面面垂直性质定理得平面，进而得； ②根据题意，建立空间直角坐标系，设三棱锥外接球球心，进而根据球心到的距离相等得，再利用向量方法求解即可. （2）过点作棱交的延长线于，进而得点在以为圆心，为半径的圆上动，设，则，再根据二面角的向量求法求解得 ， 【详解】（1）①证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 ②根据题意，如图，建立空间直角坐标系，，，，， 设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等， 所以，即，解方程得：， 所以， 又因为平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 所以与平面夹角的正弦值为. （2）解：过点作棱交的延长线于， 因为，，． 所以，故点在以为圆心，为半径的圆上动， 故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，则 平面的法向量为 则，即，令，则，，， 因为二面角的正切值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为 所以 又因为，将其代入整理得， 解得， 所以，，此时 故二面角的正切值为， 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】(1)存在，点N为的中点 (2) 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）在四棱锥 中， 平面 分别为 的中点， . (1)求证：平面 平面 ； (2)若二面角 的余弦值为 ，求 的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【分析】（1）先运用线面垂直性质得到，进而证明平面，再由，得到平面，进而得到面面垂直即可； （2）运用向量法，结合二面角 的余弦值为 ，建立方程计算即可. 【详解】（1）证明：平面，，又，， ，平面，又分别为的中点，，平面， 平面，平面 平面 （2）如图建立空间直角坐标系： ，，， ，，，，设， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以. 设平面的法向量为，则， 取，则，所以. 显然二面角平面角为锐角， 则，解得， 即. 考点三 已知点到平面距离求其他量 例1．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 【答案】(1)∵ 平面，， 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得. ∵ ，，， ∴ 在中，，，， 可得. ∵ 为中点，∴ . ∵ ，∴ 分的比为，得. 平面的法向量为. ， ∴ ，即. 又平面，∴ 平面. (2) (3) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，确定各点坐标. （1）通过证明与平面的法向量垂直，结合线面平行判定定理完成证明. （2）分别求解两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. （3）设出的参数坐标，结合点到平面的距离公式求解参数，再计算的长度. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， ，， 则，即， 取，得. 设平面与平面的夹角为，， 则. （3）在线段上，，令， 到平面的距离. 由题意得， ∴ ，即，得. ∴ . 变式1．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． (1)证明：平面PBF； (2)已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出； 【详解】（1）在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. （2）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，化简得， 即，而，解得， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面．点为棱上的动点，棱锥外接球半径最大值为2． (1)求证：平面平面； (2)当点运动到什么位置时，点到平面的距离为？求出此时平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据条件证明面，然后得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据外接球半径最大得到的长，然后根据点面距求出点坐标，由向量夹角公式计算面与面夹角的余弦值. 【详解】（1） 连接， 底面是边长为2的正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 平面，所以平面平面. （2） 设，由题意可知棱锥外接球半径， 当与点重合时，取最大值，,， 以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，平面的法向量为， ，， 由，则， 令，则，， 点到平面的距离为， 解得， 设面的法向量为， ，， 由，则， 令，则，， 设平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：已知线面角、面面角、点到平面距离求其他量专项训练 期末培优：已知线面角、面面角、点到平面距离求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 已知点到平面距离求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（2026·江苏·二模）如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：直线平面； (3)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 例3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 变式1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的正弦值; (2)为线段上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段的长. 变式2．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，.点在线段上.    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 变式3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的余弦值; (2)为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 考点二 已知面面角求其他量 例1．（2026·江苏·模拟预测）在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 例2．（2026·江苏苏州·三模）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形.，，，，，. (1)证明：； (2)已知是线段上的一点，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值. 例3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在(2)的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 变式1．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）在三棱锥中，，，． (1)若平面平面， ①证明：． ②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值． (2)若二面角的正切值为，求的长． 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）在四棱锥 中， 平面 分别为 的中点， . (1)求证：平面 平面 ； (2)若二面角 的余弦值为 ，求 的长. 考点三 已知点到平面距离求其他量 例1．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 变式1．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． (1)证明：平面PBF； (2)已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面．点为棱上的动点，棱锥外接球半径最大值为2． (1)求证：平面平面； (2)当点运动到什么位置时，点到平面的距离为？求出此时平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $