专题05 特殊平行四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题05 特殊平行四边形 一、矩形(长方形) 1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 ∵▱ABCD，∠A=90°→矩形ABCD 2.性质(含平行四边形全部性质+3条特有) ①角：四个内角全是90°,邻角互补∵矩形ABCD→∠A=∠B=∠C=∠D=90° ②对角线：对角线互相平分且相等，AC=BD，OA=OB=OC=OD ③对称：中心对称+轴对称(2条：对边中点连线) ④推论(高频考点)：直角三角形斜边中线=斜边的一半 ⑤面积：S=长×宽 3.矩形3种判定 1.定义：有一个直角的平行四边形→矩形 2.三个角是直角的四边形→矩形(不用证平行)；∵∠A=∠B=∠C=90°→矩形 3.对角线相等的平行四边形→矩形；∵▱ABCD，AC=BD一矩形 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形 二、菱形 1.定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵▱ABCD，AB=AD→菱形ABCD 2.性质(平行四边形性质+特有) ①边：四条边全部相等：AB=BC=CD=DA ②对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角AC⊥BD；AC平分∠A、∠C,BD平分∠B、∠D ③对称：中心对称+轴对称(2条：对角线所在直线) 3.面积两种算法(重中之重) ①S=底×高，②S(对角线乘积一半) 拓展：任意对角线垂直的四边形面积=对角线乘积÷2 4.菱形3种判定 1.定义：一组邻边相等的平行四边形→菱形 2.四条边相等的四边形→菱形(不用证平行) 3.对角线互相垂直的平行四边形→菱形；∵▱ABCD，AC⊥BD→菱形 补充：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 三、正方形 1.定义 一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形 (特殊矩形+特殊菱形，兼具矩形、菱形全部性质) 2.正方形全部性质 ①边：四边相等，对边平行 ②角：四个角都是90° ③对角线：相等、垂直平分、平分一组内角AC=BD，AC⊥BD，对角线分内角为45° 3.对称：4条对称轴(两条对角线+两组对边中线)+中心对称5.面积: 4.正方形6类判定(做题常用) ①定义判定：邻边相等+一个直角的→正方形 ②一组邻边相等的矩形→正方形 ③有一个直角的菱形→正方形 ④对角线垂直的矩形→正方形 ⑤对角线相等的菱形→正方形 ⑥对角线垂直且相等且平分的四边形→正方形 四、中点四边形(本章拓展必考) 任意四边形四边中点顺次相连： 1.原四边形对角线无特殊：中点四边形平行四边形 2.原对角线相等→中点四边形菱形 3.原对角线垂直→中点四边形矩形 4.原对角线垂直且相等→中点四边形正方形 特殊平行四边形判定与概念理解 【例1】（25-26八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 B．两组对边分别相等，并且两条对角线互相垂直的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 四条边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴ 选项A正确； ∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，∴ 选项B错误； ∵ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅对角线互相垂直不能判定是菱形，∴ 选项C错误； ∵ 一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形，筝形不一定是菱形，∴ 选项D错误． 【变式1】（2026·四川泸州·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵矩形对角线相等且互相平分，不一定互相垂直， ∴A是假命题，不符合题意； ∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等， ∴B是假命题，不符合题意； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线垂直相等的四边形不是正方形， ∴C是假命题，不符合题意； ∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴D是真命题，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，一组对边平行的四边形可能是梯形，选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，选项错误，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，选项正确，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意． 利用矩形的性质求角度 【例2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 利用矩形的性质求线段长度 【例3】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【答案】B 【分析】设，根据矩形对角线相等且互相平分的性质和已知的条件可得与x的关系，再在中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求出与的长，然后在中再次运用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分，垂足为E，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，据此线段垂直平分线的性质得到，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ）． A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】如图：连接、，根据矩形性质和勾股定理求出的长，由旋转性质得 ，在中求出 的长；通过证明 得到 ，从而证得 ；设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接、， ∵ 四边形 是矩形，，， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可知：，，，， ∵ 点落在线段的延长线上， ∴， 在中，， 在和 中， ， ∴， ∴，即 ， ∴， 设，则， 在 中，， ∴，解得 ，即． 利用矩形的性质求面积 【例4】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【变式1】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 【答案】 6 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，． ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 【变式2】（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【分析】根据矩形的性质及全等三角形的判定证明，得到，所以可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 利用矩形的性质证明 【例5】（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】（1）根据矩形的性质得出直角和平行线，根据平行线的性质得出内错角相等，然后利用证明三角形全等； （2）由全等三角形的性质得出相等的边，设，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 设， ， ， 即， ， 在中，， ， 解得， ， ． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，进而得出，结合已知可得，即可得证； （2）由勾股定理得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，． ∵，， ∴ ． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． （2）在矩形中，，，， 由勾股定理得． ∵为等腰三角形中，矩形中，， ∴ ． ∵， ∴． ∵是中点， ∴． ∴． ∴ ． 【变式2】（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 矩形与折叠问题 【例7】（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据折叠的性质得到、、，设，用表示出、，最后在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：由四边形是矩形，， 则，，， 在中，由勾股定理得，， 由折叠性质可得：，，，， 设，则，故， 在中，根据勾股定理， 代入得：， 解得， ． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可知：，，，， ∴， 在中，， ∴， 设，在中有：， ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 证明四边形是矩形 【例8】（2026·四川绵阳·二模）如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在和中， ∴； (2)矩形； 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明： ， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 【变式2】（2026·贵州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明 ，得出，从而推导出四边形为平行四边形再根据矩形定义即可证明四边形是矩形； （2）由于平行四边形对角线互相平分，可知是斜边中线，所以要求只要求即可，由(1)知，，所以可以通过求出，，进一步求出和，最后用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 平行四边形， 且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了平行四边形、矩形的性质与判定，以及全等三角形、勾股定理和直角三角形的三边关系，本题关键是灵活运用综合分析法将条件和结论有机结合起来． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，然后根据菱形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 添加一个条件使得成为矩形 【例9】（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 【变式1】（2026·陕西商洛·一模）如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用对角线相互平分的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到需要添加的条件． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 添加， 四边形是矩形． 【变式2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 利用菱形的性质求角度 【例10】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【答案】 【分析】先连接，再根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，得出，最后根据全等三角形的判定和性质，得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，． 垂直平分， ， ， ． ，，， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 利用菱形的性质求线段长度 【例11】（2026·甘肃·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 【答案】6 【分析】先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 【变式2】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，是线段的中点，连接， （I）线段的长为____________； （II）为的中点，是的中点，连接，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】（I）根据菱形对角线互相垂直平分求出 的长，由中点定义求出的长，在中利用勾股定理求出； （II）取中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长，进而求出的长，在中利用勾股定理求出． 【详解】（I） 四边形 是菱形，，， ，，． 是线段 的中点， ， 在 中，由勾股定理得： ． （II）如图，取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ，即． 为的中点，， ． 是的中点，， ， ． 在中，由勾股定理得： ． 利用菱形的性质求面积 【例12】（25-26八年级下·广东广州·期中）中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】24 【分析】菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可。 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴该菱形的面积为。 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 利用菱形的性质证明 【例13】（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，由已知得，即可由证明； （2）连接，交于点M，由，根据全等三角形的性质得，，再根据菱形的性质可推出，则垂直平分，由勾股定理求出、，再根据三角形等面积法求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ∵于点E，于点F， ， ； （2）解：如解图，连接，交于点M． ， ，， ∵四边形是菱形， ， ，即， ∴垂直平分， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 证明四边形是菱形 【例14】（江苏苏州市新区实验中学集团2026年初中毕业暨升学考试模拟试卷数学）如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的边的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交、于点和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，中垂线的性质，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴菱形的面积， ∴， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用对角线垂直的平行四边形是菱形进行论证即可； （2）先利用三角形中位线定理得出，设，利用勾股定理列方程求出的值，则面积可求. 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：设， ∵是菱形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴即：， 解得：， ∴， ∴. 【变式2】（2026·云南楚雄·一模）如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可根据菱形的判定证明结论； （2）过点F作交的延长线于点G，先证明，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点F作交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，． 【变式3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对角线相等和三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据菱形的性质和矩形的性质可推出，然后根据勾股定理得到，最后利用矩形的周长，根据完全平方公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵E，H分别是，的中点， 且， 同理可得：且，且， 且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，， ∵四边形的面积为24，且四边形是菱形， ， ∵E，F，G，H分别是矩形四边的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ∵E，H分别是矩形边，的中点，， ， ， ， ∴矩形的周长 ， ∴矩形的周长为． 添加一个条件使得成为菱形 【例15】（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 【变式2】（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 利用中点四边形判断形状 【例16】（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的两条对角线，利用三角形中位线定理先证明所得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，证明平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理得到结果． 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 利用中点四边形求解 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点）；理由见解析；（3）点运动的路径长为． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由证明三角形全等，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）连接、，交点为；先证明，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，设，则，点运动的路径直线上，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ∴ 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点），理由如下： 连接、，交点为，如图所示： 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 正方形的对角线互相平分， 为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则， ∴，， ∵为的中点， ∴即， ∵， ∴在直线上， 当时，，当时，，解得 ∴点运动的路径长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，求一次函数及勾股定理，勾股定理，本题综合性强，有一定难度，正确地作出辅助线及构造直角坐标系是解题的关键． 利用正方形的性质求角度 【例18】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可证明，得到，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可知，然后根据旋转的性质可知，，最后利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 利用正方形的性质求线段长度 【例19】（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求出答案． 【详解】解：设正方形中、交于O， 四边形是正方形，， ，，． ，， ∴四边形是矩形． ，． ， ． ， ． ． ． ． 【变式1】（2026·山西大同·模拟预测）如图，正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点，，的对应点分别为，，，连接．若，则正方形的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由旋转得，，可得为等边三角形，则，进而可得的长，即可求出正方形的周长． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形为正方形， ，． ∵正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ，， 为等边三角形， ． ∵， ，解得（负值舍去）． ∴正方形的周长为． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，然后证明，所以，又为中点，所以，即有垂直平分，所以，设，则，，在中，，即，解得，最后再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 根据正方形的性质求面积 【例20】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 证明四边形是正方形 【例21】（2026·山东青岛·二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； (2)当时，四边形是正方形；理由如下： 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则当时，， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，进而利用即可证得结论； （2）易证四边形是矩形，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质可得，于是可得当时四边形是正方形． 【详解】（1）略. （2）略. 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点O，求的长． (3)过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据矩形性质和旋转性质得到相等的边和角，利用证明； （2）根据得到，再根据勾股定理求出长，即可得到的长； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形是矩形，再找一组邻边相等，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∵将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 在 中，，     由勾股定理得：． ∵， ∴． 在 中，由勾股定理得：， ∵， ∴； （3）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形． ∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式2】（2026·山东菏泽·二模）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）先证，得到，即可求证四边形是平行四边形；得到； （2）先证得四边形是平行四边形，再证得，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质求得，根据等腰三角形的性质进一步求得即可． 【详解】（1）证明：， ； 点O为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ； （2）解：四边形是正方形； 由（1）可知：，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形是菱形； ，， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， 四边形是正方形． 添加一个条件使得四边形是正方形 【例22】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 【变式2】（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是__（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，掌握正方形的判定定理是解题的关键．已知，可得 ，即，从而根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，然后添加条件邻边相等，即可得证． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： 对角线，交于点，， ，即， 四边形是矩形． 又， 矩形是正方形． 故答案为：． 正方形中折叠问题 【例23】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，由正方形的性质，可得，，由翻折可得，，，可得，，，设，则，，可得，由勾股定理可得，可得，即可得四边形的面积． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿所在直线翻折，点落在点处， ∴，，， ∴，，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1】（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由四边形为正方形，垂直平分，可得四边形是矩形，，，，再由折叠可得，，，，在中求得，可得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 求正方形正方形重叠部分的面积 【例24】（2026·陕西宝鸡·二模）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【答案】8 【分析】根据拼接可知：“小鱼”形象的整体面积与正方形的面积相等，“小鱼”形象的非阴影部分的面积等于正方形中的的面积，据此即可作答． 【详解】解：∵正方形中，， ∴． 【变式1】（2026·辽宁朝阳·二模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质证明，而，则有平行线间的距离相等得到平行四边形的边上的高等于，即可得到． 【详解】解：如图 ∵正方形，等腰 ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴平行四边形的边上的高等于， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 利用正方形的性质证明 【例25】（2026·甘肃兰州·二模）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆綦江·期中）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在正方形中，对角线与相交于点，在上有一点，若，交于点． (1)求证：； (2)若正方形的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合已知可得，即可证明； （2）根据正方形的性质以及勾股定理求得，根据，得出，进而勾股定理求得，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：正方形的面积为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴． 特殊平行四边形中动点问题 【例26】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【详解】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 四边形中线段最值问题 【例27】（2022九年级·吉林长春·专题练习）如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)有，最小值是2 【分析】（1）先判断出，，再判断出，进而得出即可得出结论； （2）先判断出点在上时，最小，再利用勾股定理求出，即可得出结论； 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： 由折叠知，，． ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：有．理由：如图1， 连接，由折叠知，． ， 当点在上时，最小，最小值为，如图2， 四边形是矩形， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， ； 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，，；② (2) 【分析】（1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断．根据正方形的性质容易证明，进而可证明，因此； ②使用勾股定理可得，运用正方形的性质和勾股定理计算出和，进而求出； （2）分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，根据中位线的性质可得，．由线段公理可得，当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为的长．同理①可得，是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：点、、如图所示，，，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：且； ②由①可知，， ∴， 由勾股定理可得，，，，， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接，，，，， 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，； ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①可得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴在直角中，， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，再由，得到，，则有，利用三角形内角和定理得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再证明，得到，，推出是等腰直角三角形，，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，设正方形的边长为，则，，根据翻折的性质得，，，根据线段中点的定义得到，根据两点之间线段最短得到，则有，当的长度最小时，共线，此时点也在线段上，再根据正方形和翻折的性质求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∵E、G分别为、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （3）解：如图3，连接， 设正方形的边长为，则， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∵点N为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当共线时，的长度有最小值，最小值为； 当共线时，点也在线段上， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、翻折的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、线段最值问题、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 特殊四边形中实践探究问题 【例28】（2026·河南平顶山·二模）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1或4 【分析】（1）过点F作于点H，设与交于点K．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，再结合正方形的性质得出，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，即可得出结果； （2）连接，，．先证明，得出，，结合线段垂直平分线的性质得出，求出，再结合得出，从而得出，即可得证； （3）连接，设，求出，，，分两种情况讨论：①当点Q在线段上时；②当点Q在的延长线上时，分别结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点H，设与交于点K． ， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ， ． EF垂直平分， ， ． 又， ． 又， ， ． （2）证明：如图2，连接，，． ，，， ， ，． ∵垂直平分， ， ， ， ． 又， ， 在四边形中，． ， ． 又∵， ， ． 又， ． （3）解：连接，设． ，， ，， ． 分两种情况讨论． ①当点Q在线段上时，如图3． 在中，， ， 在中，， 又在中，， ， ． ②当点Q在的延长线上时，如图4． 在中，， ， 在中，． 又在中，， ， ． 综上所述，线段的长为1或4． 【变式1】（2026·山东日照·二模）【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 (1)尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 【答案】(1)是线段的垂直平分线， (2)①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵折叠，点，，C在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； (3)如图所示，对角线交于点O， 若，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 整理得，， 当点重合时，如图所示，垂直平分，垂足为点G， ∴， ∴当时，与重合，即， 解得，； 同理，当点重合时，折线变成点，并与点D重合，此时， ∴， 当，即时，， 整理得， ∴当点在线段上，时，与始终平行． 【分析】（1）根据折叠的性质求解即可； （2）①根据矩形的性质，折叠的性质，角的等量代换得到即可求解； ②过点作于点G，由等面积法得到，再由勾股定理，三线合一即可求解； （3）若，则时，即点在对角线上，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据作图得到，垂直平分线段， ∴， ∴以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点D； （2）解：②在中，， 如图所示，过点作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴； （3）略 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期中）探究解题 (1)问题解决：如图1，P是等边内一点，且，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为 ， 度． (2)类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，则 ．（直接写出答案） 【答案】(1)6，150 (2)解：∵四边形是正方形， ∴， 如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理得：， ，， ， 是直角三角形，， ， ； (3) 【分析】（1）利用旋转性质证明是等边三角形，利用勾股定理证明是直角三角形即可求解； （2）将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，利用勾股定理证明是直角三角形，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，推出在线段上，证明是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图1，连接， 是等边三角形， ， 为绕点逆时针旋转所得， ∴， ， 又旋转后与重合，与重合， ， 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在线段上， ， 是直角三角形， ∴， ∴． 特殊四边形中新定义类题型 【例29】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，， 求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； (3)如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【答案】(1)证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 (2)的长为或 (3)的最小值为 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可； （3）分情况讨论，分分别为奇特线时，根据中位线的性质结合等边三角形的性质，勾股定理求得的最小值即可． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②当时，如图，作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵共线， ∴共线， 则在上，不是四边形，不符合题意，故此情形不存在； ③当时，如图， 综上所述，的长为或． （3）∵菱形中，， ∴，， 连接， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， 情形一：当是奇特线时，如图，则是直角三角形，且 ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 延长交于点，连接， 又∵ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 此时 ∴的最小值为 情形二：当为奇特线时， ∵，故不能为直角三角形 当为等腰三角形时，重合，此时也为等腰三角形，不为直角三角形，故此情形不存在， 综上所述，的最小值为． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】(1) (2) ，证明见解析；8 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 特殊四边形与函数综合 【例30】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）分别过点A、B作，，在 中，根据锐角三角函数解直角三角形和菱形性质，确定点的坐标，再根据矩形的性质确定点的坐标； （2）根据直线与菱形的边的交点位置不同分类讨论，利用三角形面积公式，求出对应的三角形面积和的取值范围； （3）根据（2）中的三种不同位置分类讨论，利用垂直平分线性质得到，再根据矩形性质得到，列方程求出的值． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点E，过点B作，交延长线于点F， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，，， ∴， ， ∴点坐标为， ∵，， ∴点坐标为； （2）解：当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动， ∴，此时，， 在中，，， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，，， 此时，； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（1）知，， ∴， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：存在时刻，使得点在的垂直平分线上． 当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时，，不可能相等； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 由（2）知，， ∴， 过点B作，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ，满足； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（2）知，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ， ∵， ∴ ， 解得， 当时，M、N、B三点共线，线段不存在，舍去； 综上所述，存在时刻，使得点在的垂直平分线上，此时． 【点睛】本题考查了了菱形的性质、矩形的性质和判定、垂直平分线的性质、三角形面积公式、特殊角的锐角三角函数解直角三角形、平面直角坐标系中点的坐标与线段长关系、解一元一次方程、速度和路程和时间的关系，解题关键是根据动点的位置进行分类讨论． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 特殊平行四边形 一、矩形(长方形) 1.定义：有一个内角是 的 叫做矩形 ∵▱ABCD，∠A=90°→矩形ABCD 2.性质(含平行四边形全部性质+3条特有) ①角：四个内角全是90°,邻角互补∵矩形ABCD→∠A=∠B=∠C=∠D=90° ②对角线：对角线互相平分且相等，AC=BD，OA=OB=OC=OD ③对称：中心对称+轴对称(2条：对边中点连线) ④推论(高频考点)：直角三角形斜边中线=斜边的一半 ⑤面积：S=长×宽 3.矩形3种判定 1.定义：有一个直角的 →矩形 2.三个角是直角的 →矩形(不用证平行)；∵∠A=∠B=∠C=90°→矩形 3.对角线 的平行四边形→矩形；∵▱ABCD，AC=BD一矩形 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形 二、菱形 1.定义 一组 相等的平行四边形是菱形 ∵▱ABCD，AB=AD→菱形ABCD 2.性质(平行四边形性质+特有) ①边：四条边全部相等：AB=BC=CD=DA ②对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角AC⊥BD；AC平分∠A、∠C,BD平分∠B、∠D ③对称：中心对称+轴对称(2条：对角线所在直线) 3.面积两种算法(重中之重) ①S=底×高，②S(对角线乘积一半) 拓展：任意对角线垂直的四边形面积=对角线乘积÷2 4.菱形3种判定 1.定义：一组邻边 的平行四边形→菱形 2.四条边 的四边形→菱形(不用证平行) 3.对角线互相垂直的平行四边形→菱形；∵▱ABCD，AC⊥BD→菱形 补充：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 三、正方形 1.定义 一组邻边 且有一个 的平行四边形是正方形 (特殊矩形+特殊菱形，兼具矩形、菱形全部性质) 2.正方形全部性质 ①边：四边相等，对边平行 ②角：四个角都是90° ③对角线：相等、垂直平分、平分一组内角AC=BD，AC⊥BD，对角线分内角为45° 3.对称：4条对称轴(两条对角线+两组对边中线)+中心对称5.面积: 4.正方形6类判定(做题常用) ①定义判定：邻边相等+一个直角的→正方形 ②一组邻边相等的 →正方形 ③有一个直角的 →正方形 ④对角线垂直的 →正方形 ⑤对角线相等的 →正方形 ⑥对角线垂直且相等且平分的四边形→正方形 四、中点四边形(本章拓展必考) 任意四边形四边中点顺次相连： 1.原四边形对角线无特殊：中点四边形平行四边形 2.原对角线相等→中点四边形菱形 3.原对角线垂直→中点四边形矩形 4.原对角线垂直且相等→中点四边形正方形 特殊平行四边形判定与概念理解 【例1】（25-26八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 B．两组对边分别相等，并且两条对角线互相垂直的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 【变式1】（2026·四川泸州·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 利用矩形的性质求角度 【例2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 利用矩形的性质求线段长度 【例3】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，，且，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 【变式1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分，垂足为E，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式2】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ）． A． B． C．3 D． 利用矩形的性质求面积 【例4】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【变式1】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 【变式2】（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 利用矩形的性质证明 【例5】（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）矩形的对角线、相交于点O，点E为边一点，交于点F，，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若F是中点，，，求的长． 【变式2】（2026·青海西宁·二模）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 矩形与折叠问题 【例7】（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 证明四边形是矩形 【例8】（2026·四川绵阳·二模）如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【变式2】（2026·贵州·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 添加一个条件使得成为矩形 【例9】（25-26八年级下·湖南永州·期末）如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【变式1】（2026·陕西商洛·一模）如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 【变式2】（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 利用菱形的性质求角度 【例10】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 利用菱形的性质求线段长度 【例11】（2026·甘肃·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【变式1】（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点C作于点E，连接，若，，则的长为 _____ ． 【变式2】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，是线段的中点，连接， （I）线段的长为____________； （II）为的中点，是的中点，连接，则线段的长为____________． 利用菱形的性质求面积 【例12】（25-26八年级下·广东广州·期中）中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 利用菱形的性质证明 【例13】（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 证明四边形是菱形 【例14】（江苏苏州市新区实验中学集团2026年初中毕业暨升学考试模拟试卷数学）如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的边的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求四边形的面积． 【变式2】（2026·云南楚雄·一模）如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 添加一个条件使得成为菱形 【例15】（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【变式2】（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 利用中点四边形判断形状 【例16】（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1】（25-26八年级下·上海杨浦·期中）顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 利用中点四边形求解 【例17】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 利用正方形的性质求角度 【例18】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 利用正方形的性质求线段长度 【例19】（2026·贵州遵义·二模）如图，在正方形中，点P是上任意一点，，，垂足分别为点M，N，若，则（     ） A． B．5 C． D． 【变式1】（2026·山西大同·模拟预测）如图，正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点，，的对应点分别为，，，连接．若，则正方形的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 根据正方形的性质求面积 【例20】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 证明四边形是正方形 【例21】（2026·山东青岛·二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点O，求的长． (3)过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 【变式2】（2026·山东菏泽·二模）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 添加一个条件使得四边形是正方形 【例22】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【变式2】（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是__（写出一个即可） 正方形中折叠问题 【例23】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 【变式1】（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 求正方形正方形重叠部分的面积 【例24】（2026·陕西宝鸡·二模）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【变式1】（2026·辽宁朝阳·二模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 利用正方形的性质证明 【例25】（2026·甘肃兰州·二模）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·重庆綦江·期中）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在正方形中，对角线与相交于点，在上有一点，若，交于点． (1)求证：； (2)若正方形的面积为，，求的长． 特殊平行四边形中动点问题 【例26】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 四边形中线段最值问题 【例27】（2022九年级·吉林长春·专题练习）如图，矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠，点B落在处，过点作交于E，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)点P移动过程中，是否有最小值？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【变式2】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 特殊四边形中实践探究问题 【例28】（2026·河南平顶山·二模）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 【变式1】（2026·山东日照·二模）【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 (1)尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·四川达州·期中）探究解题 (1)问题解决：如图1，P是等边内一点，且，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为 ， 度． (2)类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，则 ．（直接写出答案） 特殊四边形中新定义类题型 【例29】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，， 求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为______； (3)如图3，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【变式1】（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 特殊四边形与函数综合 【例30】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $