专题01 二次根式（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 二次根式 一、二次根式定义 1.定义：形如的式子叫做二次根式，被开方数，根式结果（双重非负性） 2.有意义条件：被开方数 3.常见非负式子：，若几个非负数相加=0，则每一项都=0 二、二次根式3条核心性质 1. 三、最简二次根式(化简标准) 满足3个条件才是最简： 1.被开方数不含分母、分母不含根号 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式 3.根号内不含小数、分数 四、同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。 例：，是同类根式： 五、二次根式四则运算 1.加减法：先化简→再合并同类二次根式 步骤：去括号→全部化成最简→同类根式系数相加减，根式不变例： 2.乘除法 3.混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；能用乘法公式(平方差、完全平方)优先用 六、分母有理化(去分母里的根号) 1.单项分母：，例： 2.两项分母(共轭根式)： 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东日照·期中）下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二次根式中整数问题 【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二次根式有意义的条件 【例3】（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽阜阳·二模）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式2】（2026·广东茂名·一模）函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 求二次根式的值 【例4】（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 已知取值范围进行化简 【例5】（25-26九年级下·山东烟台·期中）假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期中）当时，化简的结果为（    ） A．4 B． C．－4 D． 与数轴综合进行化简 【例6】（24-25八年级下·山东日照·阶段检测）已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A．3 B． C． D． 利用二次根式的非负性求代数式的值 【例7】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知等式成立，求的值． 二次根式中与三角形有关综合 【例8】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 判断是否为最简二次根式 【例9】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）下列各式：①、②、③、④，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列式子为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 利用二次根式的运算判断选项 【例11】（2026·山西吕梁·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二次根式的混合运算（计算题） 【例12】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）计算： (1)， (2) 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算： (1)； (2)． 分母有理化（解答题） 【例13】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 复合二次根式的化简（解答题） 【例14】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 判断是否为同类二次根式 【例15】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 利用同类二次根式求参数 【例16】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 已知字母的值化简求值 【例17】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知，，则代数式的值等于______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则________． 【变式2】（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）若，，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 已知条件式的值，化简求值 【例18】（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则______． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）已知，，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）若为实数，且，求的值． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 比较二次根式的大小 【例19】（2025·陕西西安·三模）填空：________（填“”或“”） 【变式1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小许制作了两面圆形团扇作为春节礼物，其规格为：扇面圆的面积为，手柄长为．    素材2 小许计划利用长和宽分别为 和的长方形硬纸片裁剪成两个无盖的长方体纸盒用来装团扇，设计了一种裁剪方案： 如图，先将纸片的中间剪掉一块边长为 的正方形①，再在四个直角处剪掉四个小正方形，接着剪成两部分，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小且底面为长方形的无盖长方体纸盒．（参考数据：）           任务： (1)根据素材，该圆形团扇的半径为______； (2)根据素材，如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这把团扇吗？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·广东潮州·期中）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 【变式2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 二次根式中规律类题型 【例21】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 一、二次根式定义 1.定义：形如的式子叫做二次根式，被开方数，根式结果（双重非负性） 2.有意义条件：被开方数 3.常见非负式子：，若几个非负数相加=0，则每一项都=0 二、二次根式3条核心性质 1. 三、最简二次根式(化简标准) 满足3个条件才是最简： 1.被开方数不含分母、分母不含根号 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式 3.根号内不含小数、分数 四、同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。 例：，是同类根式： 五、二次根式四则运算 1.加减法：先化简→再合并同类二次根式 步骤：去括号→全部化成最简→同类根式系数相加减，根式不变例： 2.乘除法 3.混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；能用乘法公式(平方差、完全平方)优先用 六、分母有理化(去分母里的根号) 1.单项分母：，例： 2.两项分母(共轭根式)： 二次根式的识别 【例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．当时，无意义，所以不一定是二次根式，符合题意； B．，一定是二次根式，不符合题意； C．，一定是二次根式，不符合题意； D．，一定是二次根式，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式满足的两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义； 选项B中，被开方数，二次根式无意义，不符合要求； 选项C中是三次根式，根指数为3，不符合要求； 选项D中是整式，不含二次根号，不符合要求. 【变式2】（25-26八年级下·山东日照·期中）下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A．是非负数，因此是二次根式； 选项B．，因此不是二次根式； 选项C．对任意实数，都有，∴，因此是二次根式； 选项D．，因此是二次根式． 二次根式中整数问题 【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 【变式1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 二次根式有意义的条件 【例3】（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 【变式1】（2026·安徽阜阳·二模）在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 【变式2】（2026·广东茂名·一模）函数中自变量的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0两个条件，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵函数包含二次根式和分式， ∴需满足两个条件： 1 .二次根式的被开方数非负，即， 2 .分式的分母不为0，即. 解不等式得， 由得. 因此自变量的取值范围是且． 求二次根式的值 【例4】（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 【变式1】（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 已知取值范围进行化简 【例5】（25-26九年级下·山东烟台·期中）假设，那么等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 原式 ， ， 代入得：原式． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴. 【变式2】（25-26八年级下·安徽六安·期中）当时，化简的结果为（    ） A．4 B． C．－4 D． 【答案】A 【分析】由得，，运用完全平方公式将写成，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：A． 与数轴综合进行化简 【例6】（24-25八年级下·山东日照·阶段检测）已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数a在数轴上的位置得到，再根据及绝对值的性质可得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴ ． 利用二次根式的非负性求代数式的值 【例7】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知等式成立，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二次根式中与三角形有关综合 【例8】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系结合二次根式的性质化简即可； （2）由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简计算． 【详解】（1）解：∵ ，，是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ； （2）解：由三边关系得，即， ∴， ∴原式 ． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【答案】(1)这个三角形是“三倍平方三角形”，见解析 (2)2， 【分析】（1）根据“三倍平方三角形”的定义判断； （2）设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为，根据勾股定理得到，然后根据“三倍平方三角形”的定义分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：这个三角形是“三倍平方三角形” 理由：，， ， 这个三角形是“三倍平方三角形”； （2）解：设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为，根据题意有． ∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， 两条直角边的平方和不可能等于斜边平方的3倍． 分两种情况讨论． ①当时，即， ，； ②当时，即， ，． 综上所述，该直角三角形的另外两条边长分别为2，． 判断是否为最简二次根式 【例9】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）下列各式：①、②、③、④，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断，即可求解． 【详解】解：①是最简二次根式； ②的被开方数含有分母，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式；④是最简二次根式； 故最简二次根式共有个． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； C、，被开方数含有能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； D、 的被开方数含小数即分母，不是最简二次根式.综上． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列式子为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B：，分母含有根号，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根式； 选D． 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 利用二次根式的运算判断选项 【例11】（2026·山西吕梁·二模）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，A错误． 选项B：∵，B错误． 选项C：∵，∴C正确． 选项D：∵，D错误． 【变式1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法直接合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，计算正确，D正确． 【变式2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误； 、，该选项计算正确； 、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误； 、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误． 二次根式的混合运算（计算题） 【例12】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）计算： (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式 ； 解：（2）原式 ． 分母有理化（解答题） 【例13】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）利用分母有理化进行计算即可； （3）直接将每个分数分母有理化然后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：的有理化因式是； （2）解：根据题意得：； （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 复合二次根式的化简（解答题） 【例14】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 判断是否为同类二次根式 【例15】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和相同，即可得出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，被开方数为. 对各选项化简：A选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； D选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 利用同类二次根式求参数 【例16】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 已知字母的值化简求值 【例17】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则________． 【答案】0 【详解】解：， ． 【变式2】（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）若，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴. 【变式3】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二次根式的加法运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为 ，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 已知条件式的值，化简求值 【例18】（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）若为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定y的取值范围，再对原式变形，利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，即， ∵， ∴， 解得 把，代入得． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化. 根据题意可得，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 比较二次根式的大小 【例19】（2025·陕西西安·三模）填空：________（填“”或“”） 【答案】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 【变式1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二次根式的应用 【例20】（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小许制作了两面圆形团扇作为春节礼物，其规格为：扇面圆的面积为，手柄长为．    素材2 小许计划利用长和宽分别为 和的长方形硬纸片裁剪成两个无盖的长方体纸盒用来装团扇，设计了一种裁剪方案： 如图，先将纸片的中间剪掉一块边长为 的正方形①，再在四个直角处剪掉四个小正方形，接着剪成两部分，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小且底面为长方形的无盖长方体纸盒．（参考数据：）           任务： (1)根据素材，该圆形团扇的半径为______； (2)根据素材，如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这把团扇吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】（）设该圆形团扇的半径为，根据圆的面积公式列出方程，再利用算术平方根的定义解答即可求解； （）分别求出长方体盒子的长宽、团扇的长宽，再比较即可判断求解． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为， 由题意得，， ∴， 解得， ∴该圆形团扇的半径为； （2）解：这个长方体盒子能装得下这把团扇，理由如下： 由题意得，长方体纸盒的宽度为，四个角小正方形边长为， ∴长方体纸盒的长为 ， ∵该圆形团扇的半径为，手柄长为， ∴团扇的长度为 ，直径为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这把团扇． 【变式1】（25-26八年级下·广东潮州·期中）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意代入求解即可； （2）根据题意列出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足， ∴当时，， ∵， （m）， 则广州塔发射节目信号的传播半径为， （2）解：电视塔A的高度为，电视塔B的高度为， 则，， 则电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比为：． 【变式2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【答案】(1)这根铁丝的长度为 (2)长方形的长为，宽为 (3)正方形的面积为，正方形的面积大 【分析】（1）设长、宽分别为，根据体积列方程并解方程即可； （2）设宽为，则长为，根据铁丝的长度列方程并解方程即可； （3）设正方形的边长为，根据铁丝的长度列出方程并解方程得到正方形的边长，求出正方形和长方形的面积，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设长、宽分别为，则 即， 解得（负值已舍去）， ∴ 答：这根铁丝的长度为； （2）解：设宽为，则长为， 则 解得， 则 答：长方形的长为，宽为； （3）解：设正方形的边长为， 则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为 （2）中围成的长方形的面积为 ∵ ∴与（2）中围成的长方形的面积进行比较，正方形的面积大． 二次根式中规律类题型 【例21】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ； （3）解： ． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）模仿题干，补充第5个等式，即可作答． （2）根据规律，即可写出第个等式； （3）根据规律将各项分母有理化即可求解； （4）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $