专题02 一元二次方程（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程 一、一元二次方程基本概念 1.定义 只含 未知数，未知数最高次数是 ， 方程； 一般形式： ：二次项，系数a(是核心，变成一元一次) ：一次项，系数 ：常数项 例：整理： 2.方程的根 使等式左右相等的未知数的值叫方程的解(根); 若是根，则，可整体代入求代数式。 二、四种解法(解题选用优先级：因式分解>直接开平>配方法>公式法) 解法1：直接开平方法 适用形式： ② ，再解一次方程 解法2：因式分解法(最快，首选) 原理：A·B=0←A=0或B=0 步骤： 1.移项，右边化为0; 2.左边因式分解(提公因式、平方差、完全平方、十字相乘); 3.两个因式分别=0,得两个一元一次方程，求解。常见分解： 4.提公因式： 5.平方差： 6.十字相乘： 解法3：配方法(必考，推导求根公式、求最值专用) 五步： → → → → 1.二次项系数化为1： 2.常数移右边： 3.两边同加「一次项系数一半的平方： 4.左侧完全平方： 5.右边非负才可开平方求解。 解法4：公式法(万能通法，所有方程都能用) 1. 2.计算判别式△= 3.△≥0,代入求根公式： Δ取值 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 无实数根（初中范围无解） 四、韦达定理(根与系数关系，才有) ， 常用代数式变形(高频考题) 注意：使用韦达定理前提：,含参数题一定要验算△。 五、一元二次方程应用题标准5步解题法(通用所有题型：增长率、利润、面积、球赛、动点) 通用五步固定格式(考试按步骤给分) 第1步：审题意 找出已知量、未知量，找准等量关系(题目核心等式)。 第2步：设未知数 ①直接设：求什么设什么为x; ②间接设：不好直接求，设中间变化量(涨价x、增长率x)。 第3步：列方程(核心) 根据等量关系列出：ax²+bx+c=0。 四大题型列式模板 1.增长率： a原来量，x增长率，两年后b；增长+，下降一 2.销售利润：(单件利润)×销售量=总利润 单件利润=现售价-进价；涨价x→销量减少 3.面积题：改造后长×改造后宽=实际面积(小路平移法) 4.握手/单循环：总次数，互赠礼物n(n-1)=总数 第4步：解方程 第5步：双检验+作答 两层检验(必写，扣分点) ①数学检验：代入方程，验证是不是方程的根； ②实际意义检验： 判断是否为一元二次方程 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 根据一元二次方程的定义求参数 【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 由一元二次方程的解求参数 【例3-1】（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【例3-2】（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【例3-3】（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【变式2】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若m是一元二次方程的一个解，则代数式________． 一元二次方程解的估算 【例4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A．B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 化为一元二次方程的一般式 【例5-1】（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【例5-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 【变式2】（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 解一元二次方程（计算题） 【例6】（25-26九年级下·山东烟台·期中）解下列方程： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期中）解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 【变式2】（25-26八年级下·河南新乡·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 一元二次方程解法中新定义类 【例7】（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【变式1】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则方程的解是______． 利用直接开平方求参数 【例8】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 利用配方法进行正确配方 【例9】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 配方法与三角形综合 【例10】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 配方法的应用与最值结合（选填） 【例11】（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 配方法比较大小 【例12】（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 配方法的应用解答题 【例13】（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【变式1】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 配方法的应用之与图形综合 【例14】（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 公式法的逆用 【例15】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 特殊法解一元二次方程 【例16】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【变式1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式2】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 换元法解一元二次方程 【例17】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知实数满足，则代数式的值是____． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若，则_____． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 换元法解一元二次方程解答题压轴 【例18】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 根据根的判别式判断根的情况 【例19】（2026·贵州遵义·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【变式2】（2026·河南周口·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 已知根的情况求参数的取值范围 【例20】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【变式1】（2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【变式2】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 根的判别式综合解答 【例21】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【变式1】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【变式3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 利用根与系数的关系求代数式的值 【例22】（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【变式1】（2026·山东德州·二模）两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【变式3】（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【变式4】（2026·黑龙江绥化·三模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 已知等量关系，求参数的值 【例23】（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程的两实数根为，，若，则m的值为______． 根与系数的关系解答题综合 【例24】（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【变式1】（2026·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若为整数，求整数k的值． 【变式2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【变式3】（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 根与系数的关系新定义类 【例25】（2026七年级下·山西太原·专题练习）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 一元二次方程实际应用之传播问题 【例26】（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 一元二次方程实际应用之增长率问题 【例27】（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【变式1】（2026·安徽合肥·二模）某机器人公司年的利润为万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知年的利润达到万元． (1)假设年到年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； (2)按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司年的利润能否超过亿元？ 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 【例28】（2026·河南平顶山·二模）为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 一元二次方程实际应用之数字问题 【例29】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【变式1】（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【变式2】（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 一元二次方程实际应用之营销问题 【例30】（25-26九年级下·重庆开州·期中）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 一元二次方程实际应用之工程问题 【例31】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 一元二次方程实际应用之行程问题 【例32】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【变式2】（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 一元二次方程实际应用之比赛问题 【例33】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 一、一元二次方程基本概念 1.定义 只含一个未知数，未知数最高次数是2，整式方程； 一般形式： ：二次项，系数a(是核心，变成一元一次) ：一次项，系数 ：常数项 例：整理： 2.方程的根 使等式左右相等的未知数的值叫方程的解(根); 若是根，则，可整体代入求代数式。 二、四种解法(解题选用优先级：因式分解>直接开平>配方法>公式法) 解法1：直接开平方法 适用形式： ② ，再解一次方程 解法2：因式分解法(最快，首选) 原理：A·B=0←A=0或B=0 步骤： 1.移项，右边化为0; 2.左边因式分解(提公因式、平方差、完全平方、十字相乘); 3.两个因式分别=0,得两个一元一次方程，求解。常见分解： 4.提公因式： 5.平方差： 6.十字相乘： 解法3：配方法(必考，推导求根公式、求最值专用) 五步：化1→移项→配方→写成平方式→开方 1.二次项系数化为1： 2.常数移右边： 3.两边同加「一次项系数一半的平方： 4.左侧完全平方： 5.右边非负才可开平方求解。 解法4：公式法(万能通法，所有方程都能用) 1. 2.计算判别式△= 3.△≥0,代入求根公式： Δ取值 根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 无实数根（初中范围无解） 四、韦达定理(根与系数关系，才有) ， 常用代数式变形(高频考题) 注意：使用韦达定理前提：,含参数题一定要验算△。 五、一元二次方程应用题标准5步解题法(通用所有题型：增长率、利润、面积、球赛、动点) 通用五步固定格式(考试按步骤给分) 第1步：审题意 找出已知量、未知量，找准等量关系(题目核心等式)。 第2步：设未知数 ①直接设：求什么设什么为x; ②间接设：不好直接求，设中间变化量(涨价x、增长率x)。 注意：单位统一(长度、价钱、年份统一)。 第3步：列方程(核心) 根据等量关系列出：ax²+bx+c=0。 四大题型列式模板 1.增长率： a原来量，x增长率，两年后b；增长+，下降一 2.销售利润：(单件利润)×销售量=总利润 单件利润=现售价-进价；涨价x→销量减少 3.面积题：改造后长×改造后宽=实际面积(小路平移法) 4.握手/单循环：总次数，互赠礼物n(n-1)=总数 第4步：解方程 第5步：双检验+作答 两层检验(必写，扣分点) ①数学检验：代入方程，验证是不是方程的根； ②实际意义检验： 判断是否为一元二次方程 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程需满足的三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项A： 满足全部三个条件，是一元二次方程； 选项B： 中未知数最高次数为1，不符合定义； 选项C： 含有x和y两个未知数，不符合定义； 选项D： 是分式方程，不是整式方程，不符合定义. 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 对于选项B：方程含有分式，不是一元二次方程，故B错误； 对于选项C：当时，方程不是一元二次方程，故C错误； 对于选项D：整理，得，符合一元二次方程的定义，故D正确． 根据一元二次方程的定义求参数 【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 由一元二次方程的解求参数 【例3-1】（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 【例3-2】（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 【例3-3】（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 【变式2】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若m是一元二次方程的一个解，则代数式________． 【答案】2028 【详解】解：m是一元二次方程的一个解， ， ， ． 一元二次方程解的估算 【例4】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【变式1】（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 化为一元二次方程的一般式 【例5-1】（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一次项为：， ∴一次项系数是． 【例5-2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方差公式将等号的左边去括号，再移项、整理即可得到结果． 【详解】， 去括号，得， 移项，得． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可确定对应系数． 【详解】解：∵原方程为 移项整理得一般形式： ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式2】（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 解一元二次方程（计算题） 【例6】（25-26九年级下·山东烟台·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，， ， ∴， ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期中）解下列方程： (1)（用配方法）． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，即或， 解得，． （2）解：， ， 或， 解得，． 【变式2】（25-26八年级下·河南新乡·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （3）解：， ，，， ∴， ∴， 即，． 一元二次方程解法中新定义类 【例7】（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， 【变式1】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则方程的解是______． 【答案】或 【分析】根据的定义，分和两种情况分类讨论，分别列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可． 【详解】解：当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 故方程的解是或． 利用直接开平方求参数 【例8】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 利用配方法进行正确配方 【例9】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 【变式2】（25-26八年级下·安徽·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，最后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方即可． 【详解】解： ， ， ， ． 配方法与三角形综合 【例10】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【变式2】（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 配方法的应用与最值结合（选填） 【例11】（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 配方法比较大小 【例12】（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 【变式1】若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 配方法的应用解答题 【例13】（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 【变式1】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 配方法的应用之与图形综合 【例14】（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】(1)3 (2)当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； （2）解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 公式法的逆用 【例15】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 特殊法解一元二次方程 【例16】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 【变式1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 【变式2】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 换元法解一元二次方程 【例17】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设，将原方程转化为一元二次方程求解，再根据非负性确定值． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 因式分解得， 解得：或． 由于， 故， 故答案为：3． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 换元法解一元二次方程解答题压轴 【例18】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解； （2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解； （3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为，即， 解得，（舍去）， 当时， ∴， 解得，； （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 又∵， ； （3）解：设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴原方程的解为，，，． 根据根的判别式判断根的情况 【例19】（2026·贵州遵义·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程 ，得 ，，， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 【变式2】（2026·河南周口·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义将给定方程转化为标准一元二次方程，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义运算得， 整理为一元二次方程标准形式：， ， ∴方程无实数根． 已知根的情况求参数的取值范围 【例20】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】/0.5 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， 整理得 ， 解得． 【变式1】（2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式2】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算整理出关于的一元二次方程，结合方程无实数根得到根的判别式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 可得关于的方程为， 整理为标准一元二次方程形式得， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 根的判别式综合解答 【例21】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知m为实数，关于x的两个方程分别为和． (1)求证：方程一定有两个不相等的实数根； (2)当方程有实数根时，求m的取值范围； (3)当方程和有公共的实数根时，求m的值． 【答案】(1)证明：对于方程的判别式为， ∴方程一定有两个不相等的实数根； (2) (3)m的值为1或5 【分析】（1）证明即可； （2）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （3）设两个方程的公共根为t，则①，②，两方程相减可求出或，然后把代入方程①求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：方程的判别式为， ∵方程一定有实数根， ∴， ∴； （3）解：设两个方程的公共根为t，则①，②， ①－②得，即或， 当时，即，解得， 当，时，均在的范围，即两个方程均有实数根， 综上，m的值为1或5． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)k的取值范围为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：方程中，，，， ， 整理可得：， 无论为何实数，方程有实数根； （2）解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 【变式3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 利用根与系数的关系求代数式的值 【例22】（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得： ，是一元二次方程的两个根， ∴ 将代入得： 【变式1】（2026·山东德州·二模）两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 【答案】 【分析】可判断，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再将所求代数式变形代入计算即可求解． 【详解】解：，满足，， ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， ． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 【变式3】（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 【变式4】（2026·黑龙江绥化·三模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，得到，，，化简代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，，， ． 已知等量关系，求参数的值 【例23】（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程的两实数根为，，若，则m的值为______． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到关于的方程，求解后再利用判别式检验的取值是否符合要求． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，，， ∴， 解得：， 又∵， 当时，， 此时方程有两个实数根， ∴m的值为． 根与系数的关系解答题综合 【例24】（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 【变式1】（2026·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若为整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再求出，根据为整数，推出或，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴或， ∴或（舍去）或或， ∴k的值为0或． 【变式2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 【变式3】（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)以a、b、c为边长的三角形是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用条件得到，代入判别式，通过完全平方公式证明； （2）利用根与系数的关系写出根的和与积的表达式，对两式平方后相减，推导出，再用勾股定理逆定理判断三角形形状． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵ ∴方程总有实数根． （2）解：由（1）可知，方程总有实数根， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②①得：，即，所以，即． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 根与系数的关系新定义类 【例25】（2026七年级下·山西太原·专题练习）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形，列出方程求解并验证即可； （2）方法一：假设存在，则，即，再由根的判别式判断即可；方法二：对进行变形即可判断； （3）根据“双倍快乐数”的定义，结合根的判别式可得，再结合实数的运算求解． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 一元二次方程实际应用之传播问题 【例26】（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 一元二次方程实际应用之增长率问题 【例27】（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 【变式1】（2026·安徽合肥·二模）某机器人公司年的利润为万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知年的利润达到万元． (1)假设年到年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； (2)按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司年的利润能否超过亿元？ 【答案】(1)该机器人公司年到年利润的年平均增长率为 (2)该机器人公司年的利润不会超过亿元 【分析】（1）设该机器人公司年到年利润的年平均增长率为，根据平均增长率相同可列一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）根据增长率不变，计算年的利润，即为年的利润，计算结果后判断是否大于亿元即可． 【详解】（1）解：设该机器人公司年到年利润的年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴ 答：该机器人公司年到年利润的年平均增长率为20%； （2）解：（万元）， ∵亿元万元，9953.28万元万元， ∴该机器人公司年的利润不会超过亿元． 答：该机器人公司年的利润不会超过亿元． 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)30元 (3)能；10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； （2）解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； （3）解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 【例28】（2026·河南平顶山·二模）为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米 (2)购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解． （2）设购买种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费=种化肥的花费+种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后确定购买方案． 【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）解：设购买种化肥千克，则购买种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ∵， 随的增大而增大， 当取最小值，即时，取最小值， 此时． 答：购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．    素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天．    素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额−收购总成本−冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (3)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为__________元． 【答案】(1)米时，符合要求 (2)在第10天出售 (3)900元 【分析】（1）根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （2）设在第天出售，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设草莓存放天，总利润为，则，利用配方法可得，然后确定最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 整理可得， 解得， 又∵， ∴当时，不符合题意，当米时，符合题意， ∴米时，符合要求； （2）设在第天出售，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（超出最大保存期限，舍去）， ∴在第10天出售； （3）设草莓存放天，总利润为， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为900元． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【答案】(1)，， (2)图形见详解，评价准确，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识． （1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）如图， 根据题意有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 即：包装盒的表面积为：， 由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（时，，明显不符合题意舍去）， 即：； （2）图形如下： 根据上图有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 根据图形有：此时包装盒的表面积为：， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（，明显不符合题意舍去）， 即：； 方案1：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 方案2：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的 “长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 即“方案2表面积更小”的评价准确． 一元二次方程实际应用之数字问题 【例29】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】最小数为9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为，再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， ∴， 即 解得：，（舍） 答：最小数为9． 【变式1】（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由见解析 【分析】（1）根据月历的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7； （3）解：方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， 当，即圈出的最小的数为11时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， ∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269． 【变式2】（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 一元二次方程实际应用之营销问题 【例30】（25-26九年级下·重庆开州·期中）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)甲组单独完成整项工作需要天 (2)该纪念品的售价为元 【分析】（1）根据工作总量工作时间工作效率，设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是，根据工程的完成情况列方程解答即可． （2）根据利润（售价进价）销售量，设该纪念品的售价为元，根据涨价后的销售情况列方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是， 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲组单独完成整项工作需要天； （2）解：设该纪念品的售价为元， 由题意可列方程：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． 答：该纪念品的售价为元． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】(1) 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元； (2) 这种面包的单价是9元或11元. 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润=单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【详解】（1）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得， 解得 ， 则总利润为（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． （2）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：这种面包的单价是9元或11元． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； (2)． 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【详解】（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 一元二次方程实际应用之工程问题 【例31】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 一元二次方程实际应用之行程问题 【例32】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 【变式1】（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 一元二次方程实际应用之比赛问题 【例33】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $