专题04 平行四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材浙教版

专题04 平行四边形 一、多边形 1.多边形定义 平面内，三条及以上线段 相接、任意两边不共线围成 图形。 2.内角和与外角和 ①边形内角和： ②任意多边形外角和恒为360°(与边数无关) ③四边形内角和：360° ④正n边形：每个内角= 3.对角线公式 边形从一个顶点引出对角线： 条；总对角线： 二、中心对称与图形旋转 1.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转前后图形全等；对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角=旋转角。 2.中心对称 ①定义：一个图形绕某点旋转180°能与另一图形重合→两图中心对称；该点为对称中心。 ②性质：对称中心平分每组对称点连线。 ③平行四边形是 图形，对角线交点是 (无对称轴)。 三、平行四边形及其性质 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，记作：▱ABCD 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，四边形ABCD是▱ABCD 2.三大性质(边、角、对角线) 分类 文字定理 几何语言（▱ABCD） 边 对边平行且相等 ， 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 对角线交于O，则 3.补充性质 1.平行四边形具有 性(伸缩门原理) 2.周长： 3.面积： 4.平行线间距离 ①定义：一条直线上任一点向另一条平行线作垂线段长度 ②推论：夹在两平行线间的平行线段相等、垂线段处处 四、平行四边形五大判定(4.4,必考) 1.定义判定：两组对边分别平行→平行四边形 ∵ABⅡCD，ADⅡBC，∴▱ABCD 2.两组对边分别相等→平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC，∴▱ABCD 3.一组对边平行且相等→平行四边形(易错：必须同一组对边) ∵ABⅡCD，AB=CD，∴▱ABCD 4.两组对角分别相等→平行四边形 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴▱ABCD 5.对角线互相平分→平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO：∴▱ABCD 五、三角形中位线 1.定义 连接三角形两边中点的线段叫中位线(≠中线，中线：顶点→对边中点) 2.中位线定理 中位线 于第三边，且 第三边的一半 几何语言D、E为AB、AC中点→DEⅡBC， 常用结论 1.三条中位线分成4个全等小三角形； 2.中点四边形：任意四边形四边中点相连→平行四边形。 六、反证法 步骤： 1.反设：假设结论不成立； 2.归谬：从假设出发推理，推出与已知/定理矛盾； 3.结论：否定假设，原命题成立。 例：求证“三角形最多一个直角”,先假设有两个直角，推出内角和>180°矛盾。 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 多边形对角线条数问题 【例2-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 【例2-2】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【变式4】（25-26八年级下·河南许昌·期中）从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 多边形内角和问题 【例4】（2026·云南楚雄·二模）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·天津东丽·期中）如果一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 多（少）算一个角的问题 【例5】（25-26八年级下·河南安阳·期中）一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【变式1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【变式2】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 复杂图形的内角和问题 【例6】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，的度数为___________． 多边形外角和的实际应用 【例7】（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 多边形内角和和外角和综合 【例8】（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【变式2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 利用平行四边形的性质求角度 【例9】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于一点，作射线交于点若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 利用平行四边形的性质求线段长度 【例10】（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【变式1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 利用平行四边形的性质求面积 【例11】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】（2026·河南平顶山·二模）如图（1），在中，是的中点，，点是上的动点， ，图（2）是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2026·河北邯郸·二模）如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 利用平行四边形的性质求最值 【例12】（25-26八年级下·北京·期中）在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是(     ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 利用平行四边形的性质证明 【例13】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【变式1】（2026·浙江丽水·二模）已知：如图，，分别是的边，的中点． (1)求证：． (2)若四边形的面积为15，求的面积． 【变式2】（2026·四川内江·二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 平行四边形中作图题 【例14】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)在图中，画线段，使平分的面积；过点作射线交于点； (2)在图中，作点关于的对称点，过点作交于点． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 四边形的不稳定性 【例15】（25-26八年级下·广西柳州·阶段检测）如图所示实验中学大门电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是四边形的___________（填“稳定性”或“不稳定性”）． 【变式1】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有_______． 求平行线之间的距离 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【变式1】（2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于_______． 利用平行线之间距离求面积 【例17】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将沿DE翻折，使点B落在点处，连接AE、，若，则面积的最大值为______． 证明四边形是平行四边形 【例18】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，点E是边的中点，连接．有下列条件：①，②，③． (1)请在以上①②③中选择两个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 判断能否构成平行四边形 【例19】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·云南·期中）在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 添加一个条件使得成为平行四边形 【例20】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 求与已知的三个点组成的平行四边形的个数 【例21】（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·阶段检测）点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【变式2】（25-26七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 判断生活中的旋转现象 【例22】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 利用旋转的性质求角度 【例23】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏苏州·二模）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，已知中，，将绕点B顺时针旋转至（点A的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 利用旋转的性质求线段长度 【例24】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式1】（2026·天津东丽·一模）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为 A．6 B． C．3 D． 【变式2】（2026·河南信阳·二模）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 在网格中画旋转图形 【例25】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点，． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出；线段和的关系是_____________；若内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为_____________． (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在所给的网格中画出，点的坐标是_____________． 【变式2】（2026·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移个单位长度得到，画出 (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 绕原点旋转的点坐标 【例26-1】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例26-2】（2026·湖北十堰·模拟预测）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东青岛·一模）在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西长治·一模）如图，在等腰直角三角形中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，且．将绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 中心对称图形的识别 【例27】（2026·湖北宜昌·一模）下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·湖南常德·期中）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期中）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 判断对称图形的对称中心 【例28】（2026·山西临汾·三模）如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，小明画关于点O对称的图形时，由于紧张选错了对称中心，画出的图形是，则此时的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 在方格子中补画图形使得成为中心对称图形 【例29】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【变式1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． (1)在图1中再涂黑1格，使新涂黑的图形为轴对称图形． (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 根据中心对称图形的性质进行求解 【例30】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 求关于原点对称的点坐标 【例31】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，平行四边形的对角线交点是原点，若A的坐标为，则点C的坐标为______． 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【变式2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______． 已知两点关于原点对称求参数 【例32】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知和关于原点对称，则___________． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________． 与三角形中位线有关的求解问题 【例33】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 【变式1】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，是的中位线，，若，，则的长为_______． 与中位线相关的证明 【例34】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接，、分别为，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的对角线、交于点，过点作交延长线于点，连接． (1)若的周长比的周长大3，且的周长为14，求的长； (2)若点、分别是、的中点，求证：． 旋转中的规律问题 【例35】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 平行四边形解答题压轴之探究问题 【例36】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． (1)则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 (3)如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 【变式1】（25-26八年级下·海南海口·期中）综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）综合与探究 在中，的角度记为． (1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______； (2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由； (3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长． 平行四边形解答题压轴之动点问题 【例37】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在中，，，点为线段上一点，连接． (1)如图，若，线段的长为________； (2)将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，， ①求在运动过程中的度数； ②在运动过程中线段扫过的面积为________； (3)当时，取的中点，连接并延长，与交于点，判断线段、的数量关系，并证明． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： (1)劳动菜园的面积为______； (2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； (3)数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形 一、多边形 1.多边形定义 平面内，三条及以上线段首尾顺次相接、任意两边不共线围成封闭图形。 2.内角和与外角和 ①边形内角和： ②任意多边形外角和恒为360°(与边数无关) ③四边形内角和：360° ④正n边形：每个内角= 3.对角线公式 边形从一个顶点引出对角线：n-3条；总对角线： 二、中心对称与图形旋转 1.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转前后图形全等；对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角=旋转角。 2.中心对称 ①定义：一个图形绕某点旋转180°能与另一图形重合→两图中心对称；该点为对称中心。 ②性质：对称中心平分每组对称点连线。 ③平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心(无对称轴)。 三、平行四边形及其性质 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，记作：▱ABCD 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，四边形ABCD是▱ABCD 2.三大性质(边、角、对角线) 分类 文字定理 几何语言（▱ABCD） 边 对边平行且相等 ， 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 对角线交于O，则 3.补充性质 1.平行四边形具有不稳定性(伸缩门原理) 2.周长： 3.面积： 4.平行线间距离 ①定义：一条直线上任一点向另一条平行线作垂线段长度 ②推论：夹在两平行线间的平行线段相等、垂线段处处相等 四、平行四边形五大判定(4.4,必考) 1.定义判定：两组对边分别平行→平行四边形 ∵ABⅡCD，ADⅡBC，∴▱ABCD 2.两组对边分别相等→平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC，∴▱ABCD 3.一组对边平行且相等→平行四边形(易错：必须同一组对边) ∵ABⅡCD，AB=CD，∴▱ABCD 4.两组对角分别相等→平行四边形 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴▱ABCD 5.对角线互相平分→平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO：∴▱ABCD 易错提醒：一组对边平行，另一组对边相等不能判定平行四边形（可能等腰梯形） 五、三角形中位线 1.定义 连接三角形两边中点的线段叫中位线(≠中线，中线：顶点→对边中点) 2.中位线定理 中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 几何语言D、E为AB、AC中点→DEⅡBC， 常用结论 1.三条中位线分成4个全等小三角形； 2.中点四边形：任意四边形四边中点相连→平行四边形。 六、反证法 步骤： 1.反设：假设结论不成立； 2.归谬：从假设出发推理，推出与已知/定理矛盾； 3.结论：否定假设，原命题成立。 例：求证“三角形最多一个直角”,先假设有两个直角，推出内角和>180°矛盾。 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 多边形对角线条数问题 【例2-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据对角线定义得到n边形从一个顶点出发的对角线条数规律，代入八边形边数计算即可. 【详解】解：∵ 对n边形，从一个顶点出发，不能向自身和相邻的两个顶点作对角线， ∴ 从一个顶点出发的对角线条数为， ∵ 该多边形为八边形，即 ， ∴ 对角线条数为 . 【例2-2】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 【变式1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 【变式4】（25-26八年级下·河南许昌·期中）从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）从九边形的一个顶点出发作对角线，可将该九边形分成的三角形个数为（    ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形，代入九边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发作对角线，可将边形分成个三角形，该多边形为九边形，即， ∴可分成的三角形个数为． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，且从一个顶点出发可引出条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可. 【详解】解：设这个多边形有条边， 从边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形， ，解得，即这个多边形是六边形， 又从边形的一个顶点出发可作条对角线， ∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有条. 多边形内角和问题 【例4】（2026·云南楚雄·二模）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正八边形的内角和． 【变式1】（25-26八年级下·天津东丽·期中）如果一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为，由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意知，， 解得，， ∴这个多边形的边数为9． 【变式2】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的性质与多边形内角和定理，掌握过多边形一个顶点的对角线分割三角形的规律，即可计算求解． 【详解】∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形， 题目中分成了个三角形， ∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和， ∵每个三角形内角和为， ∴这个多边形的内角和为 ． 多（少）算一个角的问题 【例5】（25-26八年级下·河南安阳·期中）一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，则该多边形的这个外角的度数为，再根据这个外角大于0度且小于180度建立不等式组求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴这个多边形是九边形． 【变式1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 【变式2】（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【答案】 【分析】设出多边形边数和所求内角度数，根据多边形内角和公式列出等式，结合n为正整数和多边形内角度数的取值范围，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，所求内角度数为， 根据多边形内角和公式可得：， 整理得：， 为正整数，且， 为的正整数倍， 计算得， ，满足，符合条件． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 复杂图形的内角和问题 【例6】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式4】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 多边形外角和的实际应用 【例7】（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和为，结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：多边形的外角和等于 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知小明所走的路程为一个正多边形的周长，而该正多边形的一个外角为，根据正多边形的外角和为360度求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质．根据多边形的外角和定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 多边形内角和和外角和综合 【例8】（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的每一个外角为 (2)这个多边形的内角和为 【详解】（1）解：设这个多边形的每一个外角的度数为x，由题意得： ， 解得：， 答：这个多边形的每一个外角为； （2）解：，， 答：这个多边形的内角和为． 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【变式2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 利用平行四边形的性质求角度 【例9】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于一点，作射线交于点若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法及平行线的性质．根据平行四边形对角相等求出，由作图可知平分，再利用两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴ 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质求解即可； 【详解】解：因为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 【变式2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 【答案】140 【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质确定，利用角平分线及三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ． ∵平分， ． ∵是的外角， ． 利用平行四边形的性质求线段长度 【例10】（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【变式1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若．，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到是的中点，结合垂直，得出是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等得，再根据和，计算出、和的长度，然后在中，利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，得到，进而推出邻补角，最后在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 在中，， ∴． 利用平行四边形的性质求面积 【例11】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 【变式1】（2026·河南平顶山·二模）如图（1），在中，是的中点，，点是上的动点， ，图（2）是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图，连接DE．由是AB的中点，知．当点与点重合时，．求出利用平行四边形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：由题图（2）知，时，． 由题图（1）知，时，点与点重合， ∴ 此时 ． 如图，连接．由是的中点，知． 当点与点重合时，， 由图象的对称性可知，此时 ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得 的面积为． 【变式2】（2026·河北邯郸·二模）如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用平行四边形对边平行可得平行线间距离相等，从而得出同底等高的三角形面积相等，通过面积割补法将四边形的面积转化为已知三角形面积之和． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ， 点A、E、B到直线的距离相等，设为， 、， ， 、， ， 同理得：、， ， 、， ， ． 利用平行四边形的性质求最值 【例12】（25-26八年级下·北京·期中）在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法作出图形，结合勾股定理分析计算． 【详解】解：∵在等边中，为边的中线，， ，， ∴ ①若拼成下图的平行四边形，则此时对角线长度为， ②若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中， ③若拼成下图的平行四边形，延长，过点作，交的延长线于点， 则四边形是矩形， ， 在中， 综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为O，过点O作，由题意易得，，要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：设与的交点为O，过点O作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 要使对角线长度为最小，则需满足线段的长度最小即可，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的长取得最小，此时即为线段的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 利用平行四边形的性质证明 【例13】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·浙江丽水·二模）已知：如图，，分别是的边，的中点． (1)求证：． (2)若四边形的面积为15，求的面积． 【答案】(1)证明：， ，， ∴， ，分别是的边，的中点， ， 四边形是平行四边形， . (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，进而可得结论成立； （2）根据与等高，可得，进而可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：与等高 【变式2】（2026·四川内江·二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而即可得证； （2）勾股定理求得，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， 为中点， ， 在和中 ， ， 即； （2）解：， ， ，， ， ， ． 平行四边形中作图题 【例14】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)在图中，画线段，使平分的面积；过点作射线交于点； (2)在图中，作点关于的对称点，过点作交于点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据矩形的性质和网格的特征画图即可； （）根据（）的方法过点作出的垂线，与相交于点，将向左平移个单位，再向上平移个单位得到直线，交直线于点，由平移的性质可得，即点是点关于的对称点，同理将向右平移个单位，再向下平移个单位得到直线，交直线于点，可得，进而可得四边形是平行四边形，故； 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段和射线即为所求； （2）解：如图所示，点及线段即为所求． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据网格的特点以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，即可求解； （2）根据网格的特点作，找到的格点的对角线交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图1，E是格点，先作平行四边形，再在边上画点，使． (2)如图2，在延长线上找到一格点，使得，连接，为网格线上一点，在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质将点向上平移2个单位，得到点，连接，即可得到平行四边形，取格点，连接，交于点，使得，，再根据平行四边形的性质可得，，进而得到，易证，即可得到； （2）连接，由勾股定理得到，将点向上平移5个单位，得到点，连接，可得，利用网格的特征取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，由等腰三角形三线合一可得垂直平分，可得，推出，结合，证明，推出，进而得到，再求出，得到，由三角形内角和定理可得，可得． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 四边形的不稳定性 【例15】（25-26八年级下·广西柳州·阶段检测）如图所示实验中学大门电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是四边形的___________（填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】不稳定性 【详解】解：观察电动伸缩门的结构，发现其由多个四边形组成，即电动门利用四边形的不稳定性实现伸缩功能． 【变式1】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 【答案】不稳定性 【详解】解：平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的不稳定性，可以自由伸缩，改变角度 ． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有_______． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性，根据四边形具有不稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，四边形具有不稳定性； 故答案为：不稳定性 求平行线之间的距离 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【答案】50 【分析】先根据平行线性质及三角形内角和定理说明，可得，再结合已知条件得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ． ， ， 与之间的距离为． 【变式1】（2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于_______． 【答案】18 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，关键是由角平分线的性质推出，．过作于，交于，推出，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到与之间的距离． 【详解】解：过作于，交于， ， ， 平分，， ， 同理：， ， 与之间的距离等于18． 故答案为：18． 利用平行线之间距离求面积 【例17】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将沿DE翻折，使点B落在点处，连接AE、，若，则面积的最大值为______． 【答案】18 【分析】本题考查翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，三角形的面积公式，垂线段最短；设，由翻折可得：，，可得，再由D是AB的中点，是的外角，可得，从而得出，得出，面积的最大值即为面积的最大值，过点作，利用即可求出面积的最大值． 【详解】解：设，由翻折可得：，， ∴， ∵D是AB的中点，， ∴， ∴， 由等腰三角形的定义可得：是等腰三角形，即， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值即为面积的最大值， 如图所示，过点作， ∴， ∵，当时，， ∴当时，取最大值为， ∴面积的最大值为． 证明四边形是平行四边形 【例18】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∵ ∴，即 在和中， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ． 【变式1】（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，点E是边的中点，连接．有下列条件：①，②，③． (1)请在以上①②③中选择两个作为条件，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：选择①②作为条件． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择②③作为条件． ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与面积计算． （1）选择①②作为条件．运用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形；选择②③作为条件．运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可证得四边形是平行四边形； （2）过点A作交于点G．先运用等腰三角形“三线合一”的性质，求得 ，再运用勾股定理，求出的长，最后根据平行四边形的面积计算公式求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：过点A作交于点G． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵点E是边的中点， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）先根据对称性可得，，进而得，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据对称性可得，，然后说明，接下来作，再根据直角三角形的性质得， 并根据勾股定理求出，即可得，接下来求出，最后根据平行四边形的对边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 过点F作，交延长线于点H， 在中，则， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 判断能否构成平行四边形 【例19】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解∶如图， A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故A不符合题意． B．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故B不符合题意． C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意． D．， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·云南·期中）在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 添加一个条件使得成为平行四边形 【例20】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在四边形中， ∴当时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，故A符合题意． 当时，四边形可能是等腰梯形，故B不符合题意． 当或时，无法证明，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加，使得，得到，，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证，同理，可添加，，，等，答案不唯一． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． （答案不唯一）． 求与已知的三个点组成的平行四边形的个数 【例21】（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·阶段检测）点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【变式2】（25-26七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 判断生活中的旋转现象 【例22】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 【答案】C 【分析】旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。我们需要根据这个定义来判断每个选项是否属于旋转现象． 【详解】解：A、国旗上升的过程，是沿着直线进行的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； B、球场上奔跑的运动员，是在平面上的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，围绕中心轴做圆周运动，符合旋转的定义，符合题意； D、传输带上运输的东西，是沿着传输带做直线平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点旋转的定义，解题关键是明确旋转是物体围绕一个点或轴做圆周运动，平移是物体沿直线移动，以此来区分两种运动现象． 利用旋转的性质求角度 【例23】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由旋转得，可求出，从而可求出，从而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵, ∴, ∵, ∴． 【变式1】（2026·江苏苏州·二模）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用等腰三角形性质求出，进而求出和，最后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如图，已知中，，将绕点B顺时针旋转至（点A的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， 平分， ， ． 利用旋转的性质求线段长度 【例24】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，．由点在上，可得为直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， 在中，， ． 点在边上， ． ， ． 在中，． 【变式1】（2026·天津东丽·一模）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为 A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 【变式2】（2026·河南信阳·二模）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作，交的延长线于点E，根据勾股定理可得，再结合旋转的性质可得，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点E， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在网格中画旋转图形 【例25】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2)如图所示，即为所求 【分析】（1）根据平移的性质以及点的坐标为，画出； （2）根据旋转的性质画出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点，． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出；线段和的关系是_____________；若内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为_____________． (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在所给的网格中画出，点的坐标是_____________． 【答案】(1)见解析；且； (2)见解析； 【分析】（1）根据平移的性质找到点A，B的对应点，然后顺次连接即可得出，根据平移的性质得出线段和的关系，根据平移规律得出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质找到点A，B的对应点，再顺次连接即可求解． 【详解】（1）解：∵点，，将平移得到，使得点的对应点为， ∴将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到， 如图，即为所求； 根据平移可得：且； 内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为； （2）解：如图，即为所求作的三角形；根据图可得点的坐标是． 【变式2】（2026·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移个单位长度得到，画出 (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)旋转中心的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则点P为旋转中心，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则点P为旋转中心， ∴旋转中心的坐标为． 绕原点旋转的点坐标 【例26-1】（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 【例26-2】（2026·湖北十堰·模拟预测）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得转一圈，需要时间为：，故每循环一次，求解即可； 【详解】解：根据题意，得转一圈，需要时间为：， 故每循环一次， ， 故与起点位置相同， 故坐标为； 【变式1】（2026·山东青岛·一模）在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵将点绕原点按顺时针方向旋转到， ∴，点落在轴的正半轴上， ∴． 【变式2】（2026·山西长治·一模）如图，在等腰直角三角形中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，且．将绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，根据旋转的性质，得到，，进而得到为等腰直角三角形，最后利用勾股定理定理进行求解即可． 【详解】解：交于点， ∵绕原点顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， 由图可知，位于第三象限， ∴． 【变式3】（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解． 【详解】解：∵风车图案的中心为正方形， ∴， 如图所示，作于点， ∴， ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∵每次旋转， ∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则， ∵， ∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ． 【变式4】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：A． 中心对称图形的识别 【例27】（2026·湖北宜昌·一模）下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故错误； B、该图形不是中心对称图形，故错误； C、该图形不是中心对称图形，故错误； D、该图形是中心对称图形，故正确． 【变式1】（25-26八年级下·湖南常德·期中）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期中）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 判断对称图形的对称中心 【例28】（2026·山西临汾·三模）如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算，即可得解． 【详解】解：由图可知：与交于点， 故与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 则，， 整理得，，， 故点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，小明画关于点O对称的图形时，由于紧张选错了对称中心，画出的图形是，则此时的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质，对称中心即为对应点连线的中点，从图中读取一对对应点的坐标，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：由图可知，点A的坐标为，其对应点的坐标为， ∵ 对称中心是对应点连线的中点， ∴ 对称中心的横坐标为，纵坐标为， ∴对称中心的坐标为． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 在方格子中补画图形使得成为中心对称图形 【例29】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义求解即可； （2）利用中心对称图形的定义及轴对称图形的定义求解即可． 【详解】（1）解：选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如图所示： （2）解：选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形且不轴对称，如图所示． 【变式1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”． (1)在图1中再涂黑1格，使新涂黑的图形为轴对称图形． (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： ①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． ②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） （2）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了中心对称图形、轴对称图形，作垂直平分线以及垂直平分线的性质； （1）①直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； ②直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． （2）作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质，即可得出 【详解】（1）①解：画出下列其中一种即可 ②解：画出下列其中一种即可 （2）如图所示，点即为所求 根据中心对称图形的性质进行求解 【例30】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 【答案】2025 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形重叠面积的规律探究，掌握全等三角形的判定与性质和图形重叠面积的规律探究是解题的关键． 先通过全等三角形证明两个正方形的重叠部分面积为正方形面积的​，再根据正方形数量确定重叠部分的个数，最后计算面积和． 【详解】解：如图所示，作于点，交的延长线于点， 易知，， ． 在和中， ， 四边形的面积＝四边形的面积， 同理可知，各个重叠部分的面积都是， 个这样的正方形重叠部分的面积和为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 求关于原点对称的点坐标 【例31】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，平行四边形的对角线交点是原点，若A的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，结合对角线交点为原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， 对角线与互相平分． 对角线交点是原点， 点与点关于原点对称． 点的坐标为， 点的坐标为． 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，坐标与图形性质，得A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，两个图形关于原点成中心对称时，对应点也关于原点成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于原点成中心对称， 点与点关于原点成中心对称． 关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数． 点的坐标为， 点的坐标为． 已知两点关于原点对称求参数 【例32】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知和关于原点对称，则___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可. 【详解】解：因为和关于原点对称， 所以，， 所以， 所以. 【变式1】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了坐标系中点关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为点与点关于原点对称， 所以点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数， 所以，． 解得，， 所以． 故答案为． 与三角形中位线有关的求解问题 【例33】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据中点的定义判定是的中位线，利用三角形中位线定理计算即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ； 点，点分别是，的中点， 是的中位线； . 【变式1】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，是的中位线，，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，利用线段的和差关系计算即可 【详解】解：在 中，，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ． 与中位线相关的证明 【例34】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接，、分别为，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线的性质可得，，结合可得，因此四边形是平行四边形； （2）设，则，由平行四边形的性质可得，结合可得，由直角三角形的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）证明：∵、分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：设，则， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的对角线、交于点，过点作交延长线于点，连接． (1)若的周长比的周长大3，且的周长为14，求的长； (2)若点、分别是、的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，由的周长比的周长大3得，设，则，进而利用周长公式解答即可； （2）连接，根据三角形中位线定理得，，，，，然后勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 的周长比的周长大3， ， 设，则， 平行四边形的周长为14， ， 解得：， ； （2）证明：连接，， ∵， ． 四边形是平行四边形， ， ，分别是和的中位线， ，，，， ， ， ． 旋转中的规律问题 【例35】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 C落在点的位置，第2次滚动使点D落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2026次滚动后，顶点 A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举几次滚动后的点A的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2026次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ∵， ∴， 即第2026次滚动后，顶点 A的坐标是． 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 平行四边形解答题压轴之探究问题 【例36】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换、能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，是等边内一点，且 若将绕点顺时针旋转得到． (1)则点与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)如图2，在（1）的条件下，过作交延长线于，则 （直接写出答案）． 【类比探究】 (3)如图3，点是正方形内一点，．求的度数和正方形面积． 【答案】(1)； (2) (3)的度数为，正方形面积 【分析】（1）利用旋转的性质和全等三角形的性质可得，为等边三角形，，，再根据全等三角形的性质和勾股定理逆定理可得为直角三角形，进而求解即可． （2）根据所对的直角边为斜边的一半，可得，利用勾股定理可得，从而求得，进而利用勾股定理可得． （3）将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，过点作，交的延长线于点，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得；然后可推出为等腰直角三角形，求得，最后同（2）可得，即可求出正方形面积． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点按顺时针方向旋转，使与重合，得到，过点作，交的延长线于点，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，， 即， ∴， 综上，的度数为，正方形面积． 【变式1】（25-26八年级下·海南海口·期中）综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）综合与探究 在中，的角度记为． (1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______； (2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由； (3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质得，再证是等边三角形可得，然后证明可得、，最后根据角的和差即可解答； （2）同（1）的方法证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）由（2）可得，从而得，进而得到；过A作于F，分两种情况求得,再根据勾股定理以及全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由论证（2）可知，， ∴， ∴， 由，可知共有两种情况，如图，，过A作于F， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∵，即， ∴； 在中，由勾股定理得，， ∵， 即 ∴； 综上所述，的长为或． 平行四边形解答题压轴之动点问题 【例37】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在中，，，点为线段上一点，连接． (1)如图，若，线段的长为________； (2)将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，， ①求在运动过程中的度数； ②在运动过程中线段扫过的面积为________； (3)当时，取的中点，连接并延长，与交于点，判断线段、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①或② (3) 【分析】（1）过点作于点，在中利用勾股定理可求的长； （2）①过点作于点，过点作于点，可得≌，再通过等量代换得到，从而得到当时；当时；当时，； ②找到点的起始位置，就找到了扫过的图形是一个腰为的等腰直角三角形，因此面积可求； （3）连接，过点作于点，由≌，可得，由得是等腰直角三角形，可得， 由（2）≌，因而，最后可得. 【详解】（1）解：过点作于点， ∴ ∵，， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴， ∵中，， ∴； （2）解：①过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， 当时，重合，， 当时，， ∴， ②∵线段扫过的图形是边长为的等腰直角三角形， ∴， （3） 证明：∵为的中点， ∴， ∵，， ∴≌， ∴， 由（2）可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴即：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，关键是知识点的灵活应用. 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： (1)劳动菜园的面积为______； (2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； (3)数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，在中，过点B作于点H，求出，得到，即可得到答案； （2）连接，证明，由得到，即可得到答案； （3）构造平行四边形，连接，过E作于F．证明四边形为平行四边形，证明，则点D到的距离等于点B到的距离，，由（1）可知，点D到的距离等于8，则，在中，，则，当A，M，E三点共线时，，此时取最小值．进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，过点B作于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴公园的面积为； （2）连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴种植草莓区域的面积为． （3）构造平行四边形，连接，过E作于F． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离等于点B到的距离， 由（1）可知，点D到的距离等于8， ∵， ∴， 在中，， ∴， 当A，M，E三点共线时，，此时取最小值． ∴在中，， 由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $