精品解析：山东青岛市胶州市瑞华实验初级中学2025-2026学年 八年级下学期第二次诊断性检测数学试题

八年级下册第二次诊断性检测数学试题 （考试时间为90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列变形中是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的定义，分解因式是将多项式化为几个整式的积的形式，据此求解即可． 【详解】A选项右边为，含加法运算“”，不符合积的形式，不符合题意． B选项左边是乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非分解因式，不符合题意． C选项左边为单项式，分解为两个单项式的积，但分解因式针对的是多项式，故不符合题意． D选项左边为多项式，右边为两个整式的积，符合分解因式的定义， 故选D． 2. 判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A. ﹣m2+4 B. ﹣x2–y2 C. x2y2﹣1 D. （m﹣a）2﹣（m+a）2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式：进行逐一求解判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式． 3. 无论x取何值，下列分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不为0即可判断； 【详解】A、当x=0时，分式 的分母为0，所以该分式无意义，故该选项错误； B、当时，分式的分母为0，所以该分式无意义，故该选项错误； C、当 时，分式的分母为0，所以该分式无意义，故该选项错误； D、在中，无论x取何值，分母 都不为0，所以该分式有意义，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确掌握知识点是解题的关键． 4. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】将3x， 3y分别代入分式中的x， y得，因此扩大到原来的3倍， 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义即可判断. 【详解】A. 还有公因式4，不是最简分式； B. 还有公因式a，不是最简分式； C. 没有公因式，是最简分式； D. =还有公因式，不是最简分式； 故选C. 【点睛】此题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式. 6. 若a＋b＝6，ab＝3，则3a2b＋3ab2的值是（ ） A. 9 B. 27 C. 19 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】将3a2b＋3ab2因式分解,代入数值即可求解. 【详解】解：3a2b＋3ab2=3ab(a+b), ∵a＋b＝6，ab＝3， ∴ 原式=36=54. 故选D. 【点睛】本题考查了整式的化简求值,属于简单题,因式分解是解题关键. 7. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果不含有因式，符合题意； 8. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找准等量关系，分别求出原计划和提速后的完成时间，再根据提前5天的条件列出方程． 【详解】解：∵总订单量为件，原计划每天做件， ∴原计划完成时间为天． ∵设每天多做件， ∴提速后每天做件，提速后完成时间为天． ∵要求提前天交货，即原计划时间比提速后时间多天， ∴列出方程得． 9. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】首先去分母，计算出，再根据解是非负数可得， ，进而可得，再解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵解是非负数， ∴，∴， ∴， 又∵， ∴，∴， ， ∴，且， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，关键是注意分式方程有解时，最简公分母不为零． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分式，当______时分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，需满足分子等于零且分母不等于零，先求解使分子为零的的值，再舍去使分母为零的值，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为零，则需满足 且， 解，，解得或， 解，因式分解得 ，解得， ∴． 12. 已知：a+=5，则= ______． 【答案】24 【解析】 【分析】给已知式子两边平方，利用完全平方公式展开求得，再将所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】∵a+=5， ∴=25，即， ∴， ∴==23+1=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式，解答的关键是灵活运用完全平方公式，利用整体思想解决问题． 13. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，，， 根据完全平方公式的结构特征可得， 解得或． 14. 若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的定义确定增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 关于的分式方程有增根， ，即增根为， 把代入得：， 解得． 15. 已知，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 16. 若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（共72分，计算题每小题4分） 17. 分解因式或计算 （1） （2） （3）计算： （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 分式计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 解方程： （1） （2） （3）先化简：，并在，1，3三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）（2）先去分母转化为整式方程，求解后检验分母是否不为0； （3）先通分，再因式分解约分，选取使所有分母不为0的值代入计算． 【小问1详解】 解：解方程， 方程两边同乘去分母得：， 去括号得， 移项合并得， 系数化为1得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：解方程， 原方程变形为， 方程两边同乘去分母得：， 去括号得， 移项合并得， 系数化为1得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； 【小问3详解】 解： ， 根据分式有意义的条件，得且， 即且， 因此选取代入， 当时，原式． 20. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求 的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用和非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）利用公式法和非负数的性质计算即可； （3）先将原式变形为，再利用非负数的性质计算出a，b，c,即可计算出的周长． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， ， ， 多项式的最小值为． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，，， ，，， 的周长． 21. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 【答案】（1）购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元 （2）该公司最少可以购进10个甲种机器人 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个．再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元． 由题意，得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， ∵m为整数， ∴m的最小值为10． 答：该公司最少可以购进10个甲种机器人． 22. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 【答案】（1）型激光雷达传感器的单价是600元，型激光雷达传感器的单价是1000元 （2）购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个，总费用最少，总费用最少是18000元． 【解析】 【分析】（1）设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设购进型激光雷达传感器个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。 【小问1详解】 解：设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元． 由题意得 解得 经检验，是原方程的解 （元） ∴型激光雷达传感器的单价是元，型激光雷达传感器的单价是元． 【小问2详解】 解：设购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个． 由题意得 解得 设总费用为元 ∵ ∴随的增大而减小 ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为元 （个） ∴购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个时，总费用最少． 总费用最少是元． 23. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； （2）如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 【答案】（1）真分式， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的真分式与假分式定义判断的类型，再对假分式拆分子变形，化为带分式形式； （2）先将假分式化为带分式，根据分式值为整数，得到为整数，结合为整数，找出的所有可能整数值，求解得到即可． 【小问1详解】 解：根据题意，分式中，分子次数为，分母次数为，，因此是真分式；； 【小问2详解】 解：， 分式的值为整数，为整数， 为整数，即是的因数， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此满足条件的整数的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册第二次诊断性检测数学试题 （考试时间为90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列变形中是分解因式的是（ ） A. B. C. D 2. 判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A ﹣m2+4 B. ﹣x2–y2 C. x2y2﹣1 D. （m﹣a）2﹣（m+a）2 3. 无论x取何值，下列分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将分式中x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 5. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若a＋b＝6，ab＝3，则3a2b＋3ab2的值是（ ） A. 9 B. 27 C. 19 D. 54 7. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分式，当______时分式的值为零． 12. 已知：a+=5，则= ______． 13. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 14. 若关于x的方程有增根，则m的值为______． 15. 已知，则实数______． 16. 若将多项式因式分解得，则的值为______． 三、解答题（共72分，计算题每小题4分） 17. 分解因式或计算 （1） （2） （3）计算： （4） 18. 分式计算 （1） （2） （3） （4） 19 解方程： （1） （2） （3）先化简：，并在，1，3三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值． 20. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足，求 的周长． 21. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 22. 科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． （1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ （2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 23. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； （2）如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $