四川省成都市武侯区棕北中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 这份八年级下期期中数学试卷，通过基础题与综合题的梯度设计，覆盖轴对称、因式分解、旋转等核心知识，融入实际应用与几何构造，考查运算能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称与中心对称、不等式性质、分式意义|基础概念辨析，如第1题结合图形考查对称性| |填空题|10题40分|因式分解、点平移、旋转性质|如第9题提公因式与平方差公式综合应用| |解答题|8题78分|配方法、旋转全等、函数应用|17题配方法解决最值与三角形边长问题，24题旅游费用函数模型体现应用意识，25题旋转构造全等考查推理能力|

2025-2026学年四川省成都市武侯区棕北中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若m＞n，则下列各式不正确的是（　　） A．m﹣4＞n﹣4 B．m2＞mn C． D．n﹣m＜0 3．（4分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠5 B．x＞5 C．x≠﹣5 D．x＞﹣5 4．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab2+a＝a（b+1） D．4m2+4m+1＝（2m+1）2 5．（4分）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BF＝10cm，那么平移的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 6．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 7．（4分）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（4分）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）把4a3﹣9a因式分解的结果是　 　 ． 10．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为 　 　 ． 11．（4分）关于x的不等式3x﹣2＞0的最小整数解为　 　 ． 12．（4分）将点A（1，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 　 　 ． 13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，C的对应点分别是点E，D，连接DC交AE于点F，．若DE∥AC，则AB的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14．（12分）（1）计算：（x+2）（x+4）+x2﹣4； （2）解不等式组：． 15．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，1 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度（0，1）、B（﹣2，﹣2）、C（1，﹣2），点B、C分别与点B′、C′对应． （1）请在图中画出△AB′C′； （2）求在旋转过程中线段AC所扫过图形的面积．（结果保留π） 17．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式求最值与因式分解． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2022的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 18．（10分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PC＝5，求∠APB的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中∠APB的度数等于　 　 ．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PD＝． （2）求∠APB的度数； （3）求正方形的边长． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）已知（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则x﹣y＝　 　 ． 20．（4分）已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）．若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　 　 ． 21．（4分）若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，的值为整数　 　 ． 22．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AC边的中点，E为BC边上的动点．连接DE，若点E的对应点G恰好落在AB上，则的值为　 　 ． 23．（4分）在坐标平面中，分段函数的图象上有三点P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），满足m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3．若存在y1＜y3＜y2，则m的值范围是　 　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为500元的两家旅行社．经协商，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费y1（元）、y2（元）关于x的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 25．（10分）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE （1）当点A在线段DF的延长线上时， ①求证：DA＝CE； ②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数． 26．（12分）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°能得到线段PB （1）在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣3，1）关于原点O的“旋垂点”是　 　 ； （2）如图2，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，两直角边分别交OA、OB于点M、N，试说明：点N是点M关于点P的“旋垂点”； （3）如图3，直线y＝kx+3与x轴交于点P，与y轴交于点Q（m，n），若点P在x轴上，且0＜OP＜3，求k的取值范围． 2025-2026学年四川省成都市武侯区棕北中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形， B是轴对称图形，也是中心对称图形， C不是轴对称图形，但它是中心对称图形， D是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：B． 2．（4分）若m＞n，则下列各式不正确的是（　　） A．m﹣4＞n﹣4 B．m2＞mn C． D．n﹣m＜0 【分析】注意不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、∵m＞n，故不符合题意； B、∵m＞n，n＜02＝mn＝2，故m2＞mn不成立，故符合题意； C、∵m＞n，∴，∴； D、∵m＞n，∴n﹣m＜5； 故选：B． 3．（4分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠5 B．x＞5 C．x≠﹣5 D．x＞﹣5 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为零，进行列不等式求解，即可作答． 【解答】解：根据分式有意义的条件，分母不能为零可得： x+5≠0， ∴x≠﹣4， 故选：C． 4．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．ab2+a＝a（b+1） D．4m2+4m+1＝（2m+1）2 【分析】根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A．（x+4）（x﹣4）＝x3﹣16，是整式的乘法运算； B．x2+2x+5＝x（x+2）+1，等号右边不是积的形式； C．ab2+a＝a（b2+1），不符合因式分解的定义； D．7m2+4m+7＝（2m+1）7，符合因式分解的定义； 故选：D． 5．（4分）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BF＝10cm，那么平移的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 【分析】根据图形可知，平移的距离为线段BE的长度，然后根据BF＝10cm，EC＝6cm，即可得到BE的长． 【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上）， ∴BE＝CF， ∵BF＝10cm，EC＝6cm， ∴BE＝（10﹣6）÷3＝2（cm）， 即平移的距离为2cm， 故选：A． 6．（4分）若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+6）， ∴x2+ax+b＝（x﹣2）（x+5）＝x2+x﹣6， 故a＝2，b＝﹣6， 故选：A． 7．（4分）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题先求解一元一次不等式得到解集，再根据非负整数的定义找出解集中所有符合条件的数，统计个数即可求解． 【解答】解：由题意，∵， ∴， ∴满足题意的非负整数解有：0，5，2，3，共8个． 故选：C． 8．（4分）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为﹣1，即可得到当y1＜y2时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣6， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）把4a3﹣9a因式分解的结果是a（2a﹣3）（2a+3）　 ． 【分析】先提取公因式a，再对余下的二次式应用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（4a2﹣8） ＝a[（2a）2﹣（3）5] ＝a（2a﹣3）（8a+3）． 故答案为：a（2a﹣4）（2a+3）． 10．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为 　1　 ． 【分析】根据分式的值为零的条件解决此题． 【解答】解：如果分式的值为0， 则， 解得：x＝1． 故答案为：1． 11．（4分）关于x的不等式3x﹣2＞0的最小整数解为　1　 ． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：3x﹣2＞5， 3x＞2， x＞， ∴它的最小整数解为：1， 故答案为：3． 12．（4分）将点A（1，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 　（﹣2，2）　 ． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：点A（1，﹣3）向左平移8个单位长度，得到点A′的坐标是（1﹣3， 即（﹣8，2）． 故答案为：（﹣2，5）． 13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，C的对应点分别是点E，D，连接DC交AE于点F，．若DE∥AC，则AB的长为　　 ． 【分析】过点F作FH⊥AD于点H，设FH＝x，则HD＝x，，，求得，，根据题意得到方程，据此求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 如图，过点F作FH⊥AD于点H， 根据旋转的性质，得AD＝AC，∠ADE＝∠ACB＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴， ∵∠B＝60°， ∴∠E＝60°， ∴∠DAE＝30°， 设FH＝x，则HD＝x，，， ∴，， ∴， 解得x＝5， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14．（12分）（1）计算：（x+2）（x+4）+x2﹣4； （2）解不等式组：． 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可； （2）解各不等式后求得它们解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式＝x2+4x+5x+8+x2﹣7 ＝2x2+6x+4； （2）解第一个不等式得：x＞1， 解第二个不等式得：x≤5， 故原不等式组的解集为1＜x≤4． 15．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，1 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将x＝﹣1代入求值即可． 【解答】解： ＝ ＝． ∵x≠1，2，﹣2， ∴当x＝﹣1时， 原式＝． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度（0，1）、B（﹣2，﹣2）、C（1，﹣2），点B、C分别与点B′、C′对应． （1）请在图中画出△AB′C′； （2）求在旋转过程中线段AC所扫过图形的面积．（结果保留π） 【分析】（1）根据旋转的性质，找到B、C的对应点B′、C′，画出△AB′C′，即可求解． （2）扫过的是以点A为圆心，以AC为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB′C′如图所示； （2）∵A（0，1），﹣4），﹣2）， ∴， ∴线段AC所扫过的图形的面积为． 17．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式求最值与因式分解． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2022的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 【分析】（1）配方法分解因式，将原式凑成完全平方差形式：x2+2x﹣8＝（x2+2x+1）﹣9＝（x+1）2﹣32，再用平方差公式分解为（x+4）（x﹣2）． （2）求多项式最小值，通过配方转化为平方加常数：x2+4x﹣2022＝（x2+4x+4）﹣2026＝（x+2）2﹣2026，利用平方非负性，得最小值为﹣2026； （3）求三角形周长移项后配方：a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，由非负性得a＝3、b＝4、c＝5，周长为3+4+5＝12． 【解答】解：（1）x2+2x﹣2 ＝x2+2x+4﹣9 ＝（x+1）6﹣9 ＝（x+1+2）（x+1﹣3） ＝（x+4）（x﹣2）； （2）x2+6x﹣2022 ＝（x2+4x+5）﹣2026 ＝（x+2）2﹣2026，  因为（x+7）2≥0， 所以（x+8）2﹣2026≥﹣2026， 当x＝﹣2时，多项式取得最小值﹣2026． （3）已知a，b，c是△ABC的三边长6+b2+c2+50＝5a+8b+10c， 即a2+b8+c2+50﹣6a﹣5b﹣10c＝0， 即（a﹣3）8+（b﹣4）2+（c﹣8）2＝0， 因为平方数具有非负性， 所以a﹣5＝0，b﹣4＝3， 解得a＝3，b＝4， △ABC的周长为2+4+5＝12． 18．（10分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PC＝5，求∠APB的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中∠APB的度数等于　150°　 ．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PD＝． （2）求∠APB的度数； （3）求正方形的边长． 【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质可得P′A＝PA，P′C＝PB，∠PAP′＝60°，证出△APP′是等边三角形，由等边三角形的性质求出PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C＝90°，求出∠AP′C，即为∠APB的度数； （2）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质可得P′A＝PA，P′D＝PB，∠PAP′＝90°，证出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D＝90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数； （3）求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求出AE＝PE＝PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB即可． 【解答】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， 由旋转的性质，P′A＝PA＝3，∠PAP′＝60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝PA＝4，∠AP′P＝60°， ∵PP′2+P′C2＝72+43＝25，PC2＝53＝25， ∴PP′2+P′C2＝PC3， ∴∠PP′C＝90°， ∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°； 故∠APB＝∠AP′C＝150°； 故答案为：150°． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′， 由旋转的性质，P′A＝PA＝2，∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形， ∴PP′＝PA＝4， ∵PP′5+P′D2＝48+12＝17，PD3＝（）2＝17， ∴PP′2+P′D6＝PD2， ∴∠PP′D＝90°， ∴∠AP′D＝∠AP′P+∠PP′D＝45°+90°＝135°， 故∠APB＝∠AP′D＝135°， （3）∵∠APB+∠APP′＝135°+45°＝180°， ∴点P′、P、B三点共线， 过点A作AE⊥PP′于E， 则AE＝PE＝PP′＝， ∴BE＝PE+PB＝7+1＝3， 在Rt△ABE中，AB＝＝＝． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）已知（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则x﹣y＝　1　 ． 【分析】运用公式法分解因式即可得到结果． 【解答】解：∵（x﹣y）2﹣2x+8y+1＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）6＝0， ∴x﹣y﹣1＝6． ∴x﹣y＝1． 故答案为：1． 20．（4分）已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）．若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　﹣1＜n≤0　 ． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：2x﹣n＜3（x+6）， 解得：x＞﹣n﹣3， ∵该不等式的负整数解有且只有2个， ∴﹣4≤﹣n﹣3＜﹣2， 解得：﹣5＜n≤0， 故答案为：﹣1＜n≤4． 21．（4分）若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，的值为整数　6　 ． 【分析】根据题意，先求出不等式组的解集，再根据1+的值为整数，得到a的值，从而求出符合条件的a的取值的和即可． 【解答】解：∵不等式组有解， ∴解得， ∵不等式组至多3个整数解， ∴0＜＜4， ∴﹣2＜a＜13， ∵＝3+， ∴a+7为±1，±2，±3， 解得a为0，﹣2，3，2，﹣4，6， 综上知符合条件的a为﹣2，0，6，2，5， ∴符合条件的所有整数a的和为4，  故答案为：6． 22．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为AC边的中点，E为BC边上的动点．连接DE，若点E的对应点G恰好落在AB上，则的值为　　 ． 【分析】过点D作DM⊥AC交AB于点M，则∠ADM＝∠CDM＝90°，根据旋转的性质及等腰三角形的性质，证明△CDE≌△MGD（AAS），利用含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥AC交AB于点M， ∵AC＝BC，∠B＝30°， ∴∠C＝120°，∠A＝∠B＝30°， ∴∠1+∠2＝30°， ∵将线段DE绕点D顺时针旋转30°得到DG， ∴∠EDG＝30°， ∴∠3+∠3＝30°， ∴∠2＝∠5， ∵∠ADM＝90°， ∴∠DMG＝120°＝∠C， 在△CDE和△MGD中， ， ∴△CDE≌△MGD（AAS）， ∴DM＝CE，CD＝MG， 设DM＝a，则DM＝CE＝a， 在Rt△ADM中，∠A＝30°， ∴AM＝7a，AD＝a， ∵D为AC边的中点， ∴AD＝CD＝a， ∴MG＝CD＝a， ∵∠C＝120°，AC＝BC， ∴AB＝6a， ∴BG＝AB﹣AM﹣MG＝（4﹣）a， ∴＝， 故答案为：． 23．（4分）在坐标平面中，分段函数的图象上有三点P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），满足m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3．若存在y1＜y3＜y2，则m的值范围是　＜m＜　 ． 【分析】根据分段函数的表达式，分析函数在不同区间上的单调性，再结合已知条件确定m的取值范围． 【解答】解：结合题意， 函数的单调性： 当时， y＝3x， ∵2＞0， ∴y＝7x在上单调递增． 当时， y＝﹣x+8， ∵﹣5＜0， ∴y＝﹣x+8在上单调递减． 已知m＜x1＜m+8，m+1＜x2＜m+4m+2＜x3＜m+3，且存在y1＜y3＜y4． ∵y＝2x在（﹣∞，）上单调递增， y＝﹣x+8在上单调递减， ∴要使y1＜y3＜y7成立， 则x1，x2，x3需满足x1＜x2＜x4，且x2在x＝的左侧，x3在x＝的右侧， 即． 解不等式， 移项可得， 即．解不等式， 移项可得，即． 因此，m的取值范围是． 故答案为：＜m＜． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为500元的两家旅行社．经协商，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费y1（元）、y2（元）关于x的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 【分析】（1）根据甲旅行社的收费＝两名家长的全额费用+学生的七折费用，可得到y1与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费＝两名家长的八折费用+学生的八折费用，可得到y2与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①y1＞y2，②y1＝y2，③y1＜y2，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【解答】解：（1）由题意，有 y1＝500×2+500×8.7x，即y1＝350x+1000， y2＝（2+x）×500×0.4，即y2＝400x+800； （2）由y1＞y8，得350x+1000＞400x+800， 解得x＜4， 所以0＜x＜3． 由y1＝y2，得350x+1000＝400x+800， 解得x＝4； 由y1＜y2，得350x+1000＜400x+800， 解得x＞4． 所以当0＜x＜4时，选择乙旅行社费用较少； 当x＝5时，甲、乙两家旅行社的收费相同； 当x＞4时，选择甲旅行社费用较少． 25．（10分）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE （1）当点A在线段DF的延长线上时， ①求证：DA＝CE； ②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数． 【分析】（1）①根据旋转变换的性质、等边三角形的性质证明△BAD≌△BEC，根据全等三角形的性质证明； ②根据全等三角形的性质解答； （2）分点A在线段DF的延长线上、点A在线段DF上、点A在线段FD的延长线上三种情况，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°， 在等边△BCD中，DB＝BC， ∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA， ∵∠CBE＝60°+∠FBA， ∴∠DBA＝∠CBE， ∴△BAD≌△BEC， ∴DA＝CE； ②∠DEC+∠EDC＝90°， ∵DB＝DC，DA⊥BC， ∴， ∵△BAD≌△BEC， ∴∠BCE＝∠BDA＝30°， 在等边△BCD中，∠BCD＝60°， ∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠EDC＝90°； （2）分三种情况考虑： ①当点A在线段DF的延长线上时， 由（1）可得，△DCE为直角三角形， ∴∠DCE＝90°，当∠DEC＝45°时， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CD＝CE， 由（1）得DA＝CE， ∴CD＝DA， 在等边△DBC中，BD＝CD， ∴BD＝DA＝CD， ∴∠BDC＝60°， ∵DA⊥BC， ∴， 在△BDA中，DB＝DA， ∴， 在△DAC中，DA＝DC， ∴， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．； ②当点A在线段DF上时， ∵以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°， 在等边△BDC中，BD＝BC， ∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC， ∴△DBA≌△CBE， ∴DA＝CE， 在Rt△DFC中，∠DFC＝90°， ∴DF＜DC， ∵DA＜DF，DA＝CE， ∴CE＜DC， 由②可知△DCE为直角三角形， ∴∠DEC≠45°． ③如图，当点A在线段FD的延长线上时， 同第②种情况可得△DBA≌△CBE， ∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB， 在等边△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°， ∵DA⊥BC， ∴， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°， ∴∠ECB＝∠ADB＝150°， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°， 当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CD＝CE， ∴AD＝CD＝BD， ∵∠ADB＝∠ADC＝150°， ∴，， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°， 综上所述，∠BAC的度数为150°或30°． 26．（12分）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°能得到线段PB （1）在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣3，1）关于原点O的“旋垂点”是　（﹣1，﹣3）　 ； （2）如图2，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，两直角边分别交OA、OB于点M、N，试说明：点N是点M关于点P的“旋垂点”； （3）如图3，直线y＝kx+3与x轴交于点P，与y轴交于点Q（m，n），若点P在x轴上，且0＜OP＜3，求k的取值范围． 【分析】（1）根据“旋垂点”的定义作出点S'，证明△SCO≌△ODS'可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明PM＝PN，根据“旋垂点”可得结论； （3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，根据一次函数与坐标轴的交点计算Q（0，3），P（﹣，0），得OQ＝3，OP＝﹣（k＜0），根据条件列不等式组可得结论． 【解答】解：（1）如图1，作点S（﹣3，过S作SC⊥y轴于C，则∠SCD＝∠ODS'＝90°， ∴SC＝4，OC＝1， 由定义得：OS＝OS'，∠SOS'＝90°， ∴∠SOC+∠DOS'＝90°，∠SOC+∠S＝90°， ∴∠S＝∠DOS'， ∴△SCO≌△ODS'（AAS）， ∴SC＝OD＝3，OC＝DS'＝5， ∴S'（﹣1，﹣3）， 即点S（﹣4，1）关于原点O的“旋垂点”是（﹣1， 故答案为：（﹣7，﹣3）； （2）如图2，过点P作PG⊥OA于G， ∵OC平分∠AOB， ∴PG＝PH， ∵∠AOB＝∠PGO＝∠PHO＝90°， ∴∠GPH＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠GPM＝∠HPN， ∴△PGM≌△PHN（ASA）， ∴PM＝PN， ∴点N是点M关于点P的“旋垂点”； （3）∵点Q关于点P的“旋垂点”记为点T（m，n）， ∴PQ⊥PT，PQ＝PT， 如图4，过点T作TE⊥x轴于E， 当x＝0时，y＝3，kx+8＝0， ∴Q（7，3），6）， ∴OQ＝3，OP＝﹣， 由（1）同理得：△QOP≌△PET（AAS）， ∴PE＝OQ＝8， ∴OP＝3﹣OE＝3﹣（﹣m）＝2+m， ∴m＝OP﹣3， ∵0＜OP＜6，点T的横坐标m满足﹣2＜m≤﹣1， ∴， 由①得：k＜﹣1， 由②得：﹣3＜k≤﹣， ∴不等式组的解集为：﹣3＜k≤﹣． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/7 8:21:14；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $