福建省厦门市湖里区高新学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 以洛书幻方、地铁积分等文化与现实情境为载体，通过基础计算、几何推理及跨学科应用，全面考查七年级下册实数、坐标、方程组及平行线等核心知识，注重数学眼光与思维的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数比较（1）、坐标变换（2）、角的关系（3）、反例判断（5）|以“马炮坐标”（2）、“手指构成角”（3）创设具象情境| |填空题|6/24|点到轴距离（11）、方程变形（12）、光的反射（16）|结合矩阵表示方程组（15）渗透符号意识| |解答题|9/86|方程组应用（21）、平移作图（20）、折纸证平行（24）|地铁积分（23）体现模型意识，种植园划分（19）强化应用能力| |附加题|1/10|数字规律探究|科技节卡片问题（26）培养创新思维|

2025-2026学年福建省厦门市湖里区高新学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（4分）在实数﹣2.23，，，3中，最小的数是（　　） A． B．﹣2.23 C． D．3 2．（4分）如图，若以棋子“马”为原点，则棋子“炮”的坐标为（2，﹣1），则棋子“马”的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（2，1） 3．（4分）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 4．（4分）下列从左到右的变形中，正确的是（　　） A．＝±9 B．﹣＝﹣0.6 C．＝﹣10 D．＝﹣ 5．（4分）对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝﹣3，b＝﹣4 6．（4分）小新在解关于x，y的二元一次方程组时，解得（　　） A．﹣1和3 B．3和﹣1 C．5和1 D．1和5 7．（4分）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿BC方向射入水中．如果∠1＝80°，那么光的传播方向改变了（　　） A．39° B．41° C．80° D．100° 8．（4分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，点E在AB，CD之间的一条平行线上，∠2＝65°，则∠BEC的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 9．（4分）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，则x+y的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（4分）如图，在锐角三角形ABC，∠BAC＝60°，B，C的对应点分别是点A′，B′，连接AC′，若在整个平移过程中，则∠ACA′的度数不可能为（　　） A．20° B．40° C．80° D．120° 二．填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）点M（2，﹣3）到x轴的距离是 　 　 ． 12．（4分）已知二元一次方程3x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． 13．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，则∠BOE的度数为 　 　 ． 14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为 　 　 ． 15．（4分）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，在《九章算术》中记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就用矩阵表示．例如：对于二元一次方程组，y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，则得到矩阵，用加减消元法可以消去y时，我们要用加减消元法消去x，得到的矩阵是 　 　 ． 16．（4分）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；当光线照射到镜面上时，会遵循“入射角γ等于反射角i”（若垂直入射，则光线原路返回）．如图2，小弘同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上；小豪用激光笔发出的光束DG射到平面镜上，反射光束GH与天花板所形成的∠PHG（记为β）（直线EF）的夹角∠EPG＝40°． （1）当α＝45°时，β＝　 　 °； （2）当60°＜α＜65°时，β的取值范围是　 　 ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）计算与解方程： （1）； （2）9（x﹣1）2＝4； （3）． 18．（6分）如图，线段BC是某个时刻太阳光（平行光线）下教学楼AB的影子． （1）画出同一时刻旗杆EF的影子DF（用线段表示，要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠ACB＝65° 19．（8分）厦门高新学校高中部校区拟设置一块面积为196m2的正方形ABCD种植园，用于开展劳动实践活动． （1）裁剪育苗牌 用一块面积为196cm2的正方形纸板制作长方形育苗牌，要求长方形长与宽的比为2：1．并且面积为100cm2．能否从这块正方形纸板上裁出符合比例的长方形育苗牌？请通过计算说明理由． （2）划分种植区域 拟将该种植园分成两个长方形区域，分别种植A，B两种作物．已知A、B两种作物单位面积产量比为1：2．要求划分后A、B总产量之比为2：3．若沿一边垂直划分，通过计算说明你的划分方案． 20．（8分）已知三角形A1B1C1是由三角形ABC经过平移得到的，其中A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形ABC A（0，0） B（﹣1，2） C（2，5） 三角形A1B1C1 A1（a，2） B1（4，b） C1（7，c） （1）观察表中各对应点坐标的变化，填空a＝　 　 ，b＝　 　 ；c＝　 　 ； （2）在图中的平面直与角坐标系中画出三角形A1B1C1； （3）若点M（x，y）是三角形ABC内任意一点，写出其平移后的对应点M1的坐标，并求出平行四边形AA1B1B的面积． 21．（8分）厦门高新学校计划组织400名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的暑期研学活动．已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 22．（8分）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，连接BC、BM、CM，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠DCB． （1）求证：BM⊥CM； （2）若∠AMB：∠CMD＝2：3，求∠MBC的度数． 23．（12分）厦门地铁为倡导低碳出行，推出绿色积分累计功能，根据用户使用厦门地铁App购票乘车消费金额和每日签到可获取绿色积分并累计 ①使用厦门地铁App刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行绿色积分累计； ②每日可在厦门地铁App签到一次，每次签到可累计增加10绿色积分； ③每满100绿色积分可折算成1元的地铁票价． 已知高大新每天从家里到单位都选择路线一出行：地铁8站（票价4元）+电动车骑行4km． （1）若高大新连续五天都选择路线一上、下班，并且每日签到，求这五天共累计获得的绿色积分可折算的地铁票价． （2）已知高大新按照路线一出行的单程总碳排放量为1040g，按照路线二：地铁9站（票价4.6元）+电动车骑行3km的单程总碳排放量为1080g．假设地铁每站碳排放量相同，高大新预估乘坐地铁每站的单程碳排放量在90～100（g），骑电动车每千米的单程碳排放量在70～80（g） （3）在路线一的出行中，受路况影响，高大新骑行距离与乘坐站数会小幅波动．已知：高大新乘坐地铁3站及电动车骑行2千米的单程总碳排放量介于420～480（g）（g）．请根据以上数据测算高大新按照路线一出行的单程总碳排放量的范围． 24．（12分）在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线AB，过点P作直线与AB平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有45°角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与AB重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，画直线PF∥AB，这样做的依据是：　 　 ； 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点P折叠纸片，使得点A的对应点A落在直线AB上（如图3），记折痕DE与AB的交点为C，则∠PCA的度数为　 　 ； （3）第二步：再过点P将纸片进行折叠，使得点D的对应点D′落在直线DE上（如图4），记折痕为FG（如图5），则得到直线PF∥AB．请你根据以上折纸过程，证明：PF∥AB． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线PF，使得PF∥AB．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（2，3），C（0，c），a． （1）如图1，点A的坐标为 　 　 ；点C的坐标为 　 　 ． （2）如图1，已知坐标轴上有两个动点P、Q，点P从O点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动，设运动时间为t（t＞0）秒．当三角形BCQ的面积与三角形ABP的面积之和等于7时 （3）如图2，过点B作x轴的平行线BN，点P是线段BC上一个动点（不与B、C重合），PE平分∠OPB，OF平分∠AOP交BN于点D，问的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，请说明理由． 四．附加题：本题共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案不得分。 26．在厦门高新学校科技节游园会上，高小新准备了五张完全相同的卡片，从1﹣9的自然数中随机选择一个数字（可以重复），将它们正面向下放在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个（从小到大依次写出）． 2025-2026学年福建省厦门市湖里区高新学校七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（4分）在实数﹣2.23，，，3中，最小的数是（　　） A． B．﹣2.23 C． D．3 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵＜﹣2.23＜， ∴最小的数是：． 故选：A． 2．（4分）如图，若以棋子“马”为原点，则棋子“炮”的坐标为（2，﹣1），则棋子“马”的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【分析】根据“马”为原点时“炮”的坐标，直接推出“炮”为原点时“马”的坐标． 【解答】解：已知以“马”为原点时，“炮”的坐标为 （2，说明： 从“马”到“炮”，向右移动 2 个单位， 因此，以“炮”为原点时，向上移动 5 个单位（y轴取反）， ∴“马”的坐标为 （﹣2，1）， 故选：A． 3．（4分）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案． 【解答】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角． 故选：C． 4．（4分）下列从左到右的变形中，正确的是（　　） A．＝±9 B．﹣＝﹣0.6 C．＝﹣10 D．＝﹣ 【分析】依据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可． 【解答】解：A、＝9； B、因为0.52＝0.36，故B错误； C、＝＝10； D、＝﹣． 故选：D． 5．（4分）对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝﹣3，b＝﹣4 【分析】将选项逐一代入题设中进行验证即可． 【解答】解：A．a+b＝7＞0，故A选项不符合题意； B．a+b＝5＞0，故B选项不符合题意； C．a+b＝﹣1，但不满足“a＜7，故C选项是题设命题的反例； D．a+b＝﹣7，也满足“a＜0，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．（4分）小新在解关于x，y的二元一次方程组时，解得（　　） A．﹣1和3 B．3和﹣1 C．5和1 D．1和5 【分析】将x＝4代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求Δ． 【解答】解：∵是二元一次方程组， ∴将x＝4代入7x﹣3y＝5，得3×4﹣3y＝7， 解得：y＝1，即？＝1， 将y＝2，x＝4代入x+y＝Δ， 得：Δ＝4+3＝5， 故Δ和？代表的数分别是5和3， 故选：C． 7．（4分）如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿BC方向射入水中．如果∠1＝80°，那么光的传播方向改变了（　　） A．39° B．41° C．80° D．100° 【分析】利用平行线的性质得出∠MBC＝∠1＝80°，根据对顶角相等得出∠MBD＝∠2＝39°，进而求出∠DBC的度数，即可得解． 【解答】解：∵MN∥EF， ∴∠CBM＝∠1＝80°， ∵∠DBM＝∠2＝39°， ∴∠CBD＝∠MBC﹣∠MBD＝41°， ∴光的传播方向改变了41°， 故选：B． 8．（4分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，点E在AB，CD之间的一条平行线上，∠2＝65°，则∠BEC的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】根据两直线平行，内错角相等，求出∠BEF＝30°，∠FEC＝65°，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【解答】解：如下图所示， ∵AB∥EF，∠1＝30° ∴∠BEF＝∠1＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥CD，∠8＝65°， ∴∠FEC＝∠2＝65°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝30°+65°＝95°， 故选：D． 9．（4分）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，则x+y的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于x，y的二元一次方程，化简后，即可得出x+y的值． 【解答】解：根据题意得：4+5＝x+y， ∴x+y＝2． 故选：D． 10．（4分）如图，在锐角三角形ABC，∠BAC＝60°，B，C的对应点分别是点A′，B′，连接AC′，若在整个平移过程中，则∠ACA′的度数不可能为（　　） A．20° B．40° C．80° D．120° 【分析】根据△ABC的平移过程，分点B在BC上和点B在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A'B'，根据平行线的性质得到∠ACA'∠ACG、∠A'CG之间的等量关系，列出方程求解即可． 【解答】解：如图1，当点B'在BC上时． ∵三角形A'B'C'由三角形ABC平移得到， ∴AB∥A'B'， ∵CG∥AB，AB∥A'B'， ∴CG∥A'B'， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，， 设∠CA'B'＝x，则∠ACA'＝6x． ∵CG∥AB，CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝60°， ∠A'CG＝∠CA'B'＝x． ∵∠ACG＝∠ACA'+∠A'CG， ∴2x+x＝60°， 解得x＝20°， ∴∠ACA'＝2x＝40°； ②当∠CA'B'＝6∠ACA'时，设∠CA'B'＝x， 则∠ACA'＝x． ∵CG∥AB，CG∥A'B'， ∴∠ACG＝∠BAC＝60°， ∠A'CG＝∠CA'B'＝x． ∵∠ACG＝∠ACA'+∠A'CG， ∴， 解得x＝40°， ∴； 如图2，过点C作CG∥AB． ∵三角形A'B'C'由三角形ABC平移得到， ∴AB∥A'B'， ∵CG∥AB，AB∥A'B'， ∴CG∥A'B'， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA'B'＝x，则∠ACA'＝7x． ∵CG∥AB，CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝60°， ∠A'CG＝∠CA'B'＝x． ∵∠ACA'＝∠ACG+∠A'CG， ∴2x＝x+60°， 解得x＝60°， ∴∠ACA'＝2x＝120°； ②当∠CA'B'＝4∠ACA'时， 由图可知，∠CA'B'＜∠ACA'， 故不存在这种情况． 综上所述，∠ACA'的度数为20°或40°或120°． 故选：C． 二．填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）点M（2，﹣3）到x轴的距离是 　3　 ． 【分析】根据点到x轴的距离点的纵坐标的绝对值，可得答案． 【解答】解：点M（2，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|＝3， 故答案为：3． 12．（4分）已知二元一次方程3x﹣y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　3x﹣1　 ． 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【解答】解：因为3x﹣y＝1， 则y＝7x﹣1． 故答案为：3x﹣8． 13．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，则∠BOE的度数为 　50°　 ． 【分析】根据∠BOD：∠BOC＝2：7，设∠BOD＝2α，∠BOC＝7α，再根据∠BOD+∠BOC＝180°得α＝20°，则∠BOD＝40°，然后根据EO⊥CD得∠EOD＝90°，据此根据∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD即可得出答案． 【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7， ∴设∠BOD＝3α，∠BOC＝7α， ∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠BOD+∠BOC＝180°， ∴2α+3α＝180°， 解得：α＝20°， ∴∠BOD＝2α＝40°， ∵EO⊥CD于点O， ∴∠EOD＝90°， ∴∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，以点A为圆心，AB长为半径画弧（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为 　﹣2　 ． 【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定E点所表示的数即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴正方形的边长为， AE＝， ＜2， ∴E点在A、O之间， OE＝OA﹣AE＝2﹣， ∴E点表示的数为﹣（2﹣）即． 故答案为：﹣6． 15．（4分）我国古代很早就对二元一次方程组进行研究，在《九章算术》中记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就用矩阵表示．例如：对于二元一次方程组，y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：，用加减消元法解二元一次方程组的过程，则得到矩阵，用加减消元法可以消去y时，我们要用加减消元法消去x，得到的矩阵是 　　 ． 【分析】读懂新定义，利用新定义填空． 【解答】解：根据题意可得矩阵． 故答案为：． 16．（4分）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；当光线照射到镜面上时，会遵循“入射角γ等于反射角i”（若垂直入射，则光线原路返回）．如图2，小弘同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上；小豪用激光笔发出的光束DG射到平面镜上，反射光束GH与天花板所形成的∠PHG（记为β）（直线EF）的夹角∠EPG＝40°． （1）当α＝45°时，β＝　50　 °； （2）当60°＜α＜65°时，β的取值范围是　80°＜β＜90°　 ． 【分析】（1）利用平行线性质可知入射光线与水平面的夹角为40°．结合镜面倾角α＝45°，通过三角形外角定理算出光线与镜面的夹角为85°，进而得出入射角为5°．根据反射定律（反射角等于入射角），反射光线与镜面的夹角也为85°，最后利用三角形内角和或外角关系推导出反射光线与水平面的夹角β为50°； （2）首先建立β与α的函数关系式．由几何推导可知，反射光线与水平面的夹角β等于镜面倾角α的两倍减去入射光线与水平面的夹角（即β＝2α﹣40°）．将α的取值范围60°＜α＜65°代入该关系式进行计算，即可得出β的取值范围是80°＜β＜90°． 【解答】（1）由题意得水平天花板EF平行于水平桌面MN， 根据平行线内错角相等，可得入射光线DG与水平桌面MN的夹角等于∠EPG＝40°， 根据光的反射定律（反射角等于入射角），结合法线垂直于镜面AB的几何关系， 可推导出β和α满足关系：β＝2α﹣40°， 将α＝45°代入关系， 得β＝2×45°﹣40°＝50°； 故答案为：50°； （2）将不等式60°＜α＜65°代入关系， 不等式各项同乘2再减40°， 可得2×60°﹣40°＜β＜2×65°﹣40°， 化简得80°＜β＜90°． 故答案为：80°＜β＜90°． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）计算与解方程： （1）； （2）9（x﹣1）2＝4； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的性质、立方根的定义和绝对值的性质进行计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可； （3）利用加减消元法和代入消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝； （2）6（x﹣1）2＝6， ， ， 或； （3）， ①×2得：2x﹣7y＝10③， ②+③得：x＝7， 把x＝7代入①得：y＝4， ∴方程组的解为：． 18．（6分）如图，线段BC是某个时刻太阳光（平行光线）下教学楼AB的影子． （1）画出同一时刻旗杆EF的影子DF（用线段表示，要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若∠ACB＝65° 【分析】（1）结合平行投影的定义，在EF的右侧作∠FED＝∠BAC，交直线BC于点D，则DF即为所求． （2）由题意得，∠EDF＝∠ACB＝65°，可得∠FED＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝25°． 【解答】解：（1）如图，在EF的右侧作∠FED＝∠BAC， 则DF即为所求． （2）由题意得，∠EDF＝∠ACB＝65°， ∵∠EFD＝90° ∴∠FED＝180°﹣∠EFD﹣∠EDF＝25°． 19．（8分）厦门高新学校高中部校区拟设置一块面积为196m2的正方形ABCD种植园，用于开展劳动实践活动． （1）裁剪育苗牌 用一块面积为196cm2的正方形纸板制作长方形育苗牌，要求长方形长与宽的比为2：1．并且面积为100cm2．能否从这块正方形纸板上裁出符合比例的长方形育苗牌？请通过计算说明理由． （2）划分种植区域 拟将该种植园分成两个长方形区域，分别种植A，B两种作物．已知A、B两种作物单位面积产量比为1：2．要求划分后A、B总产量之比为2：3．若沿一边垂直划分，通过计算说明你的划分方案． 【分析】（1）根据算术平方根的定义求出正方形的边长，在根据长方形的长、宽的比以及面积求出长方形的长、宽，比较正方形的边长与长方形长的大小关系即可； （2）单位面积产量的比，总产量的比计算出种植面积的比即可． 【解答】解：（1）面积为196cm2的正方形的边长为＝14cm， 设长方形的宽为xcm，则长为2xcm8， 所以有2x•x＝100， 解得x＝＝2， 即长方形的宽为2cmcm， ∵4＝，72＝64，92＝81，而64＜80＜81， ∴8＜4＜9， ∵14cm＞4cm， ∴能从这块正方形纸板上裁出符合比例的长方形育苗牌； （2）设A种作物单位面积产量为x，则B种作物单位面积产量为2x、B总产量之比为2：5． 即x•SA：2x•SB＝2：5， ∴3x•SA＝4x•SB， ∴＝＝， 因此种植A中作物的长为14m，宽为14×，种植B作的长为14m＝6m， 即将正方形的一边的长平均分成7分，其中2份种植A作物， 也就是将正方形的一边的长分成8m、6m两部分． 20．（8分）已知三角形A1B1C1是由三角形ABC经过平移得到的，其中A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形ABC A（0，0） B（﹣1，2） C（2，5） 三角形A1B1C1 A1（a，2） B1（4，b） C1（7，c） （1）观察表中各对应点坐标的变化，填空a＝　5　 ，b＝　4　 ；c＝　7　 ； （2）在图中的平面直与角坐标系中画出三角形A1B1C1； （3）若点M（x，y）是三角形ABC内任意一点，写出其平移后的对应点M1的坐标，并求出平行四边形AA1B1B的面积． 【分析】（1）根据坐标变化规律解决问题即可； （2）根据点的坐标作出三角形即可； （3）利用平移变换的性质求出点M1的坐标，平行四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积． 【解答】解：（1）由题意a＝5，b＝4． 故答案为：2，4，7； （2）如图，三角形A3B1C1即为所求； （3）M8（x+5，y+2）． 平行四边形AA2B1B的面积＝4×2﹣2××1×2﹣4×． 21．（8分）厦门高新学校计划组织400名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的暑期研学活动．已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 【分析】（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种客车可一次运送400名师生且每辆车都坐满，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案． 【解答】解：（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生； （2）根据题意得：20m+45n＝400， ∴m＝20﹣n， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种租用方案， 方案2：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案2：租用小客车3辆，大客车8辆． 22．（8分）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，连接BC、BM、CM，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠DCB． （1）求证：BM⊥CM； （2）若∠AMB：∠CMD＝2：3，求∠MBC的度数． 【分析】（1）由AB⊥AD，CD⊥AD，可得出AB∥CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出∠ABC+∠BCD＝180°，结合角平分线的定义，可求出∠MBC+∠MCB＝90°，再结合三角形内角和定理，可求出∠BMC＝90°，进而可证出BM⊥CM； （2）设∠AMB＝2x，则∠CMD＝3x，结合平角等于180°，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，将其代入∠AMB＝2x中，可求出∠AMB的度数，由AB⊥AD，可得出∠A＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠ABM的度数，再利用角平分线的定义，即可求出∠MBC的度数． 【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BM、CM分别平分∠ABC和∠DCB， ∴∠MBC＝∠ABC∠BCD， ∴∠MBC+∠MCB＝∠ABC+（∠ABC+∠BCD）＝， ∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣90°＝90°， ∴BM⊥CM； （2）解：设∠AMB＝2x，则∠CMD＝3x， 根据题意得：2x+90°+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠AMB＝2x＝7×18°＝36°， ∵AB⊥AD， ∴∠A＝90°， ∴∠ABM＝180°﹣∠A﹣∠AMB＝180°﹣90°﹣36°＝54°． ∵BM平分∠ABC， ∴∠MBC＝∠ABM＝54°． 23．（12分）厦门地铁为倡导低碳出行，推出绿色积分累计功能，根据用户使用厦门地铁App购票乘车消费金额和每日签到可获取绿色积分并累计 ①使用厦门地铁App刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行绿色积分累计； ②每日可在厦门地铁App签到一次，每次签到可累计增加10绿色积分； ③每满100绿色积分可折算成1元的地铁票价． 已知高大新每天从家里到单位都选择路线一出行：地铁8站（票价4元）+电动车骑行4km． （1）若高大新连续五天都选择路线一上、下班，并且每日签到，求这五天共累计获得的绿色积分可折算的地铁票价． （2）已知高大新按照路线一出行的单程总碳排放量为1040g，按照路线二：地铁9站（票价4.6元）+电动车骑行3km的单程总碳排放量为1080g．假设地铁每站碳排放量相同，高大新预估乘坐地铁每站的单程碳排放量在90～100（g），骑电动车每千米的单程碳排放量在70～80（g） （3）在路线一的出行中，受路况影响，高大新骑行距离与乘坐站数会小幅波动．已知：高大新乘坐地铁3站及电动车骑行2千米的单程总碳排放量介于420～480（g）（g）．请根据以上数据测算高大新按照路线一出行的单程总碳排放量的范围． 【分析】（1）利用这五天共累计获得的绿色积分可折算的地铁票价＝（选择路线一出行地铁票价×0.9×10+10）×5÷100，即可求出结论； （2）设乘坐地铁每站的单程碳排放量为xg，骑电动车每千米的单程碳排放量为yg，根据“高大新按照路线一出行的单程总碳排放量为1040g，按照路线二出行的单程总碳排放量为1080g”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其与高大新的估计值比较后，即可得出结论； （3）设乘坐地铁每站的单程碳排放量为mg，骑电动车每千米的单程碳排放量为ng，根据“高大新乘坐地铁3站及电动车骑行2千米的单程总碳排放量介于420～480（g），乘坐地铁2站及电动车骑行3千米的单程总碳排放量介于640～800（g）”，可列出关于m，n的不等式组，利用①×﹣②×，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（4×0.8×10+10）×5÷100 ＝（36+10）×5÷100 ＝46×4÷100 ＝2.3（元）． 答：这五天共累计获得的绿色积分可折算的地铁票价为7.3元； （2）他的估计不正确，理由如下： 设乘坐地铁每站的单程碳排放量为xg，骑电动车每千米的单程碳排放量为yg， 根据题意得：， 解得：， ∵y＝60＜70， ∴他的估计不正确； （3）设乘坐地铁每站的单程碳排放量为mg，骑电动车每千米的单程碳排放量为ng， 根据题意得：， ①×﹣②×． 答：高大新按照路线一出行的单程总碳排放量的范围介于704～1024（g）． 24．（12分）在“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线AB，过点P作直线与AB平行． 【方法一】利用三角板 （1）将两个含有45°角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与AB重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，画直线PF∥AB，这样做的依据是：　内错角相等，两直线平行　 ； 【方法二】折纸法 （2）第一步：过点P折叠纸片，使得点A的对应点A落在直线AB上（如图3），记折痕DE与AB的交点为C，则∠PCA的度数为　90°　 ； （3）第二步：再过点P将纸片进行折叠，使得点D的对应点D′落在直线DE上（如图4），记折痕为FG（如图5），则得到直线PF∥AB．请你根据以上折纸过程，证明：PF∥AB． 【思维拓展】 （4）通过其他折纸方式找到符合要求的直线PF，使得PF∥AB．请画出示意图，并简要写出操作步骤．（要求：画出两种符合题意的示意图，并简要写出操作步骤，即可得满分） 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行，可判断PF∥AB； （2）根据折叠的性质可知∠PCA＝∠PCA′，可求得∠PCA＝90°，进而求得∠DPF＝90°； （3）根据角之间的等量关系，可判断PF∥AB； （4）如图，过点P折叠纸片，使得点A的对应点A落在线段AB上，记折痕为直线m，将纸片展开铺平，再将直线m对折，使得线段AB经过点P，折痕为直线n，直线a即为所求． 【解答】解：（1）方法一，利用三角板： 如图，∠1＝∠2＝45°， ∴PF∥AB，即内错角相等； 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）方法二：折纸法 如图3，根据折叠的性质可知∠PCA＝∠PCA′， 又∠PCA+∠PCA′＝180°， ∴∠PCA＝∠PCA′＝90°， ∴∠PCA＝90°． 故答案为：90°； （3）如图4，根据折叠的性质可知∠DPF＝∠D′PF， 又∠DPF+∠D′PF＝180°， ∴∠DPF＝90°， ∴∠DPF＝∠PCA＝90°， ∴PF∥BC； （4）思维拓展： 如图，过点P折叠纸片，记折痕为直线m，再将直线m对折，折痕为直线n． 25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（2，3），C（0，c），a． （1）如图1，点A的坐标为 　（﹣4，0）　 ；点C的坐标为 　（0，8）　 ． （2）如图1，已知坐标轴上有两个动点P、Q，点P从O点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动，设运动时间为t（t＞0）秒．当三角形BCQ的面积与三角形ABP的面积之和等于7时 （3）如图2，过点B作x轴的平行线BN，点P是线段BC上一个动点（不与B、C重合），PE平分∠OPB，OF平分∠AOP交BN于点D，问的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质求出 a、c，即可求解； （2）由题意得：OP＝t，CQ＝2t，则AP＝|﹣t+4|，得到，，根据题意列方程，即可求解； （3）过点B作GH∥PT，设∠OPE＝∠EPB＝x，∠BPT＝y，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵a，c满足， ∴a+4＝2，c﹣8＝0， 解得：a＝﹣2，c＝8， ∴点A的坐标为（﹣4，3），8）， 故答案为：（﹣4，5），8）； （2）由题意得：OP＝t，CQ＝2t， ∵A（﹣5，0），8）， ∴AP＝|﹣t+2|， ∵B（2，3）， ∴S△ABP＝AP•yB＝×3•|﹣t+4|，S△BCQ＝CQ•xB＝×2t×2＝8t， ∵△BCQ的面积与△ABP的面积之和等于7， ∴×3•|﹣t+4|+5t＝7， 当0＜t＜3时，（8﹣t）+2t＝7， 解得：t＝8， 当t＞4时，（t﹣4）+2t＝6， 解得：t＝（不合题意， 综上所述，t的值为2； （3）的值不会发生变化 设∠OPE＝∠EPB＝x，∠BPT＝y， ∵PT∥OF， ∴∠FOP＝∠OPT＝2x+y， ∵OF平分∠AOP， ∴∠FOA＝∠FOP＝2x+y， ∵BN∥OA， ∴∠BDO＝∠FOA＝2x+y， ∵PT∥OF， ∴∠BDO＝∠DTP＝7x+y， 过点B作GH∥PT， ∵PT∥OF， ∴GH∥OF∥PT， ∴∠GBD＝∠BDO＝2x+y，∠GBP＝∠BPT＝y， ∴∠PBD＝∠GBD+∠GBP＝2x+6y， ∴． 四．附加题：本题共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案不得分。 26．在厦门高新学校科技节游园会上，高小新准备了五张完全相同的卡片，从1﹣9的自然数中随机选择一个数字（可以重复），将它们正面向下放在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个（从小到大依次写出）． 【分析】通过设未知数，根据相邻卡片数字和列出方程组，求解出各个卡片上的数字，根据和的条件，对卡片数字进行更改和讨论． 【解答】解：求正面数字最大的卡片设A卡片上的数字为x，B卡片上的数字为y，D卡片上的数字为w．根据表格中相邻两张卡片数字和可得方程组： ， 解得， 因为任意两张卡片上数字相加的和都是2，6，7，2中的一个． 假设更改D和C的数字．设更改后C为a．因为A＝3，E＝4，A+E＝8． 若B+C在5，6，8，8中， 若B+C＝5，则C＝4； 若B+C＝6，则C＝3； 若B+C＝6，则C＝4； 若B+C＝8，则C＝7． 同理C+D，D+E也需满足条件． 经过尝试可得： 情况一：2、3、5、4、4．此时4+3＝5，7+4＝7，3+4＝6等满足条件． 情况二：4、3、4、2、3．此时2+4＝5，4+5＝8，2+5＝6等满足条件． 故答案为：2、2、3、4、4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/7 8:21:28；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $