精品解析：上海实验学校2026届高考考前模拟数学试卷

2026届上海实验学校高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知是虚数单位，计算：__________． 2. 设集合有且只有两个子集，则______________. 3. 在的展开式中，各项系数之和为__________. 4. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 5. 某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则___________． 6. 已知函数的最小正周期是，则______. 7. 已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 8. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 9. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 10. 已知函数为奇函数，则______. 11. 已知曲线，点在圆内（含边界）运动，若恰存在两条过点的直线交曲线于，两点且满足，则点所形成区域的面积为__________． 12. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 14. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）． A. 0 B. 338 C. 674 D. 1012 16. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． （1）求证：； （2）已知，，求二面角的大小． 18. 已知函数的图象经过点， （1）求m的值，并判断函数的奇偶性（写出证明过程）； （2）设，若关于x的方程在时有解，求a的取值范围． 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20. 已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． （1）求椭圆的离心率； （2）若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； （3）若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届上海实验学校高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算复数乘积，再把除以 转化为乘以 ，最后求复数的模． 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 2. 设集合有且只有两个子集，则______________. 【答案】. 【解析】 【分析】 本题先将条件“集合有且只有两个子集”转化为“方程有且仅有1个解”，再建立方程求的值. 【详解】解：因为集合有且只有两个子集， 所以集合有且只有一个元素， 所以方程有且仅有1个解， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数的值，是基础题. 3. 在的展开式中，各项系数之和为__________. 【答案】1 【解析】 【详解】令，即得各项系数的和. 考点：赋值法. 4. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 5. 某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则___________． 【答案】120 【解析】 【分析】由分层抽样的定义即可求得 【详解】由教职工200人，男学生1000人，女学生1200人得抽取人数比例为，从教职工中抽取的人数为10，故 故答案为：120 6. 已知函数的最小正周期是，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值 【详解】， 所以最小正周期是，所以. 故答案为：4 7. 已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正三角形性质求出边长，再利用数量积的定义计算得解. 【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a， 则，解得，即，又， 所以 . 故答案为： 8. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】先判断是等差数列，然后根据等比中项的知识列方程求得. 【详解】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 9. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 10. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得的关系式，根据函数奇偶性的定义列方程，由此求得，进而求得. 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 11. 已知曲线，点在圆内（含边界）运动，若恰存在两条过点的直线交曲线于，两点且满足，则点所形成区域的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用运动变化的观点，分析点所在的区域，再求区域的面积. 【详解】如图： 对曲线，当时，，为抛物线的一部分. 点在圆内及其边界上运动时，过点总可以作抛物线的切线， 再将该直线绕点逆时针旋转，此时直线与抛物线交于，两点， 旋转过程中，的长度递减，的长度递增， 所以必定存在一个位置，使得成立，且唯一存在. 当时，，其渐近线为. 当点在直线上或直线下方时，过点的直线与（，）只有1个交点，不满足题意； 当点在直线上方时，过点总可以作双曲线（，）的切线， 再将该直线绕点顺时针旋转，此时直线与双曲线（，）交于，两点， 旋转过程中，的长度递减，的长度递增， 所以必定存在一个位置，使得成立，且唯一存在. 所以若恰存在两条过点的直线交曲线于，两点且满足，则点所形成区域应该是圆中，位于直线上方的区域. 该区域的面积为. 12. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为，再结合纸张的厚度与二面角的平面角为的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为4cm， 所以斜边上的高为cm， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为，即， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张， 所以，解得， 所以，所求二面角的平面角至少为. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数. 【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称， 则，所以， 所以的学生人数为：人. 故选：D. 14. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例即可判断； 【详解】由可得：， 所以， 取，可得：，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 15. 已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）． A. 0 B. 338 C. 674 D. 1012 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 16. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别构造满足题设单调性和连续性的函数，说明命题①和命题②都不成立．构造函数时，不用画图直接说明，而是先给出各整数点处的函数值，再在每个小区间内用一次函数明确写出函数表达式，这样可以保证函数图象连续，且能直接判断每段的单调性． 【详解】①，构造如下函数． 对任意正整数，规定 并且在区间上令 在区间上令 这样定义后，处左右两段的函数值都等于，处左右相邻两段的函数值都等于， 所以函数图象是一条连续不断的曲线． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递增． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递减． 因此该函数满足题设的连续性和单调性要求． 因为且所以存在最小值． 但是该函数各段端点值都为正数，且每一段都是两个正数之间的一次函数，所以，从而． 又当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最小值．故①是假命题． ②，构造如下函数．对任意正整数，规定 在区间上，令 在区间上，令 同理，该函数在相邻小区间端点处的函数值一致，所以函数图象连续不断． 在上，斜率为故函数严格递增； 在上，斜率为故函数严格递减． 因此该函数也满足题设的连续性和单调性要求． 因为且 所以存在最大值． 下面说明没有最大值． 在上述函数中，各段的函数值都在与之间，并且正向最大端点值为 因此对任意，都有． 另一方面， 当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最大值，故②是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． （1）求证：； （2）已知，，求二面角的大小． 【答案】（1）∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. （2）先取线段、的中点分别记作点、，连接，，，根据二面角的平面角的定义证得即为所求的二面角的平面角，再求得的值，进而表示. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段、的中点分别记作点、，连接，，， 过点作平行线，交于点，连接， 又，故， 四边形是等腰梯形，故， 于是，即为所求的二面角的平面角， 又，，， 故，，则， ， 故． 故二面角的大小为． 18. 已知函数的图象经过点， （1）求m的值，并判断函数的奇偶性（写出证明过程）； （2）设，若关于x的方程在时有解，求a的取值范围． 【答案】（1），偶函数，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入函数，求得的值；写出的解析式，判断的奇偶性； （2）根据题意，把方程化为对数方程，求出的解析式，计算满足条件时的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数的图象经过点， 所以， 所以，解得， 所以，且定义域为， 又， 因此，函数是偶函数； 【小问2详解】 解：因为， 当时，，得， 整理得， 因为当时，函数单调递减，所以， 所以使方程有唯解时a的取值范围是. 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问2详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 20. 已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． （1）求椭圆的离心率； （2）若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； （3）若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2）设直线，的方程分别为，，,， 由，得， ，得， 又，． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线，在轴上的截距之和为0． 由四边形为菱形得，设的斜率分别为,则， 由（1）知，关于原点对称， 由椭圆的对称性知点与点，点与点均关于原点对称， 所以 ．整理得， 所以直线,之间的距离， 所以直线，之间的距离为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定，再求椭圆的离心率. （2）设两条平行线，的方程分别为，，根据确定的关系，再根据确定与的关系，最后利用平行线的距离公式即可证明结论. （3）先确定的值，设直线的方程为，探索与,与的关系，可用的面积表示四边形的面积，再求面积的取值范围即可. 【小问1详解】 由，故，，故， 故离心率． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，，四边形的面积， 因为，且，，故， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积． 21. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】（1）具有性质，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得； （2）由，解得，，可得，即得； （3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证. 【小问1详解】 函数在上具有性质. 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. 【小问2详解】 解法1：由题意，存在，使得， 得（舍）或， 则得. 因为，所以. 又因为且， 所以，即所求的取值范围是. 解法2：当时，函数，是增函数， 所以不符合题意； 当时，因为直线是函数的一条对称轴， 而函数在区间上具有性质， 所以， 解得，即所求的取值范围是. 【小问3详解】 设，. 则有，，，， ，，. 以上各式相加得 即， （ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，， 所以函数在区间上具有性质. （ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0， 则其中必存在正数和负数，不妨设，， 其中，. 由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即， 即存在，使得， 所以函数在区间上也具有性质. 综上，函数在区间上具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $