四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期基地班期末冲刺（一）数学试卷

2024级高二下期基地班冲刺卷 数学（一） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分） 1．设函数，则（ ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 3．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，，，，其中最小的是（ ） A． B． C． D． 4．若随机变量，，则（ ） A． B． C． D． 5．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 7．甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 8．已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分） 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ） A． B、 C． D． 11．关于函数，为导数，下列说法正确的是（ ） A．函数的单调递减区间为 B．令，则 C．若函数有两个不同的零点，则 D．若函数的图象与直线交于，两点，且，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分） 12．由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为________． 13．将“宜宾一中顶呱呱”七个字打乱，要求“宜宾一中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为________． 14．已知是方程的一个根，则的值是________． 四、解答题 15．（满分13分）已知在公差为的等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16．（满分15分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 女 4 24 合计 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）补全上表，并在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（满分15分）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的正弦值． 18．（满分17分）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 19．（满分17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若有3个零点，，（），证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下期基地班期末冲刺（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C B C B ABD ABD 题号 11 答案 ACD 12．1 13．72 14．4 15．（1） （2） 【详解】（1）设的公差为，由题意，，解得， 则； （2）设数列的前项和为，因为， 所以， 所以． 16．（1）分布列见解析， （2）答案见解析 【详解】（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有8人，女性有4人，比例为2∶1，按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性2人，随机变量的所有取值为1，2，3，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． （2）解：提出零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关，根据列联表中的数据，得到，因为，不能拒绝零假设，所以没有95%的把握认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关． 17．（1）证明见解析 （2） 【详解】（1）因底面是梯形，，，则， 又，，，平面，则平面， 又平面，故平面平面． （2）取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又，，平面，则平面． 过点作的平行线，交于点，则，即，，两两垂直， 故可以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系． 因，，，由，可得， 则，，，． 设平面的法向量为，因，， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 18．（1）；（2） 【详解】（1）由题意可得，解得，，， 所以双曲线的标准方程：． （2）由（1）知右焦点，渐近线方程： 设直线：，， 联立可得： ， 联立得；联立得， 所以， 所以为定值． 19．（1） （2）当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点．（3）证明见详解 【详解】（1）若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程． （2）由题意可知：函数的定义域为，且， 对于方程，则， 因为，若，则；若，即，则； 当时，则，即， 可知函数在定义域内单调递增， 且，所以函数有且仅有1个零点； 当时，则，可知有2个不相等的实数根，， 且，则， 若，则，即； 若或，则，即； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则，且，即， 因为， 令，，则， 可知在内单调递减，则，可得； 又因为， 所以函数有3个零点； 综上所述：当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点． （3）若有3个零点，，（）， 由（2）可知：，， 因为， 又因为，则，且，，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $