精品解析：2026年西藏自治区山南市三校第二次联考二模数学试题

2025—2026学年春季学期山南市三校第二次联考 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，三大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 年月，中国科学技术大学宣布，“九章四号”光量子计算机原型机在中科大实验室横空出世，它在秒内所处理的最高复杂样本，世界最强超算需要年．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示小于的正数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列关于整式的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式运算、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 分别根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵合并同类项时，仅系数相加，字母及指数不变，，故此选项错误； B、根据完全平方公式，，故此选项错误； C、根据幂的乘方法则，，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 5. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6. 如果点在第二象限，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征，确定和的符号，进而判断点的坐标符号，从而确定其所在象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第一象限， 故选：A． 7. 某科学家对种子种植进行研究，现有甲、乙、丙、丁四种类别的种子，对于每一种种子，他观察并记录了发芽天数的平均数和方差，如下表所示： 类别 甲 乙 丙 丁 平均数/天 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 其中发芽天数最短且更稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的实际意义，掌握平均数反映数据的平均水平、方差反映数据的稳定性是解题的关键． 比较平均发芽天数最短的类别，再从中选择方差最小的类别，即最稳定的． 【详解】解：∵平均发芽天数甲和乙均为天，最短； ∵方差乙为，甲为，乙更小； ∴乙发芽天数最短且更稳定． 故选：B． 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点F，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，      由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和正比例的图象，根据一次函数与轴的交点位置确定的正负，进而判断出正比例函数图象的分布位置即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数的图象与轴交于正半轴上， ∴， ∴正比例函数的图象经过一、三象限，该选项错误； 、∵一次函数的图象与轴交于正半轴上， ∴， ∴正比例函数的图象经过一、三象限，该选项正确； 、∵一次函数的图象与轴交于负半轴上， ∴， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，该选项错误； 、∵一次函数的图象与轴交于正半轴上， ∴， ∴正比例函数的图象经过一、三象限，该选项错误； 故选：． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E、F分别为、上一点，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，根据即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在中，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确理解题题意是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 正多边形一个外角的度数是 ，则该正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，根据多边形外角和是，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：∵正多边形一个外角的度数是 ， ∴该正多边形的边数是， 故答案为：6． 13. 如图，是半圆的直径，，，则的长为________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求出半径，再根据等边对等角、三角形内角和公式求出所对的圆心角，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， 是半圆的直径，， ， ， ， ， 的长为． 14. 如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 15. 如图，在菱形中，，，，分别为，，，的中点，连接，，，，若，，则菱形两条对角线的和为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接菱形的对角线，，根据三角形中位线定理得对角线，长度，求和即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别为，，，的中点， ，分别是，的中位线， ，， ，， ， 即菱形两条对角线的和为12． 16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【解析】 【分析】规律：增加的正方形个数是前一次正方形个数的2倍，由此即可求解． 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 三、解答题：本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值进行化简，然后合并求解即可． 【详解】解： 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得，  ， 展开得  ， 移项合并同类项得  ， 解得  ， 经检验，当时，原方程各分母都不为0 ， ∴原分式方程的解为． 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】1≤x＜4；数轴表示见解析. 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解： ， 由①得：x≥1， 由②得：x＜4， 则不等式的解集为1≤x＜4， 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，已知相交于点O，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可． 【详解】略 21. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如图所示： （2）600名 （3） 【解析】 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）； 【小问2详解】 解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 22. 学校无人机社团的同学们想测量教学楼的高度，将无人机垂直向上飞到距离地面的点D处，测得教学楼A的俯角，将无人机沿教学楼方向水平飞行到点C处，测得教学楼B的俯角是，教学楼的高度是多少米．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长交直线于E点，则．在中，根据三角函数的定义求得 ，则可得．在中， 根据三角函数的定义求得，进而可得． 本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交直线于E点， 则， 在中， ，，， ∴， 由题知， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴． ∴教学楼的高度大约为． 23. 如图，在中，是边的中点，，分别在及其延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）由得，由计算即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵，是边的中点， ∴， 即， 由（1）知， ∴． 24. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）精英型帐篷的售价为元或元． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． 【小问2详解】 解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 25. 如图，是的外接圆，，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵。 ∴， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的判定得，再由等腰三角形的性质及得，即可证明； （2）延长交于点F，由（1），从而，设圆的半径为r，则在中由勾股定理可表示出，在中由勾股定理表示出，由此建立方程即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点F， 由（1）知， ∵， ∴， 设圆的半径为r， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）， ∴的半径为5． 26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段的最大值； （3）是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； 【小问3详解】 解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春季学期山南市三校第二次联考 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，三大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年月，中国科学技术大学宣布，“九章四号”光量子计算机原型机在中科大实验室横空出世，它在秒内所处理的最高复杂样本，世界最强超算需要年．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于整式的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果点在第二象限，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 某科学家对种子种植进行研究，现有甲、乙、丙、丁四种类别的种子，对于每一种种子，他观察并记录了发芽天数的平均数和方差，如下表所示： 类别 甲 乙 丙 丁 平均数/天 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 其中发芽天数最短且更稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E、F分别为、上一点，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 12 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_______． 12. 正多边形一个外角的度数是 ，则该正多边形的边数是_____． 13. 如图，是半圆的直径，，，则的长为________（结果保留π）． 14. 如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 15. 如图，在菱形中，，，，分别为，，，的中点，连接，，，，若，，则菱形两条对角线的和为__________． 16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 三、解答题：本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知相交于点O，，，求证：． 21. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 22. 学校无人机社团的同学们想测量教学楼的高度，将无人机垂直向上飞到距离地面的点D处，测得教学楼A的俯角，将无人机沿教学楼方向水平飞行到点C处，测得教学楼B的俯角是，教学楼的高度是多少米．（精确到，参考数据：，，） 23. 如图，在中，是边的中点，，分别在及其延长线上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，若，，求四边形的面积． 24. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 25. 如图，是的外接圆，，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）连接，若为直径，，，求的半径． 26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段的最大值； （3）是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $