精品解析：北京市宣武外国语实验学校2025-2026学年度第二学期中试卷初二数学

北京市宣武外国语实验学校2025-2026学年度 第二学期期中试卷初二数学 考生须知 1、本试卷共100分，考试时间100分钟。 2、试卷分为三个大题，共6页。请考生答题纸上作答。 3、请考生在左侧认真填写自己的个人信息。 一、选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 2，， 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，平分，交边于E，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 6. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 15 9. 下列结论中，不正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 正方形的一条对角线的长为，则此正方形的面积是 D. 顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足 AC⊥BD 10. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 将函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为______． 13. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____． 14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，则边的长为______． 16. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，且，点，点D在第一象限，则点D的坐标是_________． 17. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 18. “四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 三、解答题（本题共64分，19题8分，20题至26题每题6分，27题至28题每题7分） 19. 计算 （1） （2） 20. 已知，，求代数式的值． 21. 如图，在中，点分别是边的中点．求证： 22. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 23. 已知一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出一次函数的图象； （3）点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； （4）结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 24. 有这样一个问题：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质． 小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． 下面是小南的探究过程： （1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ； （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请你帮小南说明理由； 已知：如图，在筝形中，． 求证：． 证明： （3）请你自己探究，写出筝形对角线的性质： ． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若______． 26. 有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）如表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为　 　； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是　 　．（只填序号） 27. 如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． （1）①依据题意补全图形； ②求的度数； （2）连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出的长． 28. 对于平面直角坐标系xOy中的点M(m，0)和点P，给出如下定义： 若在y轴上存在点N，使得∠MNP＝90°，且NM＝NP，则称点P为m直角等腰点．例如，点P(－2，0)为2直角等腰点，理由如下：如图，设M(2，0)，以MP为斜边作等腰直角△PMN，可得y轴上的一个点N(0，2)，所以点P(－2，0)为2直角等腰点． （1）在点A(－1，0)，B(0，1)，C(1，1)中，是1直角等腰点的是 ； （2）若点D是直线y＝2x＋3上一点，且点D是3直角等腰点，求点D的坐标； （3）若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上存在无数个4直角等腰点，请直接写出该一次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市宣武外国语实验学校2025-2026学年度 第二学期期中试卷初二数学 考生须知 1、本试卷共100分，考试时间100分钟。 2、试卷分为三个大题，共6页。请考生答题纸上作答。 3、请考生在左侧认真填写自己的个人信息。 一、选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A.，被开方数含分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B.，被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，本选项符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D.，被开方数含分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意． 2. 以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 2，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A、∵，，∴，不能构成直角三角形，A不符合题意； 选项B、∵，，∴，不能构成直角三角形，B不符合题意； 选项C、∵，，∴，能构成直角三角形，C符合题意； 选项D、∵，，∴，不能构成直角三角形，D不符合题意． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据二次根式的相关法则逐一判断选项即可． 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能直接合并，∴，A错误； B、∵，算术平方根本身非负，∴，B错误； C、∵，∴，C错误； D、根据二次根式性质，可得，D正确． 故选：D． 4. 如图，在平行四边形中，平分，交边于E，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先推导出，得到，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质求出的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可． 【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵是菱形 ∴ ∴ 故答案选：D. 【点睛】本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键． 6. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 7. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 8. 如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 9. 下列结论中，不正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 正方形的一条对角线的长为，则此正方形的面积是 D. 顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，中点四边形，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．对角线互相垂直的四边形是菱形，故本选项的结论正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的结论正确，不符合题意； C．正方形的一条对角线之长为4，则其边长为，则此正方形的面积是8，故本选项的结论正确，不符合题意； D．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为菱形，则四边形一定满足＝，故本选项的结论不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，中点四边形，掌握以上知识是解题的关键． AC⊥BD 10. 如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答． 【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，． ，， ， 如图，连接， ， 当点M与点E，点H重合时， 此时，三点再一条直线上， 的面积都为0， 当点M与点F时重合， 此时， 的面积为， 当点M与点G时重合， 此时， 的面积为， 由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0， 时，的面积先增大后减小， 时，点M运动的路径是， 点M运动的路径是． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 将函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为， 故答案为： 13. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式． 【详解】解：由题可知： 该车行驶时每1小时耗电20度， 电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）之间的函数关系式为： ， ∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． 14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可求解． 【详解】解：公路、互相垂直， 是直角三角形． 是的中点，， ∴， ． 即M，C两点间的距离为． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点O．若，则边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，平面直角坐标系中，的顶点A，B，C在坐标轴上，且，点，点D在第一象限，则点D的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，坐标与图形，关键是根据勾股定理得出点A坐标，再由平行四边形性质求得点D坐标 根据直角三角形的性质求的长，根据等腰三角形的性质得BC长，再利用平行四边形的性质得出点的坐标即可． 【详解】解：，，， ，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】延长交于H，由D、E分别为中点，得，，因为，所以，，则，所以，而，即可根据“”证明，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点H， ∵D、E分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和△ACF中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点，F是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题重点考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、全等三角形的判与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18. “四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意“图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是”列方程求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 两式相加可得， 解得或（舍去）， 大正方形的边长是． 三、解答题（本题共64分，19题8分，20题至26题每题6分，27题至28题每题7分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则解答即可； （2）根据二次根式的乘除运算求解即可； 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 20. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，先求出、，将代数式化为，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 21. 如图，在中，点分别是边的中点．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 22. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【小问1详解】 四边形为所求作的菱形． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 23. 已知一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）画出一次函数的图象； （3）点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； （4）结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 【答案】（1） （2）解：如图所示，直线即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再连接成直线即可； （3）根据一次函数的图象与性质进行求解即可； （4）根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴一次函数的y随着x的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴； 【小问4详解】 解：由图象，可得 当时，． 24. 有这样一个问题：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质． 小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． 下面是小南的探究过程： （1）根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ； （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请你帮小南说明理由； 已知：如图，在筝形中，． 求证：． 证明： （3）请你自己探究，写出筝形对角线的性质： ． 【答案】（1）菱形或正方形 （2）解：连接，如图 在和中 ∴， ∴； （3）筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线，一条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】（1）根据筝形的定义即可知道答案． （2）首先根据图形，写出已知求证，然后证明，首先连接，由可证得，即可得出结论． （3）根据垂直平分线与全等三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵两组邻边分别相等的四边形是筝形，菱形和正方形有两组邻边分别相等， ∴菱形和正方形符合题意， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：筝形的两条对角线互相垂直，一条对角线平分一组对角．理由如下： 连接，如图 ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， 由（2）得， ∴， ∴一条对角线平分一组对角， ∴筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线，一条对角线平分一组对角． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质以及已知条件求出，根据勾股定理先求得的长，然后求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 26. 有这样一个问题：探究函数y＝|x+1|的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x+1|的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y＝|x+1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）如表是x与y的几组对应值． x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为　 　； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是　 　．（只填序号） 【答案】（1）任意实数；（2）1；（3）见解析；（4）①②③． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）根据把代入函数解析式，可以得到m的值； （3）根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】解：（1）在函数y＝|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； （2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+1|＝1， 故答案为1； （3）先描点，再连线，画出函数的图象如下： （4）由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点（﹣1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 27. 如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点． （1）①依据题意补全图形； ②求的度数； （2）连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；② （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据要求画出图形； ②连接，过点A作于点，证明可得结论； （2）结论：利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可； （3）如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线，求出可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【小问1详解】 解：①图形如图1所示： ②连接，过点A作于点 四边形是正方形， ，， ，P关于对称， 垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 结论： 理由：如图1中，，P关于对称， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 如图2中，由题意，当点是的中点时，是的中位线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 28. 对于平面直角坐标系xOy中的点M(m，0)和点P，给出如下定义： 若在y轴上存在点N，使得∠MNP＝90°，且NM＝NP，则称点P为m直角等腰点．例如，点P(－2，0)为2直角等腰点，理由如下：如图，设M(2，0)，以MP为斜边作等腰直角△PMN，可得y轴上的一个点N(0，2)，所以点P(－2，0)为2直角等腰点． （1）在点A(－1，0)，B(0，1)，C(1，1)中，是1直角等腰点的是 ； （2）若点D是直线y＝2x＋3上一点，且点D是3直角等腰点，求点D的坐标； （3）若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上存在无数个4直角等腰点，请直接写出该一次函数的解析式． 【答案】（1）A，B （2）(−2,−1)，或(0,3) （3）y＝x＋4或y＝−x−4 【解析】 【分析】(1)取P(1,0)，结合定义可知A(-1,0)，B(0，1)是1直角等腰点； (2)设点E(3，0)，点F在y轴上，①当点D在x轴下方时，过D作DG⊥y轴于G，可证明△DFG≌△EFO(AAS)，由此求出D(−m，m−3)，将点D的坐标(−m,m−3)代入y=2x+3，解得m=2，则D(−2,−1)； ②当点D在x轴上方时，同理可得点D的坐标(0,3)； (3)当k＞0时，过点P作PG⊥y轴交于点G，可证明△GNP≌△OMN(AAS)，设ON=x，求出P(x,x+4)，则y=x+4；当k＜0时，同理可得△PNG≌△NMO(AAS)，设ON=x，则P(-x,x-4)，可得y=-x-4． 【小问1详解】 解：取P(1,0)， ∴A(-1,0)，B(0,1)是1直角等腰点， 故答案为：A，B； 【小问2详解】 解：如图，设点E(3,0)，点F在y轴上． ①当点D在x轴下方时，过D作DG⊥y轴于G， ∵点D是3直角等腰点， ∴∠DFE＝90°，且FD＝FE， ∴∠DFE＝∠FOE＝90°， ∠DFG＝90°−∠OFE＝∠OEF， ∴△DFG ≌△EFO， ∴GF＝OE＝3，DG＝OF， 设DG＝OF＝m，则OG＝GF−OF＝3−m， ∵点D在x轴下方，∴D(−m,m−3)， 将点D的坐标(−m,m−3)代入y＝2x＋3得，−2m＋3＝m−3， 解得m＝2， ∴D(−2,−1)； ②当点D在x轴上方时，同理可得点D的坐标(0,3)． 综上，点D的坐标为(−2,−1)，或(0,3)． 【小问3详解】 解：如图1，当k＞0时， ∵P是4直角等腰点， ∴∠PNM=90°，NP=NM， 过点P作PG⊥y轴交于点G， ∵∠GPN+∠ONM=90°，∠GNP+∠GPN=90°， ∴∠GPN=∠ONM， ∴△GNP≌△OMN(AAS)， ∴GP=ON，GN=O4， 设ON=x， ∴P(x,x+4)， ∴y=x+4； 如图2，当k＜0时， 同理可得△PNG≌△NMO(AAS)， ∴NG=OM=4，PG=ON， 设ON=x， ∴P(-x,x-4)， ∴y=-x-4； 综上所述：y=x+4或y=−x−4． 【点睛】本题考查新定义，全等三角形判定与性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $