精品解析：山东名校考试联盟2026年高考模拟数学试题

山东名校考试联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知一组数据1，2，6，8，10，12，的中位数为，则可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 4. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 5. 我国自主研制的超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间单调递减 C. 在区间有两个极值点 D. 使得为偶函数的最小正实数为 11. 已知，为方程的两个实根，设，则（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为 D. 为完全平方数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 13. 部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 14. 已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且； （ⅱ）若随机变量，满足，则． 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求． 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17. 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． （1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； （2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 18. 已知函数，为的导数． （1）求在处的切线方程； （2）证明在区间存在唯一极大值点； （3）证明有且仅有2个零点． 19. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，且， 所以. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，， 则，所以 则. 3. 已知一组数据1，2，6，8，10，12，的中位数为，则可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义确定的位置，进而得到其范围，即可得. 【详解】由题设，数据共有7个数，则， 所以中位数是数据从小到大排列后的第4个数，且为， 所以数据从小到大为，即， 结合各选项知可能为7. 4. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 5. 我国自主研制的超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直数量积为的性质，把代入，结合单位向量与向量夹角求出，再利用模长平方等于向量自身平方展开运算，求得． 【详解】由，得， 因为是单位向量，所以， 又与的夹角为，所以， 所以，解得， 所以， ， 所以． 6. 已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 7. 已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为. 故选：C. 8. 已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 10. 已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间单调递减 C. 在区间有两个极值点 D. 使得为偶函数的最小正实数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合选项，利用正弦型函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由 ， 对于A，因为，，且的最小值为， 即函数的最小正周期满足，所以，所以A正确； 对于B，由上分析可得，解得，则， 当时，， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得， 因，由，解得，又， 故当时，；当时，， 即函数在区间有两个极值点和，所以C正确； 对于D，由函数， 因为函数为偶函数，可得，解得， 当时，，所以最小正实数为，所以D不正确. 11. 已知，为方程的两个实根，设，则（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为 D. 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据韦达定理，及完全平方和公式即可求出；选项B，将的表达式代入，利用韦达定理化简后即可判断；选项C，计算前若干项的个位数字，找到周期，进而即可得到对应个位数字；选项D，利用的表达式，结合，的幂次的变形推导其结构，再代入即可判断是否为完全平方数． 【详解】由于，是方程的根，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，故B错误； 又，， 则，， 则， 即， 故，，． 对于C，由，，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为， 可得的个位数字呈周期性变化，循环节为，周期为， 又，余数为，所以的个位数字为，故C正确； 对于D，由，又，可得，是完全平方数，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：正态分布均值为，，故. 考点：正态分布． 13. 部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 14. 已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且； （ⅱ）若随机变量，满足，则． 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题中给的条件，构造随机变量，用题中给的规律计算期望. 【详解】设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数. 设随机变量表示事件第一次发生时已经进行的抛掷次数. 由于每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 记第一个投出的偶数点数为. 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了以外的两个偶数. 设随机变量表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 记第二个出现的偶数点数为. 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了，以外的那个偶数. 设随机变量表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 经过三个步骤，能保证2，4，6点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为1. 随机变量为抛掷骰子直至2，4，6均出现时已经进行的试验次数. . 故 故答案为：11 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质进行求解； （2）由等比数列的求和公式进行求解． 【小问1详解】 设的公差为，则，结合已知得， 所以． 【小问2详解】 ， 所以． 16. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 17. 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． （1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； （2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 【答案】（1） （i）； （ii） （2）选方案一 【解析】 【分析】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【小问1详解】 （i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； 【小问2详解】 记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 18. 已知函数，为的导数． （1）求在处的切线方程； （2）证明在区间存在唯一极大值点； （3）证明有且仅有2个零点． 【答案】（1） （2）由题意知定义域为且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即在区间上存在唯一的极大值点． （3），， ①当时，由（2）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点． ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 当，，当，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点. ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点. 综上所述有且仅有2个零点． 【解析】 【分析】（1）对求导，求，，根据点斜式方程写出切线方程； （2）求二阶导数分析的单调性，分析上零点情况，判断零点个数； （3）分析在的单调性和零点，的单调性和零点，的单调性和零点， 的单调性和零点. 【小问1详解】 ， ，， 切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点. （1）证明和均为定值; （2）设线段的中点为，求的最大值； （3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）椭圆C上不存在三点，使得  【解析】 【分析】（1）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值； （2）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值； （3）假设存在，满足，由（1）得，，，， ，，从而得到的坐标，可以求出方程，从而得出结论. 【小问1详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以 ∵在椭圆上 ∴ ① 又∵， ∴ ② 由①②得，．此时； （ⅱ）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得 故即 又， ∴ ∵点到直线的距离为 ∴ 又 整理得 此时 综上所述结论成立． 【小问2详解】 （ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知 ， 因此． （ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知 所以 ．当且仅当， 即时，等号成立． 综合（1）（2）得的最大值为. 【小问3详解】 椭圆C上不存在三点，使得  证明：假设存在，满足 由（1）得，，，， ， 解得：，. 因此从集合中选取，从集合中选取； 因此只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾. 所以椭圆C上不存在三点，使得  【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $