精品解析：2025年广东省广州市越秀区第十六中学中考二模数学试卷

2024学年第二学期初三模拟测试数学问卷 一、单选题（30分） 1. 下列实数中，比小的数是(　　) A. B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为，，，下列关于这组数据描述错误的是（ ）． A. 中位数是35 B. 众数是35 C. 平均数是35 D. 方差是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义分别求解即可求解． 【详解】解：，，，， 中位数是35； 众数是35；平均数是，方差是， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； 不是同类项，不能合并，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 5. 如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，得出的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得的度数． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 若点在直线上，则下列各点也在直线l上的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将代入求出b的值，再将各选项的横坐标依次代入即可判断． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， ， 当时，，因此不在直线l上，在直线l上； 当时，，因此，不在直线l上； 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是求出b的值． 7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图得出圆锥的底面直径为3，母线长为3，然后根据圆锥侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形， ∴底面直径为3，母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的定义，求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 8. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程化为， 即， ∵， ∴方程没有实数根， 故选D． 9. 在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解，，求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确计算是解题的关键． 10. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得：， ∴， 故选：A． 二、填空题（18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出x、y的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式a，再用完全平安公式分解． 详解】解： ． 故答案为：． 14. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 【答案】240 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故答案为：240． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 15. 如图，在菱形中，与相切于点A，与相切于点C，点B在上，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，连接，由切线的性质得到，则由四边形内角和定理得到，由菱形的性质和圆周角定理得到，求出，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点A，与相切于点C， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，菱形的性质，四边形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是______ 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，设点 ，则，，可得， ，再由，，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得，从而得到 ，再由，即可求解．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N， ∴，轴， 设点，则 ∴， ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点A、G在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故答案为：6． 三、解答题（72分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】直接利用证明即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边互相平行是解题的关键． 19. 已知： （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可； （2）根据反比例函数点特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴； ②是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键． 20. 电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°， 故答案为200、81°； （2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为微信； （3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C， 画树状图如下： 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点，设，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离问； 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于点， 则四边形为矩形， ， 设， 则， 在中，， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； （2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，、点O、点D即为所求． 【小问2详解】 ①证明：连接， ， ， ， ， ， ． 又是的半径， 直线是的切线． ②解：设的半径为r，则，， 在中，， 即， 解得， 故的半径为． 24. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【答案】（1）③ （2）b的值为或或或0 （3）M不存在 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、新定义、等腰三角形的定义、根的判别式、旋转的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据“平衡点”的定义进行判断即可； （2）根据题意表示出点B，再分三种情况，分别利用勾股定理列方程即可解答； （3）根据题意求出抛物线的顶点，利用根的判别式即可解答． 【小问1详解】 解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 同理可得，的图象上不存在“平衡点”， 的图象上存在“平衡点”． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得或， ∵， ∴； 在中，令，得， 解得， ∴， 当A的坐标为时，C的坐标为， ∴，，， 当，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为或或或0． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵点关于的对称点为， ∵旋转后的抛物线解析式为， 在中，令，得， ∴， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴方程有两个相等实数根， ∴，即， 解得：， ∴M坐标为， ∵， ∴M不存在． 25. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值． 【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF； （2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可； （3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可． 试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF， 理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动， ∴DE=CF， 在△ADE和△DCF中 ， ∴， ∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， ∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°， ∴∠ADP+∠DAE=90°， ∴∠APD=180°-90°=90°， ∴AE⊥DF； （2）（1）中的结论还成立， 有两种情况： ①如图1，当AC=CE时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得， ， 则； ②如图2，当AE=AC时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得： ， ∵四边形ABCD正方形， ∴∠ADC=90°，即AD⊥CE， ∴DE=CD=a， ∴CE:CD=2a:a=2； 即CE:CD=或2； （3）∵点P在运动中保持∠APD=90°， ∴点P的路径是以AD为直径的圆， 如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P， 此时CP的长度最大， ∵在Rt△QDC中， ∴， 即线段CP的最大值是. 点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期初三模拟测试数学问卷 一、单选题（30分） 1. 下列实数中，比小的数是(　　) A. B. 4 C. D. 1 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为，，，下列关于这组数据描述错误的是（ ）． A. 中位数是35 B. 众数是35 C. 平均数是35 D. 方差是2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 若点在直线上，则下列各点也在直线l上的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）． A. B. C. D. 8. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 9. 在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A B. C. D. 二、填空题（18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点为，则的值是_____________． 13. 因式分解：___________． 14. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 15. 如图，在菱形中，与相切于点A，与相切于点C，点B在上，则_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是______ 三、解答题（72分） 17. 解不等式组：． 18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：． 19. 已知： （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 20. 电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） （1）求无人机从点B到点C处飞行距离； （2）求四门塔的高度． 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 24. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 25. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$