第七章　复数 综合模拟测试卷 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学第七章复数单元复习卷，全面覆盖复数概念、运算及几何意义，通过基础题与综合题梯度设计，培养数学抽象、运算能力与几何直观，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数虚部、共轭复数、复平面几何意义|基础巩固，如第4题平行四边形顶点对应复数，体现几何直观| |多项选择题|3/18|复数运算、模长、方程根的性质|能力辨析，如第11题结合复数性质判断，培养推理意识| |填空题|3/15|模长计算、实系数方程根、复平面中点坐标|情境应用，如第14题中点复数与面积计算，发展应用意识| |解答题|5/77|复数分类、几何意义、方程综合应用|综合提升，如第19题平行四边形面积求解，融合向量与复数，强化数学思维|

第七章　复数 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数(2-i)i的虚部为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.2i 2.若i(1-z)=1,则z+=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.若z=-1+i,则=(　　) A.-1+i B.-1-i C.-i D.-i 4.复平面内的平行四边形OABC的顶点A和C(O是坐标原点)对应的复数分别为4+2i和-2+6i,则点B对应的复数为(　　) A.2+6i B.2+8i C.6+2i D.8+2i 5.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在(　　) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 6.已知复数z满足|z-i|=1,则|z-3-5i|的最大值是(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 7.在复数范围内,方程x2-4x+5=0的根是(　　) A.2+i B.2-i C.2±i D.无解 8.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:设两个复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2)(r1,r2>0),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].设z=-i,则z2 024的虚部为(　　) A.- B.-i C.- D.-i 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若复数z1=2+3i,z2=1-i,则下列说法正确的是(　　) A.在复平面内对应的点位于第四象限 B.若z1+a(a∈R)是纯虚数,那么a=-2 C.z1z2=-1+i D.若z1,z2在复平面内对应的向量分别为(O为坐标原点),则||= 10.已知复数z满足z=-1+i2 025,则下列关于复数z的结论正确的是(　　) A.|z|= B.复平面内表示复数z的点位于第二象限 C.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根 D.复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的距离为 11.已知z1,z2是复数,则下列结论正确的是(　　) A.若>0,则>- B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2 C.||=||2 D.非零复数z3,满足z1z3=z2z3,则z1=z2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=　　　　.  13.若1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,其中i是虚数单位,则pq=　　. 14.复平面内两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件:①且z2=z1·2i;②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,则△Z1OZ2的面积为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知复数z=+(m2-2m-15)i(i是虚数单位). (1)若复数z是纯虚数,求实数m的值; (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围. 16.(15分)已知复数z=3+mi,m∈R,其中i为虚数单位,若>0. (1)若为z的共轭复数,求在复平面内对应的点的坐标; (2)若复数z是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,求实数b,c的值. 17.(15分)已知复数z满足|z|+-8-4i=0(i为虚数单位). (1)求复数z; (2)若m∈R,ω=zi+m,求|ω|的取值范围. 18.(17分)已知复数z满足z+4为纯虚数,且为实数.若复数(z+mi)2在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围. 19.(17分)如图,已知复平面内平行四边形ABCD中,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为4-4i. (1)求点D对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的面积. 参考答案 1.C　复数(2-i)i=1+2i,故它的虚部为2.故选C. 2.D　∵i(1-z)=1,∴z=1-=1+i,∴=1-i.∴z+=2.故选D. 3.C　=-i,故选C. 4.B　∵,∴点B对应的复数为4+2i+(-2+6i)=2+8i.故选B. 5.B　由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B. 6.C　设z=a+bi(a,b∈R),∵|z-i|=1, ∴|z-3-5i|的最大值即为圆a2+(b-1)2=1的圆心(0,1)与点(3,5)的距离加半径1,即为+1=5+1=6,故|z-3-5i|的最大值是6.故选C. 7.C　由Δ=16-4×5=-4,则方程的根为=2±i.故选C. 8.C　由z=-i=cos+isin,可得z2 024=cos2 024×+sin2 024×i=cos+sini=-i.故虚部为-.故选C. 9.ABD　=2-3i在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限,故A正确; ∵z1+a=2+a+3i是纯虚数,∴a+2=0,解得a=-2,故B正确; z1z2=(2+3i)(1-i)=5+i,故C错误; ||=|z2-z1|=|1-i-(2+3i)|=|-1-4i|=,故D正确.故选ABD. 10.ABC　∵i2 025=i·i2 024=i,∴z=-1+i2 025=-1+i,|z|=,故A正确; 复平面内表示复数z的点为(-1,1),位于第二象限,故B正确; ∵(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,∴复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故C正确; ∵|z-z1|=|-1+i-1-2i|=|-2-i|=,故复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的距离为,故D错误.故选ABC. 11.CD　对于A,设z1=2-i,z2=2+i,则=3-4i,=3+4i,满足>0,但不能比较大小,故A错误; 对于B,设z1=2-i,z2=2+i, 则|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B错误; 对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),则=a2-b2+2abi,||==a2+b2,=a-bi,||=,则||2=a2+b2,故C正确; 对于D,因为z1z3=z2z3,且z3是非零复数,所以两边同时除以z3得z1=z2,故D正确.故选CD. 12.　∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i, 则|z+3i|=|1+2i|=. 13.-10　因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,则1+2i是该方程的另一个根, 所以由根与系数的关系可得 解得所以pq=-10. 14.20　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1·2i=(a+bi)·2i=-2b+2ai,∴Z1(a,b),Z2(-2b,2a). 又两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i, ∴解得 ∴Z1,-,Z2, ∴||==2, ||==4.又, ∴△Z1OZ2的面积为S=×2×4=20. 15.解(1)复数z是纯虚数,则=0且m2-2m-15≠0,解得m=3. (2)z在复平面上对应的点位于第四象限,则>0且m2-2m-15<0,解得3<m<5,所以实数m的取值范围为(3,5). 16.解 (1)∵i, 又>0,∴=0,解得m=9,∴z=3+9i, ∴=3-9i,则在复平面内对应的点的坐标为(3,-9). (2)∵z=3+9i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根, ∴(3+9i)2+b(3+9i)+c=0,得(3b+c-72)+(54+9b)i=0,∴解得 17.解设z=a+bi(a,b∈R). (1)由|z|+-8-4i=0,得+a-bi-8-4i=0, 则解得∴z=3-4i. (2)|ω|=|(3-4i)i+m|=|4+m+3i|=, ∵m∈R,∴|ω|≥3, 故|ω|的取值范围是[3,+∞). 18.解设z=x+yi(x,y∈R),则z+4=(x+4)+yi. ∵z+4为纯虚数,∴x+4=0且y≠0,即x=-4,y≠0. 又i为实数,∴2y-4=0,即y=2.∴z=-4+2i. ∵m为实数,且(z+mi)2=[-4+(m+2)i]2=(12-4m-m2)-8(m+2)i, ∴由题意知解得-2<m<2. ∴实数m的取值范围为(-2,2). 19.解(1)由对应的复数为4-4i,得=(4,-4).设点D在复平面内对应的复数为x+yi(x,y∈R),则=(x+1,y). ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴,可得解得x=3,y=-4,故点D对应的复数为3-4i. (2)由题意可知=(2,2),=(4,-4),可得=0, ∴.又||=2,||=4, ∴平行四边形ABCD的面积S=2×4=16. 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $