学易金卷：高一数学下学期第一次月考卷02（浙江专用，测试范围：人教A版必修第二册第六章平面向量-第七章复数）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考 答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 ! 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 烘 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) ■ 1[A][B][CD] 5[A][B][C]D] 2[A][B][CD] 6 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A]B][CD] 4A][B][CD] 8[A]B][C]D] 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分， 共18分) 9[A][B][CD] 10A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 豪 12 13 14 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (近9并)近S患素谁 :※壬落易佣海☒兴的到狂毋盖吊爵‘易4年☒易嘲目瑶号#巢 (LI)8I i必￥業易州年☒兴的到项狂联身盖吊群·易海☒疆易明目醋号巢 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 4．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量，，若与共线，则实数（   ） A．2 B． C．6 D． 7．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 11．已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上 C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，则的最小值是______________． 13．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 14．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 16．（15分） 已知复数为虚数单位． (1)若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； (3)当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 17．（15分） 已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量，求实数的取值． 18．（17分） 已知向量，，且. (1)计算并化简：； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 19．（17分） 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 4．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量，，若与共线，则实数（   ） A．2 B． C．6 D． 7．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 11．已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上 C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，则的最小值是______________． 13．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 14．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 16．（15分） 已知复数为虚数单位． (1)若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； (3)当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 17．（15分） 已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量，求实数的取值． 18．（17分） 已知向量，，且. (1)计算并化简：； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 19．（17分） 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，故， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 3．向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 4．如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设，则，故， 故，则，故“”“”； 若，则，则，故“”“”. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．已知向量，，若与共线，则实数（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】已知，，可得： 因为与共线，，，可得： 求解：实数. 故选：B. 7．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，则 对于A中，， 所以与不能恒成立，所以A符合题意； 对于B中，由， 所以恒成立，所以B不符合题意； 对于C中，由， ， 因为与不一定相等，所以不恒成立，符合题意； 对于D中，由， 所以恒成立，所以D不符合题意. 故选：AC. 10．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，设， 则，当时，取得最大值为5，C错误； 对于D，,， ，则 ， 由，得， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：AD 11．已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上 C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】 如图所示，设中点为，则， 由已知， 则， 又为直角三角形， 则，即， 所以，A选项正确； 由， 又，且，， 所以点在线段上，即点在斜边的中线上，B选项正确； 所以点的轨迹的长度为，C选项错误； D选项：，设，， 则，， 所以， D选项正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】设，则其在复平面内对应点的坐标为， 由可知，到的距离为，则在以为圆心，半径为的圆上； 同时，其表示到的距离； 数形结合可知，的最小值为. 故答案为：. 13．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【答案】13 【详解】因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 故答案为：13 14．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 【答案】 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为. 16．（15分） 已知复数为虚数单位． (1)若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； (3)当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由题意得，解得． （2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （3）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，． 17．（15分） 已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量，求实数的取值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由，的夹角为，得， 所以．则． （2）由（1）知，，而 所以在上的投影向量为. （3）由向量与向量垂直，得， 即，则， 整理得，所以. 18．（17分） 已知向量，，且. (1)计算并化简：； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以. （2）由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为， 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 19．（17分） 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1)． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）（ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C C B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．． 13．13 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为.（6分） （2）由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为.（13分） 16．（15分）【答案】(1)；(2)；(3)， 【详解】（1）由题意得，解得．（2分） （2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为．（8分） （3）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，．（15分） 17．（15分）【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）由，的夹角为，得， 所以．则．（3分） （2）由（1）知，，而 所以在上的投影向量为.（8分） （3）由向量与向量垂直，得， 即，则， 整理得，所以.（15分） 18．（17分）【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，， 所以.（4分） （2）由同角三角函数的平方关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为.（10分） （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图象开口向上，对称轴方程为，（13分） 当，即时，最小值为，解得（舍去）；（14分） 当，即时，最小值为，（15分） 解得或（舍去）； 当，即时，最小值为.（16分） 综上可知，.（17分） 19．（17分）【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为．（4分） （2）（ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以；（9分） （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ，（12分） 由△ABC是锐角三角形，有，得，，（14分） 则，所以， 即面积的取值范围是．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $