第七章 复数 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学复数单元卷，120分钟150分，涵盖复数概念、运算、几何意义，题型全面且梯度分明，适配单元复习，助力数学眼光、思维、语言素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|纯虚数条件、复数运算、几何意义、模|结合充分必要条件辨析概念，多选分类讨论提升推理能力| |填空题|3题15分|对称点、向量旋转、方程求实根|融入几何变换体现空间观念，方程问题考查模型意识| |解答题|5题77分|复数方程、模的最值、几何意义应用、三角形式|18题结合模与几何意义求三角形面积，19题用三角形式考查运算与推理，综合提升数学思维|

第七章 复数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R),则a,b的值分别等于(　　) A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4 3.已知复数z=-1,在复平面内z所对应的点在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若复数z=-1-i,则等于(　　) A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i 5.已知在复平面内,向量对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则对应的复数是(　　) A.-6i B.6i C.5i D.-5i 6.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若为纯虚数,则|z1|等于(　　) A B C.2 D 7.若z=cos θ+isin θ,则使z2=-1的θ值可能是(　　) A B C D 8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是(　　) A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.不确定 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知(x+i)(1-i)=y,则下列说法正确的是(　　) A.若x,y为实数,则x=1,y=2 B.若x,y为实数,则|x+yi|=3 C.若x为实数,y为纯虚数,则x=-1,y=2i D.若x为实数,y为纯虚数,则复数x+yi为实数 10.已知复数z=(1-2i)(a+i)(a∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若复数z为实数,则a= B.若复数z为纯虚数,则a=-2 C.若复数z在复平面内对应的点在第四象限,则a> D.若z=10,则a=1 11.设z1,z2是复数,则下列说法正确的是(　　) A.若|z1+z2|=0,则 B.若z1=,则=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1=z2 D.若|z1|=|z2|,则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　,=　　　　　.  *13.在复平面内,将复数1+i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是　　　　　(用代数形式表示).  14.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2. 16.(15分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R. (1)若复数z1为实数,求m的值; (2)求|z1+z2|的最小值. 17.(15分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 18.(17分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 19.(17分)已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2的值. 第七章 复数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足即a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0. 结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C. 2.A 3.z=-1=-1=-1+i,对应的点为(-1,1),位于第二象限. B 4.由题意可得=-1+2i,故选C. 5.=-, 对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i. C 6.由于为纯虚数,则故a=1, 即z1=2+i,则|z1|=,故选D. 7.∵z2=(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ=-1, ∴2θ=2kπ+π(k∈Z). ∴θ=kπ+(k∈Z),令k=0知选D. 8.z1·z2=(a+bi)(cos A+icos B) =(acos A-bcos B)+(acos B+bcos A)i, ∵z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上, ∴acos A-bcos B=0, 即sin Acos A-sin Bcos B=0, ∴sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B或2A+2B=π, ∴A=B或A+B= ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.A项中,∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i, ∴(x+1)+(1-x)i=y. 解得故A正确. B项中,由A项知,x+yi=1+2i,所以|x+yi|=,故B不正确. C项中,设y=bi(b∈R),∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,∴(x+1)+(1-x)i=y=bi. ∴x=-1,y=2i,故C正确. D项中,由C项知,x+yi=-1+2i×i=-1-2=-3,故D正确. ACD 10.z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i, A项中,∵z为实数, ∴1-2a=0,a=,故A正确; B项中,∵z为纯虚数, ∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2,故B正确; C项中,∵z对应的点在第四象限, ∴a+2>0,且1-2a<0,∴a>,故C正确; D项中,∵z=|z|2=(a+2)2+(1-2a)2=5a2+5=10,∴a=±1,故D不正确. ABC 11.对于A,若|z1+z2|=0,则z1+z2=0,z1=-z2,故不正确;对于B,若z1=,则z1和z2互为共轭复数,故=z2;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若|z1|=|z2|,则,z1·,z2·,故z1·=z2·;对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,而=1,=-1,故不正确. BC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. ∵点(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3), ∴z2=-2+3i. ∴=-1. -2+3i　-1 *13.对应的复数是(1+i)(cos+isin)=(1+i)2=i. 14. 设m=bi(b∈R,且b≠0), 则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0, 化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0, 即 解得 故m=4i. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i. 设z2=a+2i(a∈R), 则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1z2∈R, ∴a=4, ∴z2=4+2i. 16 (1)由复数z1为实数, 则m2-2m=0,解得m=2或m=0. (2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|=, 故当m=0时,|z1+z2|取得最小值,为. 17 设z=x+yi(x,y∈R), ∵z+2i=x+(y+2)i是实数, ∴y=-2. ∵(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i是实数, ∴x=4, ∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 根据条件,可知解得2<a<6. ∴实数a的取值范围是(2,6). 18. (1)设z=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得,a2+b2=2,① ∵z2=a2-b2+2abi, ∴2ab=2.② 由①②解得a=b=1或a=b=-1, 即z=1+i或z=-1-i. (2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i, 即点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 得S△ABC=|AC|·1=×2×1=1; 当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i. 即点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 得S△ABC=|AC|·1=×2×1=1. 故△ABC的面积为1. 19. 由z1+i,得 cos α+isin α+i, 则cos α+isin α+cos β+isin β=i, 即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=i. 得 得 即cos2α+sin2α==1, 整理,得cos β=1-sin β,代入sin2β+cos2β=1, 可解得sin β=0或sin β=. 当sin β=0时,cos β=1,cos α=-,sin α=; 当sin β=时,cos β=-,cos α=1,sin α=0. 故z1=-i,z2=1或z1=1,z2=-i. 学科网（北京）股份有限公司 $