精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年高一下学期第二次阶段考试数学试卷

2025-2026年度第二学期高一第二次阶段性考试试题 高一数学 一．选择题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题干 ，计算 ，得  所以. 所以 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为； 由第百分位数的位置计算公式为. 样本容量，得. 根据百分位数定义，当位置不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为不是整数，向上取整得，即取排序后第项，排序后第项数据为. 因此该组数据的第百分位数为. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题得，， 所以，故B正确. 4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若，则，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 5. 已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上的投影向量为. 6. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答. 【详解】设，在中，，， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 在中，， 即 ， 由，得， 于是，解得， 所以滕王阁的高度. 7. 已知，则的值（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 8. 在中，（，，分别为角，，的对边），则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的实部为1，正确； 对于B，的共轭复数为，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面EFPQ C. 平面EFPQ D. 直线和所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】A．如图所示， 因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为几何体为长方体，所以平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以，故结论正确； B．如图所示， 假设平面，因为平面，所以， 显然不成立，故假设错误，所以结论错误； C．如图所示， 连接，由条件可知，所以， 又因为，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故结论正确； D．如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角， 由条件可知：，所以，故结论正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 是有实根的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简，然后根据三角函数的性质逐项分析判断选项. 【详解】对于进行化简，根据平方差公式可得 ． 对于A，根据余弦函数的周期公式，可得最小正周期，故A正确． 对于B，，而余弦函数对称轴处函数值应为，所以不是的对称轴，故B错误． 对于C，当时，，此时在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确． 对于D，的值域是，所以是有实根的充要条件，故D错误． 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】用诱导公式化为同角，然后逆用两角和的正弦公式求解． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是，故答案为：. 【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角. 14. 若函数在时取得最小值，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的正、余弦公式求出的值． 【详解】对于函数， 其中，，． 当时，函数取得最小值， ∴，即，∴． 则，解得 故答案为：． 【点睛】本题主要考查辅助角公式，两角和的正、余弦公式，属于中档题． 四、解答题（共77分） 15. 某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）求理科综合分数的平均数和中位数； 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据各矩形的面积和为1可求的值. （2）利用频率分布直方图的平均数和中位数估计公式，可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得 ， 解得：. （2）理科综合分数的平均数为： . 由于 因此理科综合分数的中位数在内， 设中位数为，由，可得， ∴月平均用电量的中位数为224 16. 已知向量，向量与向量的夹角为. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由公式，代入数值求解； （2）由得，从而解得的值. 【小问1详解】 ，. . 【小问2详解】 ，且 ，即， 解得. 17. 如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． （1）证明：平面； （2）当为何值时，平面，并写出其证明过程． 【答案】（1）∵底面是菱形，， ． ，，，， ． 同理，． 又平面，平面，平面， 平面． （2）当时，平面，证明如下： 当时，点为的中点． 连接交于点，则是的中点． 连接，则． 又平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证明，，并根据线面垂直的判定定理证明平面； （2）当时，根据线面判定定理结合条件可证平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得，从而得到角的大小； （2）由余弦定理和基本不等式即可求出的范围，再根据三角形的面积公式求出面积的范围. 【小问1详解】 由题意得，由正弦定理得， 又因为，则有， 由于，则有，而，所以在中，. 【小问2详解】 由（1）得，，根据余弦定理有， 代入得，即，当且仅当时取等号， 所以，因此面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期高一第二次阶段性考试试题 高一数学 一．选择题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 5. 已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 7. 已知，则的值（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 在中，（，，分别为角，，的对边），则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面EFPQ C. 平面EFPQ D. 直线和所成角的余弦值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 是有实根的充要条件 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的值是______. 13. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 14. 若函数在时取得最小值，则的值为______. 四、解答题（共77分） 15. 某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）求理科综合分数的平均数和中位数； 16. 已知向量，向量与向量的夹角为. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 17. 如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． （1）证明：平面； （2）当为何值时，平面，并写出其证明过程． 18. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $