精品解析：甘肃兰州市永登县第六中学2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试题

2025-2026学年高一数学下学期第一次质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 设 为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段上 C. 点在线段上 D. 四点共线 7. 已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意向量都有 D. ，则与中至少有一个为 10. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，，分别表示，的面积，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则______ 13. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简 （2）设向量，，求． 16. 已知． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 17. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 18. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次质量检测 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形,如图,则 ， 故选：A. 3. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 4. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 6. 设 为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段上 C. 点在线段上 D. 四点共线 【答案】B 【解析】 【分析】对已知向量表达式变形推导得到三点共线，结合λ的取值范围判断点的位置，再结合点位置不确定的特点判断各选项即可. 【详解】由，移项可得 ，即，所以三点共线， 已知 ，因此与方向相同，且，故点在线段上， 对于A，若点在线段上，需满足，与题设 矛盾，故A错误； 对于B，由上述推导可知，点在线段上，故B正确； 对于C，若点在线段上，需满足，与题设范围矛盾，故C错误； 对于D，题干未给出与直线的位置关系，无法判定 四点共线，故D错误. 7. 已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有实根及向量的数量积求解即可. 【详解】因为关于的方程有实根， 所以， 因为，所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是． 故选：B 8. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意向量都有 D. ，则与中至少有一个为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，根据向量的基本概念，结合数量积的运算，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据向量相等的概念，两向量相等，则其方向和大小都相同，故A正确； 对于B选项，向量是既有大小又有方向的量，而方向是不能比较大小的，不能得出，故B错误； 对于C选项，根据向量数量积和数乘的运算，表示与共线的向量， 而表示与共线的向量，但与不一定共线，故C错误； 对于D选项，当均不为，且夹角为时，满足，故D错误. 10. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，，分别表示，的面积，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断、、、的结论． 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，若，则点为三角形的重心， 即，故B正确； 对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D：若，，则，此时不存在使得成立，故D错误； 故选：BC． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则______ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 故，则. 13. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义： 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 16. 已知． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【小问1详解】 若，则与的夹角为0或． 所以或． 【小问2详解】 因为 ， 所以． 【小问3详解】 若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 17. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【小问1详解】 由平行四边形，可得; ，， ，即. 【小问2详解】 由（1），又， 所以， 所以三点共线. 18. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因，所以，又因为的中点，所以， 所以． 【小问2详解】 因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． 【小问3详解】 设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $