精品解析：北京市第四十三中学 2025-2026 学年度第二学期期中考试 初二年级 数学试卷

北京市第四十三中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初二年级 数学试卷 （时间：100分钟） 考生须知 1．本试卷共4页，四道大题，28道小题．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 6. 一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（ ） A. 4 B. C. D. 4或 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 10. 在实数范围内分解因式：_______． 11. 如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 __． 12. 点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 13. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为_______． 14. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 15. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 三、解答题（第17题每小题3分，第18-23题每题6分，第24-25题每题8分，第26题每题7分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 20. 如图，在四边形中，，，，，求的度数和四边形的面积． 21. 某通讯公司推出两种手机收费套餐： •套餐A：月租费20元，每分钟通话费0.2元； •套餐B：无月租费，每分钟通话费0.3元． 设每月通话时间为分钟，费用为元． （1）分别写出两种套餐的费用与通话时间的函数关系式； （2）若每月通话时间为400分钟，选择哪种套餐更省钱？ （3）若每月预算话费为100元，选择哪种套餐可通话时间更长？最长通话时间为多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过原点，且与直线交于点A（m，2），直线与y轴交于点B． （1）求直线的函数解析式； （2）点P（0，n）在y轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别与直线，交于点M，N．若，求n的值． 23. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路补全以下证明过程． 证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， = ， ． 24. 【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 25. 平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义： 若 则称点为点的可变点．例如：点的可变点的坐标是 ，点 的可变点的坐标是 ． （1）①点的可变点的坐标是 ； ②在点， 中有一个点是函数图象上某一个点的可变点，这个点是 ；（填“A”或“B”） （2）若点在函数 的图象上，求其可变点的纵坐标的取值范围； （3）若点A在函数y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）的图象上，其可变点B的纵坐标n的取值范围是-5≤n'≤3，直接写出a的取值范围. 26. 在中，，，于点D，过点B作，P是线段上一点，连接，作，交射线于点Q． （1）如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，点E为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 四、选做题（共10分，其中第27题4分，28题6分） 27. 已知，是两个连续的正偶数，，，． （1）当时，__________； （2）当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 28. 在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． （1）如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； （2）若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； （3）如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第四十三中学2025-2026学年度第二学期期中考试 初二年级 数学试卷 （时间：100分钟） 考生须知 1．本试卷共4页，四道大题，28道小题．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】先判断最长边，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可求解． 【详解】解：对选项：最长边为，，，，不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项：最长边为，，，，不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项：最长边为，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； 对选项：最长边为，，满足勾股定理逆定理，能构成直角三角形，符合题意． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、根据二次根式乘法性质，可得， 计算正确； 、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； 、，计算错误； 、，计算错误． 4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一次函数的性质求解，一次函数中，当一次项系数时，函数值随的增大而增大，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】一次函数的函数值随的增大而增大， ， 解得． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，∴A错误； ∵菱形本身四边相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的定义，∴B正确； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，∴C错误； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，∴D错误． 6. 一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（ ） A. 4 B. C. D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】题目未说明已知边长中哪条边是斜边，需分两种情况，利用勾股定理计算第三边长，再判断选项． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，已知两边长为3和5，未明确斜边， ∴分两种情况计算第三边长； 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边长为 ； 当3和5均为直角边长时，第三边长即斜边长为； ∴第三条边是或 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：D． 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 10. 在实数范围内分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 __． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 12. 点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 13. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质与判定，利用矩形的性质可知矩形的对角线相等且互相平分，再根据即可得到为等边三角形． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，且， 为等边三角形， ． 14. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】由菱形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=24cm2， 即AC•BD=6AC=48， ∴AC=8， 即AC的长为8cm， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键． 15. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得到，，然后出的邻边长求出面积即可． 【详解】解：延长交于点H， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴，， 又∵， ∴是矩形， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 三、解答题（第17题每小题3分，第18-23题每题6分，第24-25题每题8分，第26题每题7分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，把算式各部分化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）根据平方差公式和二次根式的性质进行计算即可； （3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】观察所求代数式，因为其符合平方差公式的形式，所以优先考虑用平方差公式因式分解，将其转化为的形式，简化计算．根据已知的和的表达式，分别计算与的值．把计算得到的和的结果相乘，即可得到最终的代数式的值． 【详解】解：． ∵， ， ∴． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，，，求的度数和四边形的面积． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理．连接，可得是等腰直角三角形，因此，，从而得到，可判定是直角三角形，，因此，，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴ ． 21. 某通讯公司推出两种手机收费套餐： •套餐A：月租费20元，每分钟通话费0.2元； •套餐B：无月租费，每分钟通话费0.3元． 设每月通话时间为分钟，费用为元． （1）分别写出两种套餐的费用与通话时间的函数关系式； （2）若每月通话时间为400分钟，选择哪种套餐更省钱？ （3）若每月预算话费为100元，选择哪种套餐可通话时间更长？最长通话时间为多少？ 【答案】（1）套餐A：；套餐B： （2）选择套餐A更省钱 （3）选择套餐A可通话时间更长，最长为400分钟 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和求一次函数等知识点， （1）根据题意即可列出套餐A和套餐B的函数解析式 （2）将代入套餐A和套餐B，分别求得其函数值，比较大小即可知套餐A更省钱； （3）将已知的费用代入求出各自对应的时间，比较大小选择通话时间更长，同时可知时长． 【小问1详解】 解：根据题意知，套餐A：， 套餐B：， 【小问2详解】 解：当时， 元； 元． ∵ ， ∴ 选择套餐A更省钱； 【小问3详解】 解：套餐A：令，则，解得分钟； 套餐B：令，则，解得分钟． ∵ ， ∴ 选择套餐A可通话时间更长，最长为400分钟． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过原点，且与直线交于点A（m，2），直线与y轴交于点B． （1）求直线的函数解析式； （2）点P（0，n）在y轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别与直线，交于点M，N．若，求n的值． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线l1的表达式为：y＝kx（k≠0），再把A点的坐标代入y＝﹣x+3，求出m，再把A点的坐标（1，2）代入y＝kx即可； （2）求出OB＝3，设M（，n），N（3﹣n，n），求出MN＝|3﹣n|，再根据MN＝2OB求出答案即可． 【小问1详解】 把点A的坐标（m，2）代入函数y＝﹣x+3得：2＝﹣m+3， 解得：m＝1， 所以点A的坐标是（1，2）， 设直线l1的表达式为：y＝kx（k≠0）， 把点A的坐标代入得：2＝k， 解得：k＝2． 所以直线l1的表达式为：y＝2x； 【小问2详解】 y＝﹣x+3中， 当y＝0，﹣x+3＝0， 解得：x＝3， 所以点B的坐标是（3，0）， 即OB＝3， ∵MN∥x轴， ∴，N（3-n，n）， ∴ ∵， ∴， ∴3﹣n±6， 解得或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线相交与平行问题，用待定系数法求一次函数的图象等知识点，能求出点A、B的坐标是解此题的关键． 23. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路补全以下证明过程． 证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， = ， ． 【答案】，，，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，作，垂足为点，设与的交点为，由得，进而可得，得到，又由四边形为矩形得，即得，即得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：，，，，，，，． 24. 【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义： 若 则称点为点的可变点．例如：点的可变点的坐标是 ，点 的可变点的坐标是 ． （1）①点的可变点的坐标是 ； ②在点， 中有一个点是函数图象上某一个点的可变点，这个点是 ；（填“A”或“B”） （2）若点在函数 的图象上，求其可变点的纵坐标的取值范围； （3）若点A在函数y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）的图象上，其可变点B的纵坐标n的取值范围是-5≤n'≤3，直接写出a的取值范围. 【答案】（1）①②A；（2）3≤≤5或-3≤≤2.（3）7≤k≤9. 【解析】 【分析】（1）①根据定义即可求解；②先求出A,B的可变点，再判断是否在直线上即可； （2）将自变量在x=1分开即可求解. 【详解】（1）①由定义可知，＞1，∴点的可变点的坐标是 ②点的可变点为（-1，-2），在函数图象上 的可变点为（2，-4），不在函数图象上． 故这个点为点A； （2）若点在函数 的图象上，设A（x,x+2） 当1≤x≤3时，3≤x+2≤5，即3≤≤5， 当-4≤x＜1时，-3≤-( x+2)≤2，即-3≤≤2， ∴纵坐标的取值范围为3≤≤5或-3≤≤2. （3）依题意，y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）图象上的点A的可变点B必在函数的图象上，当x=1时，n’取最大值，n'=-1+4=3， 当n'=-5时，x-4=-5或-x+4=-5，∴x=-1或x=9， 当n'=-3时，-x+4=-3，∴x=7. ∵-5≤n'≤3， ∴由图象可知，的取值范围时：7≤≤9. 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质. 26. 在中，，，于点D，过点B作，P是线段上一点，连接，作，交射线于点Q． （1）如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，点E为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得．由外角定义可得． （2）在上取点N，使得，连接．则．可得．再证 ，得．由．可得．则． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ， ． 【小问2详解】 解：与的数量关系为：． 证明：如图，在上取点N，使得，连接． ， ． ． ， ． ， ，． ． ，， ． 在和中 ． ． ∵E是的中点， ． ， ． ． 四、选做题（共10分，其中第27题4分，28题6分） 27. 已知，是两个连续的正偶数，，，． （1）当时，__________； （2）当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2； （2）定值，2． 【解析】 【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可； （2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是两个连续的正偶数，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：设(x为任意正整数)，则， ∴， ∴ ． ∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． （1）如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； （2）若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； （3）如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，从图象中即可判断出答案；②取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，可证，那么，，此时点与点重合，点落在线段上，然后利用勾股定理可求得的长度，得到点坐标； （2）当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于，那么或．同理讨论出那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于，那么．当“美好点”在线段时，；当“美好点”在线段时，那么或，从而得出答案． （3）由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和；同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，， ，，， 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合，从而求得答案． 【小问1详解】 解：①由题意可知，和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，如图所示： 从上图可知，线段上的点都在该正方形的内部，那么在是正方形的“美好点”； 故答案为：； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，． ， 取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，如图所示： 在线段上，不妨设， 点纵坐标为2， 不妨设，那么， ， ， ，，， ， ， 点在第一象限， 点在第一象限， ，， ， ，， 点与点重合，点落在线段上，如图所示： 将沿着射线的方向平移2个单位，得到， ， ， ，， ， ， ， （舍去负值）， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：直线上存在正方形的“美好点”， 点为直线与正方形的交点， 当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到， ， ， 如图所示： 同理可求得当落在线段上，可求得，将代入，得到，可求得，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往左移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 根据正方形的对称性，可知，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 当“美好点”在线段或者时，可知点在，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 当落在线段上，点在第二象限，由（1）②可知，，， ， ， ， ， 不妨设，那么，， ， ， （舍去负值）， ， 为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往上移动； 同理可求得当落在线段上，，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往下移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段或时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于． 综上，可知正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和，如图所示： 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 综上，当正方形的美好点在、上移动时，或； 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 那么当正方形的美好点在、上移动时，； 或或； 【小问3详解】 解：与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上，如图所示： 由题意可知，， 已知正方形的顶点坐标分别为，，，， ， ，，，， 由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动， 其中，，和，，，和； 同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，，， ，，，即如图所示： 设直线为，代入和， 有， 解得， 那么直线为； 同理可求得直线为：； 直线为：； 直线为：， 直线为：， 直线为： 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合， 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 那么当直线在直线和之间移动，； 直线在和之间移动，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了“美好点”，旋转的性质，一次函数与几何综合，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能读懂“美好点”的含义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $