精品解析：北京市鲁迅中学2025-2026学年第二学期学情调研八年级数学

北京市鲁迅中学 2025-2026学年第二学期学情调研 初二数学 2026.4 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共110分．时长100分钟． 第一部分（共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意． 故选：D． 2. 在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角互补 C. 对边平行 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可． 【详解】解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等， ∴选项B不正确； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二次根式的运算的知识进行作答，需逐一验证各选项的正确性，然后即可求解； 【详解】选项A：， 合并同类项，系数相加：，但结果误写为，故错误； 选项B：， 化简：，但结果误写为，故错误， 选项C：， 利用根式除法法则：，计算正确， 选项D：， 被开方数为，故，但结果误写为，故错误， 故选：C； 4. 如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 5. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据勾股定理逆定理，若三边长满足“较小两边的平方和等于最长边的平方”，则可作为直角三角形的三边长，需逐一验证各选项是否满足该条件，然后即可求解； 【详解】解：选项A：1，2，3， 最长边为3，验证，不满足勾股定理， 且，无法构成三角形； 排除A； 选项B：2，3，4， 最长边为4，验证，不满足勾股定理， 虽能构成三角形，但非直角三角形； 排除B； 选项C：1，1，， 最长边为，验证，满足勾股定理， 且，能构成三角形， 选项C正确； 选项D：1，1，1， 三边相等，为等边三角形，各角均为60°，非直角三角形， 排除D； 故选：C； 6. 将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，利用初中一次函数平移“上加下减”的规则即可解答，沿y轴向上平移，只需在原函数常数项上加平移长度． 【详解】解：∵一次函数图象沿y轴平移时，不改变一次项系数，沿y轴向上平移遵循“上加下减”的平移规则， 原函数解析式为，向上平移3个单位长度， ∴平移后的解析式为， 化简得， 故选：A． 7. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（ ） A. 的最大值为9，最小值为3 B. 的最大值为，最小值为3 C. 的最大值为9，最小值为2 D. 的最大值为，最小值为1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 第二部分（共86分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得到，和互补，运算求解即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉利用平行四边形的性质获取相关信息是解题的关键． 11. 若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数，随增大而增大， 则， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标是(4，0)，则点B的坐标为_______． 【答案】（0，3） 【解析】 【分析】先根据菱形的性质确定菱形的长度，再设B点的坐标为（0，y），最后根据两点之间的距离公式即可求得B点的坐标． 【详解】解：设B点的坐标为（0，y），根据菱形的性质，得AB=20÷4=5； 由两点间距离公式可得：（y＞0），解得y=3， 所以B点坐标为（0，3）． 故答案为（0，3）． 【点睛】本题考查了菱形的性质和两点间的距离公式，掌握菱形的性质和两点间的距离公式是解答本题的关键． 13. 如图，在正方形中，点P是对角线上一点，且，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形，得，根据，得，解答即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据正方形中，点P是对角线上一点，得， 又， 故． 故答案为：． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点，求出的长度是解题关键． 15. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质． 直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为12和27， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：36． 16. 在图1所示的的网格内有一个八边形，网格中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图所示的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后得到的四个五边形重新拼接（图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为．若大正方形的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图与勾股定理，正方形的面积，解题的关键是求出四个全等五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：∵网格中小方格边长为， ∴正方形②的边长为 正方形②的面积：， ∵大正方形的面积为， ∴四个全等的五边形面积和（阴影部分面积）为， 由图1可知，八边形的面积为， ∴由图2可知，小正方形①的面积：， ∴． 故答案为：． 三、问答题：本大题共8小题，共60分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，E，F为上两点，连接，，，，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先利用平行四边形的对角线互相平分，得到，通过等量代换，得到，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】略． 19. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） （3）若，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3） 【解析】 【分析】本题考查尺柜作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据菱形的性质得，由勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴， 又∵， .四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）； 故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【答案】学校应付费用3600元 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，证明得到，根据求出这块地的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， （元）． 答：学校应付费用3600元． 21. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用描点法画出一次函数图象，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先分别确定函数值为和所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解； （3）直接利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图， 把，分别代入得， 解得， 这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 解得， 当时，的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 ，，， 的面积． 故答案为：． 23. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； （3）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； （5）进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】（1）一切实数 （2） （3）图象见解析 （4）①2；② （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式的意义条件得，求解即可； （2）把代入 中，求出y值即为m值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解； ②根据图象可知：当时，，当时，，当时，，又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，可得出答案； （5）由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小．当，，都有，故M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，从而可求出t的范围． 【小问1详解】 解：由二次根式的意义条件，得 解得：x为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数　 故答案为：一切实数． 【小问2详解】 解：把代入 中，得 ， ∴． 【小问3详解】 解：函数的图象如图所示： 【小问4详解】 解：如图， ①∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解； ②由图可得：当时，， 当时，， 当时，， 又当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，的取值范围是． 【小问5详解】 解：由题意，结合（2）可得，对于函数的图象的对称轴是直线，时，y随x的增大而减小，而时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴ ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． 【小问3详解】 ．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 四、选做题：本大题共2小题，共10分． 25. 阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长，进而解决问题． （1）的长为 ； （2）类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】（1）15 （2）10 【解析】 【分析】（1）按照所构造的图形，易得到，，再勾股定理求解即可． （2）仿照题目的构造方式，构造直角边为2和x，和4的直角三角形，然后勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图构造图形， 中，，，，则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 同（1）理，可得，， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 26. 在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． （1）如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； （2）已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①，；②2， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“倍增点”的意义． （1）①根据“倍增点”的定义逐个判断即可； ②表示出的中点为，可知在线段上，故，，即可解得答案； （2）设，可得的中点为，由在直线上，有，解得，故，根据点M的横坐标为n，点M在直线上，点N在直线上，，可得或，当，时，，解得：；当，时，，解得：． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； 故答案为：，； ②∵，， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵，， ∴，， 解得：，； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：由P在直线上，设， ∵， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵点M，N在直线上， ∴在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵点M的横坐标为n，点M在直线上， ∴， ∵点N在直线上，， ∴或， 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； ∴n的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市鲁迅中学 2025-2026学年第二学期学情调研 初二数学 2026.4 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共110分．时长100分钟． 第一部分（共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对角互补 C. 对边平行 D. 对角相等 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 6. 将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 8. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（ ） A. 的最大值为9，最小值为3 B. 的最大值为，最小值为3 C. 的最大值为9，最小值为2 D. 的最大值为，最小值为1 第二部分（共86分） 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 在平行四边形中，若，则_______． 11. 若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是_____． 12. 如图，菱形ABCD的周长为20，点A的坐标是(4，0)，则点B的坐标为_______． 13. 如图，在正方形中，点P是对角线上一点，且，则________°． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是____________． 15. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为_____． 16. 在图1所示的的网格内有一个八边形，网格中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图所示的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后得到的四个五边形重新拼接（图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为．若大正方形的面积为，则_______． 三、问答题：本大题共8小题，共60分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，E，F为上两点，连接，，，，且，求证：四边形为平行四边形． 19. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接． 四边形ABCD为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明． 证明：平分， ， 又， 四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据） 又 平行四边形是菱形．（ ）．（填推理的依据） （3）若，则菱形的面积为 ． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 21. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 23. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 2 1 2 3 4 5 … 直接写出表格中的值； （3）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有 个解； ②当时，的取值范围是 ； （5）进一步研究：若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是 ． 24. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 四、选做题：本大题共2小题，共10分． 25. 阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长，进而解决问题． （1）的长为 ； （2）类比如上方法，求的最小值为 ． 26. 在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． （1）如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； （2）已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $