专题24.3 数据的四分位数（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

本讲义聚焦数据的四分位数核心知识点，系统梳理四分位数概念（排序后分4份的三个分割点）、计算步骤（排序、找中位数、分左右求Q1和Q3）、四分位距，箱线图五要素（最小值、Q1、Q2、Q3、最大值）及作用，同时对比平均数、中位数、方差等统计量，构建完整统计知识支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固概念与计算，培优题型强化箱线图对比分析，压轴题型提升绘制与决策能力。结合视力检查、跳绳比赛等生活实例，培养数据意识与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升统计分析应用能力。

专题24.3 数据的四分位数 知识点1：四分位数（） 1.概念：把从小到大排序后的一组数据平均分成4份，三个分割点数值称为四分位数；（第一/下四分位数，第25百分位数）、（第二四分位数，即中位数、第50百分位数）、（第三/上四分位数，第75百分位数）。 小于等于的数据占总体25%；之间数据占50%；大于的数据占25%。 2.计算步骤 ①数据从小到大排序； ②全组中位数； ③取左侧所有数据，求其中位数为；取右侧所有数据，求其中位数为。 3.四分位距：，代表中间50%数据的波动范围，不受极端值影响。 知识点2：箱线图（箱形图） 1.构成五要素：由最小值、、、、最大值5个数据绘制；中间矩形为箱体，左右延伸线段为须线。 对应统计量 统计含义 最小值 数据下限 前25%与中间50%分界 （中位数） 数据中间水平 中间50%与后25%分界 最大值 数据上限 2.箱线图的作用 ①直观看出数据分布范围、集中区间； ②箱体越短→中间50%数据越集中稳定；须线越长→整体数据波动越大； ③多组数据同数轴绘图，便于横向对比分布；中位数居中则数据分布近似对称。 知识点3：四分位数与之前统计量对比 统计量 侧重 是否受极端值影响 平均数 整体平均水平 是 中位数() 中间位置水平 否 四分位数() 分段分布、中间半数波动 否 方差 全部数据波动 是 【基础必考题型】 【题型1】四分位数概念辨析与位置判断 1.核心知识点 四分位数定义；划分逻辑；百分位数含义。 2.解题方法技巧 牢记：中位数，是左半段中位数、是右半段中位数；先排序再分段。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 【答案】C 【详解】解：根据箱线图可知，则该组数据的上四分位数为163． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数是______． 【答案】 60 【分析】根据箱线图的结构特征，识别出表示下四分位数的位置，即箱体的下底边，直接读取对应的数值即可． 【详解】解：观察题中所给的箱线图，可以看到矩形箱体的下底边对应的纵轴数值为， 因此，这组数据的下四分位数． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·期末）如图所示的是根据八（2）班学生1min跳绳次数制作的箱线图．由图不能确定这组数据的（     ） A．第一四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【答案】D 【分析】箱线图是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，八（2）班学生分钟跳绳次数的下四分位数是，中位数，上四分位数，最小值，最大值， 各个选项中，由图不能确定这组数据的平均数， 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（多选）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示： 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的第三四分位数是4 B．这组数据的第二四分位数是10 C．这组数据的第一四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】ABC 【分析】本题考查箱线图和四分位数，理解箱线图中数据表示的统计量是解答的关键． 根据箱线图中数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由图知，这组数据的第三四分位数是15，原说法错误，符合题意； B、由图知，这组数据的第二四分位数是，原说法错误，符合题意； C、由图知，这组数据的第一四分位数是4，原说法错误，符合题意； D、由图知，最小值是3，最大值是18，则被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，不符合题意； 故选：ABC． 【题型2】基础数据直接求四分位数 1.核心知识点 数据排序；奇偶个数据分段、中位数计算。 2.解题方法技巧 步骤：全排序→找→拆分左右两组→分别求。 【例题2】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查第三四分位数的计算方法，先根据数据总数计算第三四分位数的位置，再通过累计人数确定对应位置的数值，即可求解． 【详解】解：∵共有个数据，第三四分位数对应的位置为，为整数， 第三四分位数为从小到大排列后，第个和第个数据的平均数。 按从小到大累计人数：视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人； 可知第个到第个数据均为， 即第、个数据都是， 第三四分位数为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·期末）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，第一四分位数为________． 【答案】6.5 【分析】为先将原数据从小到大排序，再根据数据总数确定第一四分位数的位置，计算得到对应结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列得：. 数据总个数为，计算第一四分位数位置得 ，位置为整数，因此第一四分位数为第个数据和第个数据的平均数， 代入计算得 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 【答案】82 【分析】本题考查下四分位数的求解，需先将数据排序，再根据数据个数计算下四分位数的位置，进而确定对应数值． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为76，82，88，92，93，95， 数据个数，计算下四分位数的位置：， 因为不是整数，将其向上取整为2， 所以这组数据的下四分位数为第2个数据82． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【答案】295，250 【分析】本题考查四分位数的计算，解题关键是先将数据从小到大排序，再根据四分位数的位置公式计算对应位置，进而确定第一、第三四分位数的值． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列：188，240，260，284，288，290，300，360， 数据共有个， 第一四分位数的位置为：，当位置为整数时，第一四分位数为排序后第2项与第3项数据的平均值，即， 第三四分位数的位置为：，当位置为整数时，第三四分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即． 故答案为：295，250． 【题型3】单幅箱线图信息读取 1.核心知识点 箱线图五要素对应关系；四分位距计算。 2.解题方法技巧 左小右大，箱边为，箱内横线是中位数，直接读数计算。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江·期中）如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：根据箱线图可知：这组数据的中位数为160． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)3.185，3.92，4.46 (2)1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 【培优高频题型】 【题型4】四分位距简单计算与稳定性判断 1.核心知识点 ；四分位距越小，中间半数数据越稳定。 2.解题方法技巧 先算出再做差，对比多组IQR大小判定集中程度。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（   ） A．这组数据最大值是163 B．这组数据的平均数是150 C．到的数据较到的数据集中 D．此箱线图不能反映这组数据的分布情况 【答案】C 【分析】本题考查了求中位数，求四分位数，画箱线图等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据箱线图的构成，识别图中的关键数据，逐项分析选项，再作出判断． 【详解】解：从图中看，163是上四分位数​（即），不是最大值．最大值在虚线右端，标注为200． 故A错误； 150是中位数，中位数≠平均数，除非数据对称分布，故B错误； ∵，， ∴区间长度：， ∵，， ∴区间长度： 区间越短，说明数据在该四分位区间内越集中（离散程度越小）． ∴​区间长度更短，数据更集中． 故C正确； 此箱线图能反映这组数据的分布情况 故D错误， 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80 C．从中位数来看，两班成绩相当 D．从平均分来看，一班成绩高于二班成绩 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，一班成绩的上四分位数超过了分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，两个班的中位数相同，所以从中位数来看，两班成绩相当，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，两个班的上四分位数相同，二班的下四分位数比一班的下四分位数高；二班的最低成绩高于一班的最低成绩，所以一班的平均成绩低于二班的平均成绩，故D选项错误． 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，关键是读懂箱线图进行解答．根据箱线图、中位数分析即可得到答案． 【详解】解：A.最高的队员在甲队，最矮的队员在丁队，故原说法错误，本选项不符合题意； B.丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小，原说法正确，符合题意； C.乙队队员的身高差距最小，身高较为集中，故原说法错误，本选项不符合题意； D.丁队队员的身高差距最大，身高较为分散，故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：B． 【题型5】双组箱线图对比分析 1.核心知识点 箱线图多维度对比：最值、中位数、四分位距、整体分布。 2.解题方法技巧 三对比：中位数比整体水平、四分位距比中间稳定性、须线长短比整体波动。 【例题5】.（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】(1)，，见解析； (2)； (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】(1)82；87 (2)统计表中c的值为86.45分 (3)见解析 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 【题型6】结合频数/统计表求四分位数 1.核心知识点 从表格提取完整数据；四分位数标准计算流程。 2.解题方法技巧 先汇总全部数据并升序，再套用四分位数分步算法。 【例题6】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    (1)在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， (2)本次调查样本中数据的众数为 (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【答案】(1)28，， (2) (3)120 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值； （2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解； （3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可． 【详解】（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数： 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中， 第12、13个数据均为，故； （2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为：， 该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，a的值为__________，在箱线图中b的值为__________，c的值为__________． (2)本次调查样本中数据的众数为___________． (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 【答案】(1)28，6，7 (2) (3)估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为100人 【分析】（1）用1减去扇形统计图中各项百分比即可求出a，根据箱线图中第一四分位数，中位数的定义求解即可． （2）根据众数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：，即． 根据样本容量50， 计算各时间段人数：∶(人)， (人)， (人)， (人)， (人)， (人)， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数， 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数∶第12、13个数据的平均数， 前个数据中 第12、13个数据均为，故， 因此：，，． （2）解：由各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：(人)． 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数为100人． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】(1)乙 (2)83；72 (3)人 【分析】（1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案； （2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案； （3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴甲校的方差大于乙校的方差， ∴乙的成绩更加稳定， ∴选乙校更合适； （2）解：由题意得，， （3）解：人， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人． 【变式题6-3】.（2026·广西南宁·二模）某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【答案】(1)86，85，90 (2)85.6 (3)作图见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解答； （2）先求出两个年级的总分，再除以总人数即可； （3）先确定，再确定最大值和最小值为100和65，画出箱线图即可； （4）根据箱线图的特点解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：， 所以这两个年级学生的平均得分是85.6分； （3）解：如图所示； （4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高； 八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小． （选择任意一条即可，答案不唯一）． 【压轴素养题型】 【题型7】箱线图绘制实操题 1.核心知识点 由数据算五数，规范箱线图画法（同数轴刻度统一）。 2.解题方法技巧 五数确定→画数轴→定点→画箱体+须线。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；B；（2）7.5；10；A；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）王先生每天下班后需要为他的电动汽车充电，公司附近有，两个充电站．为了选择充电排队时间更短的充电站，他记录了过去个工作日下班时段（）两个充电站的空闲充电桩数量（数量越多，意味着排队等待时间可能越短）． 充电站的空闲充电桩数量记录为：； B充电站的空闲充电桩数量变化情况如下图所示： 王先生初步整理统计量作如下图表，但尚未完成： ，充电站空闲充电桩数量统计表 充电站 平均数 众数 中位数 方差 ，充电站空闲充电桩数量箱线图 解决问题： (1)补全上表中缺失的数据； (2)王先生计算出充电站空闲数量的四分位数：，，，并绘制了箱线图．请求出充电站空闲数量的四分位数，并补全它的箱线图； (3)根据以上数据分析，你认为王先生平时应优先选择哪个充电站？请结合统计量、图表与实际情况说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，，图见解析 (3)应该选择充电站，理由见解析 【分析】本题考查四分位数，箱线图，平均数和众数，利用方差判断数据稳定性，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，计算出结果即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出学校预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A充电站的平均数为：； 由折线图可知，B电站中出现次数最多的是， B电站的众数是； 由折线图可知，B电站中空闲充电桩的数量按照从小到大排列，第和第个分别是和， B电站的中位数是， 故答案为：，，； （2）解：B充电站空闲数量的四分位数：，，， 绘制箱线图如下： （3）解：王先生应该选择A充电站，理由如下：（理由合理即可） 从平均数和方差看，两个充电站的平均数相差不大，但A充电站的方差小于B充电站，即A充电站充电桩空闲数量比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A充电站充电桩空闲数量明显比B的波动小． 王先生应该选择A充电站． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）结合（1）的结论解答即可； （3）根据箱线图和对四分位数解答即可． 【详解】（1）解：把甲组成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100． 故； 故答案为：，； （2）解：如图所示为所求： （3）解：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 【题型8】方案决策开放题 1.核心知识点 结合四分位数、方差、平均数综合决策。 2.解题方法技巧 根据需求择优：追求整体稳定选IQR小；追求高分潜力看上须长度。 【例题8】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表参加市校园投篮比赛，从八年级学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行了八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩数据进行了如下的整理和分析： 【数据整理】 如图1，甲，乙两名学生八轮投篮成绩如下： 【数据分析】 （1）利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，=___________个，可以看出，___________（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，___________，可以看出，___________（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________个，②处应填___________个，③处应填___________个；基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动___________（填大，小或一致） 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投篮成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，乙，，乙； （2），9，10，大； （3）选乙，因为乙平均分高，整体水平高，乙方差小，且从箱线图和四分位数判断，投篮成绩波动小，比较稳定，所以我认为选乙更合适（理由合理即可）. 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手甲、乙的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， 乙的成绩略高； ， ， 乙的投篮水平发挥更稳定， 故答案为：，乙，，乙； （2）选手甲的数据从小到大排列为， 下四分位数为，即， 中位数为，即， 选手乙的数据从小到大排列为， 上四分位数为， 基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动大， 故答案为：，9，10，大； （3）选择乙选手参加青少年投篮比赛，理由如下： ∵甲、乙两名选手的中位数相等，但乙选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择乙选手参加市校园投篮比赛． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西运城·期末）某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【答案】(1)，，， (2)①见解析；②见解析；③见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数、方差，四分位数，箱线图，掌握定义及其计算公式是解题的关键． （1）根据四分位数和平均数的定义解答即可； （2）分别根据平均数、方差和箱线图的意义解答即可； （3）根据统计表数据解答即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由题意可知，零食A类直播间近10天的商品上架平均审核耗时从小到大排列为6，6，7，8，9，9，10，11，12，13， 故， ． 故答案为：，，，； （2）解：①零食B类直播间审核平均耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直播间整体审核效率较高；②零食B类直播间审核耗时的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审核耗时的波动范围较小，工作效率更稳定；③零食B类直播间审核平均耗时的最大值与最小值差小、箱子短，中位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间工作效率更高且每天审核耗时差异不大； （3）解：建议零食A类直播间精简审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不唯一，合理即可）． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）【数据收集】某校八年级为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加最强大脑比赛，现组织两人进行八轮模拟比赛，并对甲、乙两名选手每轮模拟比赛成绩进行了数据收集． 【数据整理】将甲、乙两名选手模拟比赛的成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】（1）若利用平均数、方差进行分析（如图1）．通过计算平均数，分，___________分，可以看出，甲的平均成绩___________乙的平均成绩（填>，<或=）；通过计算方差，，___________，可以看出，___________（填甲或乙）的比赛水平发挥更稳定： 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① 10 10 10 乙 8 8 9 ② 10 （2）若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________分，②处应填___________分；基于四分位数或箱线图，可以发现甲选手的中位数___________乙选手的中位数（填>，<或=），且选手甲的成绩明显比选手乙的成绩波动大． 【作出决策】（3）请你根据八轮模拟比赛的成绩，从甲，乙两名选手中选拔一人参加最强大脑比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，=，，乙；（2）8，10，>；（3）应该选乙去参加比赛，因为在平均数一样的情况下，乙更稳定 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差的计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据平均数和方差做决策即可． 【详解】解：（1）∵， ∴甲的平均成绩=乙的平均成绩， ∵，， ∴， ∴乙的比赛水平发挥更稳定， 故答案为：9，=，，乙； （2）选手甲的数据从小到大排列为6，7，9，10，10，10，10，10， 则下四分位数为； 选手乙的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为； 基于四分位数或箱线图，可以发现甲选手的中位数>乙选手的中位数， 故答案为：8，10，>； （3）应该选乙去参加比赛， 理由：在平均数一样的情况下，乙更稳定． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，；（2），9，，=；（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴． 故答案为：9，； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，． 故答案为：，9，，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 易错点 1、计算四分位数前忘记排序，直接用原始无序数据分段取值，结果全部错误。 2、拆分左右数据时错误包含中位数：初中规则中单独分界，左右两组不含中位数。 3、混淆箱线图标注：误把箱体端点当成最值、把须线端点当成四分位数。 4、四分位距和方差概念混淆：IQR只反映中间50%波动，方差反映全部数据波动，不能混用判断整体稳定性。 5、误以为中位数一定在箱体正中间：中位数位置由数据分布决定，箱体左右长度不一定相等。 重点 1、四分位数三步计算法：排序→→左右分段求。 2、箱线图五要素识别与读数，四分位距公式。 3、利用单/多幅箱线图对比数据的集中水平、离散程度、分布特征。 4、结合实际情境，用四分位数+平均数+方差综合分析数据、合理决策。 难点 1、逆向题型：已知反求数据中的未知参数（含分类讨论）。 2、多组箱线图多角度综合对比，结合实际场景分析优劣并撰写结论。 3、百分位数新定义题型，将陌生分位数转化为四分位数思路解题。 4、结合样本四分位数特征，合理预估总体数据分布规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据分位数计算规则确定位置，即可得这组数据的第三四分位数． 【详解】解：∵原数据为，数据个数， ∴将数据从小到大排序得：， ∵计算第三四分位数位置：，为整数， ∴第三四分位数是第项和第项数据的平均数， 第项数据为，第项数据为， ∴这组数据的第三四分位数为． 2．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 3．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 二、填空题 4．若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为_________． 【答案】2 【分析】根据众数的定义求出，进而求解． 【详解】解：由题意知，， 数据从小到大排列可得：，，，， ，， ∴其下四分位数为． 5．如图是某班英语听力测试成绩的箱线图，则这组数据的上四分位数是_________分． 【答案】90 【分析】本题考查了箱线图． 根据上四分位数的定义作答即可． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的上四分位数是90分． 故答案为：90． 6．如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 7．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 【答案】八年级这14名学生的成绩数据比较分散 【分析】通过计算四分位距（第三四分位数与第一四分位数的差）来衡量数据的离散程度．首先将两组数据分别从小到大排序，再分别确定每组数据的第一四分位数和第三四分位数，计算出四分位距后进行比较，四分位距较大的一组数据更分散． 【详解】解：将七年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 将八年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 因为， 所以八年级这名学生的成绩数据比较分散． 8．某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为，，，，，，，，，，，．求这组数据的四分位数，，． 【答案】，， 【分析】本题考查了求四分位数，先将数据由小到大排序，根据四分位数的定义分别求得，，，即可． 【详解】解：将这12个数据由小到大排序，得，，，，，，，，，，，， 中位数即分位数，因此（分）； 前一半数据的中位数为整组数据的下四分位数，故（分）； 后一半数据的中位数为整组数据的上四分位数，故（分）． 9．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛、赛后随机抽取八、九年级各6名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【收集数据】 八年级：60，70，85，95，96，100； 九年级：96，93，93，87，80，70． 【描述、整理数据】 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级竞赛成绩的中位数为 分，九年级竞赛成绩的下四分位数为 分； (2)补全箱线图，根据箱线图请判断 年级的成绩更集中；（填“八”或“九”） (3)已知八年级成绩的方差为，九年级成绩的方差为，学校打算选派成绩更稳定的年级参加市级竞赛，你认为学校应选派哪个年级去参加竞赛？请说明理由． 【答案】(1)90，80 (2)九 (3)学校应选派九年级去参加竞赛，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和下四分位数的定义解答即可； （2）结合八年级竞赛成绩的中位数即可补全箱线图，再根据箱线图的数据解答即可； （3）根据方差的意义判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，八年级竞赛成绩的中位数为， 九年级竞赛成绩的下四分位数为80， 故答案为：90，80； （2）解：补全箱线图如下： 根据箱线图可知，九年级的成绩更集中； 故答案为：九； （3）解：学校应选派九年级去参加竞赛，理由：九年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，即九年级成绩更稳定，所以应选派九年级去参加竞赛． 【点睛】本题主要考查中位数、算术平均数及方差，解题的关键是掌握中位数的定义及方差的意义． 10．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： 阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A a 48 48 58.01 B 50 b c 325 (1)上述表中，___________，___________，___________； (2)小明计算出阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出阅览室预约人数的四分位数； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，， (2)B阅览室四分位数： (3)社区应该挑选A阅览室，理由见解析 【分析】本题考查四分位数，箱线图，平均数和众数，利用方差判断数据稳定性，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25的出现次数最多，因此众数； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为45，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）解：社区应该挑选A阅览室，理由如下： 从平均数和方差看，两个阅览室的平均数相差不大，但A阅览室的方差小于B阅览室，即A阅览室预约人数比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A阅览室预约人数明显比B的波动小．所以社区应该挑选A阅览室． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 数据的四分位数 知识点1：四分位数（） 1.概念：把从小到大排序后的一组数据平均分成4份，三个分割点数值称为四分位数；（第一/下四分位数，第25百分位数）、（第二四分位数，即中位数、第50百分位数）、（第三/上四分位数，第75百分位数）。 小于等于的数据占总体25%；之间数据占50%；大于的数据占25%。 2.计算步骤 ①数据从小到大排序； ②全组中位数； ③取左侧所有数据，求其中位数为；取右侧所有数据，求其中位数为。 3.四分位距：，代表中间50%数据的波动范围，不受极端值影响。 知识点2：箱线图（箱形图） 1.构成五要素：由最小值、、、、最大值5个数据绘制；中间矩形为箱体，左右延伸线段为须线。 对应统计量 统计含义 最小值 数据下限 前25%与中间50%分界 （中位数） 数据中间水平 中间50%与后25%分界 最大值 数据上限 2.箱线图的作用 ①直观看出数据分布范围、集中区间； ②箱体越短→中间50%数据越集中稳定；须线越长→整体数据波动越大； ③多组数据同数轴绘图，便于横向对比分布；中位数居中则数据分布近似对称。 知识点3：四分位数与之前统计量对比 统计量 侧重 是否受极端值影响 平均数 整体平均水平 是 中位数() 中间位置水平 否 四分位数() 分段分布、中间半数波动 否 方差 全部数据波动 是 【基础必考题型】 【题型1】四分位数概念辨析与位置判断 1.核心知识点 四分位数定义；划分逻辑；百分位数含义。 2.解题方法技巧 牢记：中位数，是左半段中位数、是右半段中位数；先排序再分段。 【例题1】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 【变式题1-1】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数是______． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·期末）如图所示的是根据八（2）班学生1min跳绳次数制作的箱线图．由图不能确定这组数据的（     ） A．第一四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（多选）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示： 下列说法不正确的是（   ） A．这组数据的第三四分位数是4 B．这组数据的第二四分位数是10 C．这组数据的第一四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【题型2】基础数据直接求四分位数 1.核心知识点 数据排序；奇偶个数据分段、中位数计算。 2.解题方法技巧 步骤：全排序→找→拆分左右两组→分别求。 【例题2】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·期末）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，第一四分位数为________． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【题型3】单幅箱线图信息读取 1.核心知识点 箱线图五要素对应关系；四分位距计算。 2.解题方法技巧 左小右大，箱边为，箱内横线是中位数，直接读数计算。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江·期中）如图是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 【培优高频题型】 【题型4】四分位距简单计算与稳定性判断 1.核心知识点 ；四分位距越小，中间半数数据越稳定。 2.解题方法技巧 先算出再做差，对比多组IQR大小判定集中程度。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）关于如图所示的箱线图，下列说法正确的是（   ） A．这组数据最大值是163 B．这组数据的平均数是150 C．到的数据较到的数据集中 D．此箱线图不能反映这组数据的分布情况 【变式题4-2】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80 C．从中位数来看，两班成绩相当 D．从平均分来看，一班成绩高于二班成绩 【变式题4-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 【题型5】双组箱线图对比分析 1.核心知识点 箱线图多维度对比：最值、中位数、四分位距、整体分布。 2.解题方法技巧 三对比：中位数比整体水平、四分位距比中间稳定性、须线长短比整体波动。 【例题5】.（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【题型6】结合频数/统计表求四分位数 1.核心知识点 从表格提取完整数据；四分位数标准计算流程。 2.解题方法技巧 先汇总全部数据并升序，再套用四分位数分步算法。 【例题6】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    (1)在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， (2)本次调查样本中数据的众数为 (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，a的值为__________，在箱线图中b的值为__________，c的值为__________． (2)本次调查样本中数据的众数为___________． (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 【变式题6-2】.（24-25八年级下·浙江温州·期中）某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【变式题6-3】.（2026·广西南宁·二模）某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【压轴素养题型】 【题型7】箱线图绘制实操题 1.核心知识点 由数据算五数，规范箱线图画法（同数轴刻度统一）。 2.解题方法技巧 五数确定→画数轴→定点→画箱体+须线。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）王先生每天下班后需要为他的电动汽车充电，公司附近有，两个充电站．为了选择充电排队时间更短的充电站，他记录了过去个工作日下班时段（）两个充电站的空闲充电桩数量（数量越多，意味着排队等待时间可能越短）． 充电站的空闲充电桩数量记录为：； B充电站的空闲充电桩数量变化情况如下图所示： 王先生初步整理统计量作如下图表，但尚未完成： ，充电站空闲充电桩数量统计表 充电站 平均数 众数 中位数 方差 ，充电站空闲充电桩数量箱线图 解决问题： (1)补全上表中缺失的数据； (2)王先生计算出充电站空闲数量的四分位数：，，，并绘制了箱线图．请求出充电站空闲数量的四分位数，并补全它的箱线图； (3)根据以上数据分析，你认为王先生平时应优先选择哪个充电站？请结合统计量、图表与实际情况说明理由． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【题型8】方案决策开放题 1.核心知识点 结合四分位数、方差、平均数综合决策。 2.解题方法技巧 根据需求择优：追求整体稳定选IQR小；追求高分潜力看上须长度。 【例题8】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表参加市校园投篮比赛，从八年级学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行了八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩数据进行了如下的整理和分析： 【数据整理】 如图1，甲，乙两名学生八轮投篮成绩如下： 【数据分析】 （1）利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，=___________个，可以看出，___________（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，___________，可以看出，___________（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________个，②处应填___________个，③处应填___________个；基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动___________（填大，小或一致） 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投篮成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西运城·期末）某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）【数据收集】某校八年级为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加最强大脑比赛，现组织两人进行八轮模拟比赛，并对甲、乙两名选手每轮模拟比赛成绩进行了数据收集． 【数据整理】将甲、乙两名选手模拟比赛的成绩绘制成如下统计图： 【数据分析】（1）若利用平均数、方差进行分析（如图1）．通过计算平均数，分，___________分，可以看出，甲的平均成绩___________乙的平均成绩（填>，<或=）；通过计算方差，，___________，可以看出，___________（填甲或乙）的比赛水平发挥更稳定： 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① 10 10 10 乙 8 8 9 ② 10 （2）若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________分，②处应填___________分；基于四分位数或箱线图，可以发现甲选手的中位数___________乙选手的中位数（填>，<或=），且选手甲的成绩明显比选手乙的成绩波动大． 【作出决策】（3）请你根据八轮模拟比赛的成绩，从甲，乙两名选手中选拔一人参加最强大脑比赛，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）某市射击队为了从，两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将，两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】（1）小明计算平均数，（环），___________（环）；通过散点图比较：___________（填“>”“<”或“=”）； （2）小颖计算四分位数并绘制了、两名运动员的箱线图．①处应填___________环，②处应填___________环；③处应填___________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数___________选手射击成绩的中位数（填或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① ② 9.5 10 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】（3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 易错点 1、计算四分位数前忘记排序，直接用原始无序数据分段取值，结果全部错误。 2、拆分左右数据时错误包含中位数：初中规则中单独分界，左右两组不含中位数。 3、混淆箱线图标注：误把箱体端点当成最值、把须线端点当成四分位数。 4、四分位距和方差概念混淆：IQR只反映中间50%波动，方差反映全部数据波动，不能混用判断整体稳定性。 5、误以为中位数一定在箱体正中间：中位数位置由数据分布决定，箱体左右长度不一定相等。 重点 1、四分位数三步计算法：排序→→左右分段求。 2、箱线图五要素识别与读数，四分位距公式。 3、利用单/多幅箱线图对比数据的集中水平、离散程度、分布特征。 4、结合实际情境，用四分位数+平均数+方差综合分析数据、合理决策。 难点 1、逆向题型：已知反求数据中的未知参数（含分类讨论）。 2、多组箱线图多角度综合对比，结合实际场景分析优劣并撰写结论。 3、百分位数新定义题型，将陌生分位数转化为四分位数思路解题。 4、结合样本四分位数特征，合理预估总体数据分布规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 2．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 3．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 二、填空题 4．若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为_________． 5．如图是某班英语听力测试成绩的箱线图，则这组数据的上四分位数是_________分． 6．如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 三、解答题 7．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 8．某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为，，，，，，，，，，，．求这组数据的四分位数，，． 9．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛、赛后随机抽取八、九年级各6名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【收集数据】 八年级：60，70，85，95，96，100； 九年级：96，93，93，87，80，70． 【描述、整理数据】 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级竞赛成绩的中位数为 分，九年级竞赛成绩的下四分位数为 分； (2)补全箱线图，根据箱线图请判断 年级的成绩更集中；（填“八”或“九”） (3)已知八年级成绩的方差为，九年级成绩的方差为，学校打算选派成绩更稳定的年级参加市级竞赛，你认为学校应选派哪个年级去参加竞赛？请说明理由． 10．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： 阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 阅览室：25，25，35，40，45，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A a 48 48 58.01 B 50 b c 325 (1)上述表中，___________，___________，___________； (2)小明计算出阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出阅览室预约人数的四分位数； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $