专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点1：一次函数与一元一次方程 1.从“数”看：一元一次方程的解，就是一次函数函数值为0时的自变量的值。 2.从“形”看：一元一次方程的解，就是直线与轴交点的横坐标。 3.拓展：方程的解⇔直线与直线交点的横坐标。 知识点2：一次函数与一元一次不等式 不等式 代数意义（数） 几何意义（形） 函数值时的范围 直线在轴上方对应的范围 函数值时的范围 直线在轴下方对应的范围 时的范围 直线在上方对应的范围 知识点3：一次函数与二元一次方程组 1.从“形”看：二元一次方程组的解，就是两条直线交点坐标。 2.从“数”看：交点坐标同时满足两个函数解析式，是方程组的唯一解。 3.解的情况： 相交⇔有唯一解； 平行（）⇔无解； 重合（）⇔无数解。 【基础必考题型】 【题型1】由直线与轴交点求一元一次方程的解 1.核心知识点 方程的解⇔直线与轴交点横坐标。 2.解题方法技巧 找图象与轴交点，直接读出横坐标即为方程解。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，方程的解就是一次函数中时对应的值，通过表格查找对应值即可求解． 【详解】解：观察表格得：当时，， ∴方程的解是． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解． 【详解】解：直线过点， 关于的方程的解是． 故选：B． 【题型2】由函数图象直接写一元一次不等式的解集 1.核心知识点 看直线在轴上/下方，对应写取值范围。 2.解题方法技巧 口诀：大于找上方，小于找下方，交点是分界。 【例题2】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，若点在此图象上，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象即可求出解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，二，三象限， ∴随的增大而增大， ∵点在直线上， ∴当时，， ∴当时，，即不等式的解集为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 【变式题2-2】.（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 【题型3】两直线交点与二元一次方程组的解 1.核心知识点 两直线交点坐标⇔对应方程组的解。 2.解题方法技巧 联立解析式解方程组，或直接读图得交点横、纵坐标。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：由图可知，函数的交点坐标为， ∴方程组的解是． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②错误； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，3个结论正确． 【题型4】含平移/变形的一次函数与方程综合 1.核心知识点 平移不改变斜率，只改变截距；变形后方程解对应交点横坐标。 2.解题方法技巧 先还原解析式，再用“交点即解”求解。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是， 所以关于x的不等式的解集是， 所以解集为， 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质，解不等式是解题关键．把代入，可得，代入所求不等式中得到，通过观察函数图象，可得，根据不等式的性质即可得到，解不等式从而可得答案． 【详解】解：把代入中得， 则， 将化为， ， 观察图象可知：， ， ． 故选：B． 【变式题4-2】.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 【变式题4-3】.（23-24八年级上·陕西西安·月考）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得， 与轴交点为， 直线与轴交点坐标为， 的解为， 故选：C． 【培优高频题型】 【题型5】双函数不等式解集 1.核心知识点 比较两函数高低，以交点为分界写解集。 2.解题方法技巧 先求交点，再看左右哪边图象在上，哪边在下。 【例题5】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在直线上求出的值，确定交点横坐标，再结合函数图象，找出直线在直线下方部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴交点的横坐标为． 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图像，找出直线在直线下方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】由图像可知，直线 与直线 的交点坐标为， 不等式 即为， 观察函数图像可知，当时，直线 的图像位于直线 的图像下方， 所以的取值范围是． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象找出的图象在图象上方的部分即可 【详解】解：根据题意得：时，， 由图象可知：不等式的解集是． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据一次函数与不等式的关系来求解． （2）①根据两个一次函数图象的位置关系来确定不等式的解集． ②首先需要求出直线的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中求解． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象经过点，且从图象可知， 当时，函数图象在轴下方， 所以不等式的解集是． 故答案为：． （2）解：①已知点的横坐标是，即两函数图象交点的横坐标为， 从图象可知，当时，的图象在的图象下方包含交点， 所以不等式的解集是． 故答案为：． ②已知直线经过点，， 将这两点代入直线方程可得方程组．解得， 所以直线的解析式为． 因为点在直线上，且点的横坐标为， 将代入，可得， 所以点的坐标为． 因为点也在直线上， 将点的坐标代入， 可得， 解得． 【题型6】一次函数图象与坐标轴/两直线围成图形的面积计算 1.核心知识点 求直线与坐标轴交点；求两直线交点坐标；三角形面积公式。 2.解题方法技巧 先求交点坐标→确定底和高（取绝对值）→代入面积公式计算。 【例题6】.（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）令、，求出对应的、的值，即可求出点，的坐标； （2）根据（1）中点，的坐标画图即可； （3）先求出、的长度，结合已知求出的长度，然后分点在点上方和点在点下方讨论即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， 所以，； （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， 当点在点上方时，， ∴的面积为； 当点在点下方时， ∵， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴的面积为； ∴的面积为或. 【变式题6-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)①；②点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）①由（1）可令，进而问题可求解；②设点，则有，然后根据的面积是3可列方程进行求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：①由（1）可令，则有， 解得：， ∴； ②设点，则有， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）联立一次函数解析式求出，根据图象的位置关系进行解答即可； （3）设P点的坐标为．求出的长度，根据面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，直线经过点，， 根据题意，得， 解得， （2）解：由（1）可得，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． ∵动直线轴，与直线，分别交于，． ∴当时，t的取值范围为； （3）解：设P点的坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴ ∵的面积为6， ∴ 即， 解得或 ∴P点的坐标为或． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （3）先求出，再求出，设，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； （2）解：∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 故直线的解析式为； （3）解：令，得， ， ； 设， 令，得， ， ， ∵，则， ， 解得：， 当时，则，即， 当时，则，即， 综上，或． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义：相关函数/对称函数与方程不等式 1.核心知识点 按新定义写分段函数，再转化为常规方程/不等式。 2.解题方法技巧 严格按定义分段，逐段求解再合并。 【例题7】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可． 【详解】解：∵亮点是和的交点， ∴联立方程：， 解得： ∴交点为，即“亮点”为， 故选：B． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象； （）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线过点， 画图如下： ； （2）解：由得，当时，；当时，； ∴直线过点和，如图， 由得，， ∴两条直线的交点坐标为， ∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【题型8】绝对值一次函数与方程、不等式综合 1.核心知识点 去绝对值写分段一次函数，用图象解不等式。 2.解题方法技巧 零点分段→画分段图象→读图写解集。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）小红同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小红的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在图1的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小红结合该函数图象，解决了以下问题： ①方程有______个解； ②对于函数，当时，的取值范围是______； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)①2；②；③或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ②根据函数图象，写出的取值范围即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有2个解； ②由函数图象可知：当时，； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）学习完一次函数的图象与性质后，某学习小组借鉴研究一次函数时积累的经验，对函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． (1)根据函数表达式列表如下，则表中________，________； … 0 1 … … 3 2 1 3 4 … (2)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)若直线与的图象有两个交点，分别为点和点． ①若点的坐标为，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． 【答案】(1)4；2 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）将、代入函数求解即可； （2）根据表格中的坐标，在坐标系中描点，依次连接即可得到顶点在的V型折线； （3）①利用待定系数法求出的值，由题意可得点的横坐标，则当时，，与直线联立求出点B坐标； ②根据题意得，直线恒过定点，根据图象可知，找出两个临界点，当直线与函数平行或直线经过顶点时，求出临界点时的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：函数图象如下： （3）①解：将代入直线得： ， 解得， 直线， 直线与的图象有两个交点，且 点的横坐标 当时，， 由题意得：， 解得， 将代入得：， 点B坐标为； ②解：直线， 直线恒过定点， 当时，函数， 如图， ①当直线与函数平行时，， 此时直线，与函数只有一个交点； ②当直线过点时， ， 解得， 此时直线， 直线与的图象有两个交点， 的取值范围为：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 【答案】（1）1，1；（2）见解析；（3）当时函数取最小值，最小值为；（4）①②或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）①观察（2）中的函数图象，即可求解； ②画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1；1； （2）如图， （3）根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）①由（1）知：当时，或， 由（2）中图象知：当时，， 故答案为：； ②画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，， 故答案为：，． 易错点 1.混淆方程解与不等式解集：把方程解写成范围，或把范围写成单个数。 2.忽略斜率符号：时不改变不等号方向，导致解集方向相反。 3.读图看反上下：误把“”看成在轴下方，范围写反。 4.横纵坐标混淆：求范围却读成值，交点坐标写反。 5.方程组解与函数对应错乱：把交点纵坐标当成的解。 重点 1.一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组的数形对应关系。 2.由图象直接读出方程解与不等式解集的方法。 3.两直线交点与二元一次方程组解的互化。 4.用函数观点解决实际问题（建模、求定值、求范围）。 5.数形结合思想的运用。 难点 1.含参数一次函数与不等式恒成立问题。 2.分段函数、绝对值函数与方程不等式综合。 3.多函数、多不等式组合的图象分析。 4.实际情境转化为函数、方程、不等式模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 2．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 3．已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，解得，故两直线的交点为， B选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项B不符合题意； 而选项C中交点横坐标是负数，故选项C不符合题意； 选项D中交点横坐标是负数，选项D不符合题意； A选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项A可能正确，符合题意． 二、填空题 4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】解：观察函数图象得到不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 5．若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】联立两条直线的方程求出交点横坐标，再根据第一象限内点的横坐标为正，推导得到和的大小关系. 【详解】解：联立直线方程得，则 = ， 移项得， ∵两直线相交， ∴， ∴， ∵交点在第一象限，第一象限内点的横坐标大于，所以， 即， ∴， ∴. 6．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：将变形为， 直线与直线的图象交于点， 方程组的解为． 三、解答题 7．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，令时，，解得；令时，，可得一次函数经过点，，利用描点法画图即可； （2）当时，，求解即可； （3）由，得到，当时，即，求解即可． 【详解】（1）解：令时，，解得； 令时，， ∴一次函数经过点，， 一次函数的图象如图所示， （2）解：当时，，解得， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴当时，即，解得， ∴当时，的取值范围是． 8．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【详解】（1） 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， （2）解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 9．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点1：一次函数与一元一次方程 1.从“数”看：一元一次方程的解，就是一次函数函数值为0时的自变量的值。 2.从“形”看：一元一次方程的解，就是直线与轴交点的横坐标。 3.拓展：方程的解⇔直线与直线交点的横坐标。 知识点2：一次函数与一元一次不等式 不等式 代数意义（数） 几何意义（形） 函数值时的范围 直线在轴上方对应的范围 函数值时的范围 直线在轴下方对应的范围 时的范围 直线在上方对应的范围 知识点3：一次函数与二元一次方程组 1.从“形”看：二元一次方程组的解，就是两条直线交点坐标。 2.从“数”看：交点坐标同时满足两个函数解析式，是方程组的唯一解。 3.解的情况： 相交⇔有唯一解； 平行（）⇔无解； 重合（）⇔无数解。 【基础必考题型】 【题型1】由直线与轴交点求一元一次方程的解 1.核心知识点 方程的解⇔直线与轴交点横坐标。 2.解题方法技巧 找图象与轴交点，直接读出横坐标即为方程解。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型2】由函数图象直接写一元一次不等式的解集 1.核心知识点 看直线在轴上/下方，对应写取值范围。 2.解题方法技巧 口诀：大于找上方，小于找下方，交点是分界。 【例题2】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，若点在此图象上，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型3】两直线交点与二元一次方程组的解 1.核心知识点 两直线交点坐标⇔对应方程组的解。 2.解题方法技巧 联立解析式解方程组，或直接读图得交点横、纵坐标。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4】含平移/变形的一次函数与方程综合 1.核心知识点 平移不改变斜率，只改变截距；变形后方程解对应交点横坐标。 2.解题方法技巧 先还原解析式，再用“交点即解”求解。 【例题4】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（23-24八年级上·陕西西安·月考）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】双函数不等式解集 1.核心知识点 比较两函数高低，以交点为分界写解集。 2.解题方法技巧 先求交点，再看左右哪边图象在上，哪边在下。 【例题5】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集为______． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，直线经过点，，且与直线交于点． (1)关于的不等式的解集是______； (2)若点的横坐标为1，请完成下面的问题． ①关于的不等式的解集是______； ②求的值． 【题型6】一次函数图象与坐标轴/两直线围成图形的面积计算 1.核心知识点 求直线与坐标轴交点；求两直线交点坐标；三角形面积公式。 2.解题方法技巧 先求交点坐标→确定底和高（取绝对值）→代入面积公式计算。 【例题6】.（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义：相关函数/对称函数与方程不等式 1.核心知识点 按新定义写分段函数，再转化为常规方程/不等式。 2.解题方法技巧 严格按定义分段，逐段求解再合并。 【例题7】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【题型8】绝对值一次函数与方程、不等式综合 1.核心知识点 去绝对值写分段一次函数，用图象解不等式。 2.解题方法技巧 零点分段→画分段图象→读图写解集。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）小红同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小红的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是与的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在图1的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小红结合该函数图象，解决了以下问题： ①方程有______个解； ②对于函数，当时，的取值范围是______； ③直接写出不等式的解集为______． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）学习完一次函数的图象与性质后，某学习小组借鉴研究一次函数时积累的经验，对函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． (1)根据函数表达式列表如下，则表中________，________； … 0 1 … … 3 2 1 3 4 … (2)在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)若直线与的图象有两个交点，分别为点和点． ①若点的坐标为，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 易错点 1.混淆方程解与不等式解集：把方程解写成范围，或把范围写成单个数。 2.忽略斜率符号：时不改变不等号方向，导致解集方向相反。 3.读图看反上下：误把“”看成在轴下方，范围写反。 4.横纵坐标混淆：求范围却读成值，交点坐标写反。 5.方程组解与函数对应错乱：把交点纵坐标当成的解。 重点 1.一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组的数形对应关系。 2.由图象直接读出方程解与不等式解集的方法。 3.两直线交点与二元一次方程组解的互化。 4.用函数观点解决实际问题（建模、求定值、求范围）。 5.数形结合思想的运用。 难点 1.含参数一次函数与不等式恒成立问题。 2.分段函数、绝对值函数与方程不等式综合。 3.多函数、多不等式组合的图象分析。 4.实际情境转化为函数、方程、不等式模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 2．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 3．已知与是一次函数．若，那么如图所示的4个图可能正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 5．若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 6．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 三、解答题 7．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 9．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $