专题24.1 数据的集中趋势（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

本讲义聚焦数据的集中趋势核心知识点，系统梳理算术平均数（反映整体平均水平，易受极端值影响）、加权平均数（体现权的重要程度）、中位数（反映中间水平，不受极端值影响）、众数（反映多数水平，可多众数）及三者对比，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料通过基础必考、培优高频、压轴素养三层题型设计，结合体育测试、航天知识等现实情境，培养数据意识与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后易错点总结与巩固练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题24.1 数据的集中趋势 知识点1：算术平均数 1.定义：对于个数据，把叫做这组数据的算术平均数，简称平均数。 2.意义：反映数据的整体平均水平，易受极端值影响。 知识点2：加权平均数 1.定义：若个数据的权分别为，则加权平均数。 2.权的意义：表示数据的重要程度，常见形式：次数、比、百分比。 知识点3：中位数 1.定义：将数据从小到大（或从大到小）排列： 数据个数为奇数：中间位置的数为中位数； 数据个数为偶数：中间两个数的平均数为中位数。 2.意义：反映数据的中间水平，不受极端值影响。 知识点4：众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据；一组数据的众数可以不止一个。 2.意义：反映数据的多数水平，不受极端值影响。 知识点5：平均数、中位数、众数对比 统计量 是否唯一 是否受极端值影响 适用场景 平均数 唯一 是 整体平均、数据均匀 中位数 唯一 否 有极端值、关注中间水平 众数 可不唯一 否 关注最常出现、销售尺码等 【基础必考题型】 【题型1】直接计算平均数 1.核心知识点 平均数公式；数据求和与个数统计。 2.解题方法技巧 先求总和，再除以个数；注意负数、小数运算准确。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是____________． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是________分（精确到）． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在青年歌手电视大奖赛中，采用10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，已知10位评委给某位歌手的打分分别是（单位：分）：，，，，，，，，，．则这位歌手的最后得分为___________分 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校对各年级的人数及某天大课间的出勤率统计如下表： 年级 学生人数 出勤率 七年级 420 95 八年级 480 95 九年级 450 96 求这所学校大课间的出勤率为___________．（结果保留整数） 【题型2】直接计算中位数 1.核心知识点 先排序；奇数个取中间，偶数个取中间两数平均。 2.解题方法技巧 口诀：先排序，再定中；务必从小到大排列。 【例题2】.（2026·湖南岳阳·二模）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 【变式题2-1】.（2026·云南临沧·二模）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 【变式题2-2】.（2026·江西九江·二模）适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（     ） A．68次/分 B．69次/分 C．70次/分 D．72．5次/分 【变式题2-3】.（2026·河南郑州·模拟预测）年是我国航天事业持续突破的关键一年，神舟系列载人飞行、探月探火工程等任务广受关注．某初级中学为考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，随机在校园内抽查100名学生，对他们能说出的我国重大航天工程数量进行调查，整理成如图所示的条形统计图，则这名学生对我国重大航天工程了解情况的中位数为______． 【题型3】直接找众数 1.核心知识点 找出现次数最多的数据；可多众数。 2.解题方法技巧 数频率，频率最高即为众数；不唯一要写全。 【例题3】.（2026·江苏无锡·三模）2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【变式题3-1】.（2026·海南三亚·模拟预测）某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．174，175 B．175，176 C．176，176 D．176，177 【变式题3-2】.（2026·山东东营·二模）在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 【变式题3-3】.（2026·云南玉溪·二模）某校举办“校园歌手”比赛，有七位评委为选手打分，其中甲选手的个分数分别是，，，，，，，则甲选手成绩的众数是_______． 【题型4】加权平均数计算（权重为次数/比/百分比） 1.核心知识点 加权平均数公式；权的含义。 2.解题方法技巧 数据×权重求和→除以总权重；权重为比时直接按比例计算。 【例题4】.（2026·河南信阳·二模）为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【变式题4-1】.（2026·湖南郴州·二模）某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式题4-2】.（2026·福建漳州·模拟预测）某烘焙社团招募新成员，测试项目包括配方掌握、实操烘焙、创意装饰，规定三项成绩依次按的比例计入总成绩．某成员这三项的测试得分分别为 90分，92分，88分，则该成员的总成绩为________分． 【变式题4-3】.（2026·河南·模拟预测）小明在一次中考体育模拟测试成绩得分情况如表，4项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩．则小明的最终成绩为_____分． 测试项目 1000米跑 一分钟跳绳 立定跳远 篮球技能 测试成绩（分） 95 90 100 100 【培优高频题型】 【题型5】已知平均数/中位数/众数求参数 1.核心知识点 逆用定义列方程；注意分类讨论。 2.解题方法技巧 按定义列式→解方程→检验是否符合题意。 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【变式题5-2】.（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【题型6】数据修正对统计量的影响判断 1.核心知识点 平均数易受极端值影响；中位数、众数一般不受影响。 2.解题方法技巧 只改极端值：平均数变，中位数、众数常不变。 【例题6】.（2025·河北邯郸·二模）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．在这次活动中，某兴趣小组的10名学生的成绩如下（满分100分）：85，78，92，88，76，90，85，79，87，82．已知这组成绩的平均数为分，中位数为85分．现在有一名新同学加入该小组，他的成绩为85分．加入新数据后，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数不变 B．平均数不变，中位数变大 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数变大，中位数变大 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某校篮球队名队员的身高分别为：，，，，，（单位：cm），现增加了一名身高为的队员，与之前相比，篮球队队员的身高（  ） A．平均数变大，中位数变大 B．平均数变大，中位数不变 C．平均数不变，中位数变大 D．平均数变小，中位数变小 【变式题6-2】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______． 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到不相同的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；若去掉一个最低分，平均分为y；若同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z．x，y，z的大小关系为________________． 【题型7】统计量与统计图（条形/扇形/折线）结合 1.核心知识点 读图提取数据；计算平均数、中位数、众数。 2.解题方法技巧 先从图中读出所有数据→排序→再计算。 【例题7】.（2026·安徽黄山·二模）为了增强中学生的反诈意识和防范能力，某中学组织了全员反诈知识培训测评．以下是本次反诈知识测评成绩抽样与数据分析过程： 【收集数据】随机抽取了部分学生的测评成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为50分，最高分为满分100分．对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分组 频数 百分比 1 m 2 21 3 24 n 4 60 5 33 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制出如上不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题∶ (1)_______，_______；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生测评成绩的中位数处于第______组的分数段内； (3)该中学计划将测评成绩不低于90分的学生评为“反诈知识小卫士”，请估计全校2500名学生中获得“反诈知识小卫士”的人数． 【变式题7-1】.（2026·安徽合肥·三模）安徽合肥“人造太阳”（）实验装置的科研团队，为优化实验观测系统的操作便捷性，邀请75名不同领域的科研人员对系统操作界面进行“操作复杂度评分”（评分为整数，单位：分，分数越低表示操作越便捷），并将评分按以下六组整理，同时统计了各组对应的“操作耗时”（单位：分钟），部分信息如下： 组别 A B C D E F 分组 （复杂度评分） 人数 8 15 22 10 6 该组平均操作耗时 （分钟） 3 5 7 10 14 18 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求的值； (2)若以“复杂度评分的中位数对应的组”来代表整体操作复杂度水平，判断该中位数落在哪个组； (3)科研团队规定：若“平均操作耗时”不超过9分钟，则认定界面“操作高效”．请结合各组人数与对应平均耗时，计算这75名科研人员的平均操作耗时，并判断该界面是否达到“操作高效”标准． 【变式题7-2】.（2026·湖南湘潭·二模）2026年4月24日是第十一个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】请根据上述信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． (3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【变式题7-3】.（2026·陕西西安·三模）“大国重器”是国家综合实力的体现，为了激发学生对国家科技硬实力的兴趣，增强文化自信．实验中学组织了男生组和女生组各100人，参加“大国重器我来讲”的主题知识竞赛，赛后张老师随机从男生组和女生组的竞赛成绩（成绩用x分表示）中，用科学的抽样方法各抽取了10名学生的成绩，整理如下： 其中抽取的10名女生成绩中，成绩在分的数据为：83，86，87，88． (1)抽取的学生中，男生组学生成绩的众数是________分，女生组学生成绩的中位数是________分； (2)求抽取的男生组这10名学生的平均成绩； (3)估计参加竞赛的学生中，成绩不低于90分的学生有多少人？ 【压轴素养题型】 【题型8】统计量的合理选择与决策 1.核心知识点 平均数：整体水平；中位数：中间水平；众数：多数水平。 2.解题方法技巧 有极端值选中位数；关注最受欢迎选众数；数据均匀选平均数。 【例题8】.（2026·山东潍坊·二模）花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 (1)将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； (2)求出，的值； (3)如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 【变式题8-1】.（2026·四川成都·二模）某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； (2)乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； (3)在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 【变式题8-2】.（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 (1)请算出三人的民主评议得分； (2)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【变式题8-3】.（2025·福建福州·模拟预测）在某线上购物平台，商家售卖智能手机需要关注四个方面的评分：外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分．每个方面的评分满分均为5分，这四个方面的评分对商家的最终综合评分都有影响．只有当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号．现在我们关注两家商家A和B，他们在智能手机销售中的部分评分已经公布． 商家 外观设计评分 手机性能评分 拍照功能评分 售后服务评分 A 5 B (1)若平台考虑将外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分的权重设为计算综合评分，请为商家A计算出这一得分，并判断它是否达到了“优质商家”的标准； (2)根据表中数据，能否判断商家B一定达到了“优质商家”的标准，若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 【题型9】新定义/阅读理解与统计量结合 1.核心知识点 按新定义运算→转化为求平均数/中位数/众数。 2.解题方法技巧 严格按定义列式，再用本节知识求解。 【例题9】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 【变式题9-1】.（21-22八年级下·福建漳州·期中）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{3，1，1}＝1，min{1，2，－3}＝－3，请结合上述材料，解决下列问题： (1)____________ (2)，则x的取值范围是____________ (3)若M{－2x，x，2x＋3}＝2，求x的值 (4)若M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，求x的值 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）阅读以下材料：对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；．请解决下列问题： (1) ； ； (2)若，求的取值范围； (3)如果，求． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广西百色·期末）背景材料： 党和国家高度重视青少年身心健康．一种少年儿童的标准体重(单位：)计算方式为：标准体重．某校七年级某小组6位同学(年龄均为岁)的体重情况如下表所示，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 同学编号 1 2 3 4 5 6 差值 (1)根据公式，计算岁少年的标准体重．并分别求出编号1、5两位同学的实际体重． (2)计算该小组6位同学的体重差值(即上表中的数据)的平均偏离值．【注：平均偏离值，结果保留一位小数】 (3)对于重视青少年身心健康，在6位同学中，你想对哪一个编号的同学说一句话？这一句话是什么？ 易错点 1、求中位数时忘记先排序，直接取中间数导致错误。 2、加权平均数把权重当数据直接相加，未按“数据×权重”计算。 3、众数误认为必须唯一，漏写多众数情况。 4、混淆平均数与中位数的意义，错误判断数据水平。 5、数据个数统计错误，导致中位数位置找错。 6、极端值影响判断失误，以为平均数能代表所有情况。 重点 1、算术平均数、加权平均数的计算。 2、中位数的计算：先排序，再定中。 3、众数的查找。 4、三种统计量的意义与适用场景。 5、统计图与统计量结合计算。 难点 1、已知统计量反求参数（分类讨论）。 2、统计量的合理选择与实际决策。 3、样本平均数估计总体的实际应用。 4、多组数据综合对比评价。 【对应练习题】 一、单选题 1．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（    ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 2．某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（     ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A．91，91 B．91，90 C．90.5，90 D．90，91 3．现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 5．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 6．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 三、解答题 7．为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图如图所示，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图1中的值为____________； (2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； (3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校1800名九年级男生中该项目良好的人数． 8．在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． (1)①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； (2)学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 9．为了科普春季卫生防疫知识，学校组织了一次知识竞赛，团委老师分别从七、八两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两个年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； ②七年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 70，72，73，73，75，77，78，78，79． 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级抽取的40名同学成绩的中位数是__________； (2)补全知识竞赛成绩频数分布直方图； (3)若成绩为90分以上（含90分）为优秀，学校七年级有600人，八年级有700人，估计两个年级成绩优秀的总人数． 10．【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 (2)根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ (3)集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.1 数据的集中趋势 知识点1：算术平均数 1.定义：对于个数据，把叫做这组数据的算术平均数，简称平均数。 2.意义：反映数据的整体平均水平，易受极端值影响。 知识点2：加权平均数 1.定义：若个数据的权分别为，则加权平均数。 2.权的意义：表示数据的重要程度，常见形式：次数、比、百分比。 知识点3：中位数 1.定义：将数据从小到大（或从大到小）排列： 数据个数为奇数：中间位置的数为中位数； 数据个数为偶数：中间两个数的平均数为中位数。 2.意义：反映数据的中间水平，不受极端值影响。 知识点4：众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据；一组数据的众数可以不止一个。 2.意义：反映数据的多数水平，不受极端值影响。 知识点5：平均数、中位数、众数对比 统计量 是否唯一 是否受极端值影响 适用场景 平均数 唯一 是 整体平均、数据均匀 中位数 唯一 否 有极端值、关注中间水平 众数 可不唯一 否 关注最常出现、销售尺码等 【基础必考题型】 【题型1】直接计算平均数 1.核心知识点 平均数公式；数据求和与个数统计。 2.解题方法技巧 先求总和，再除以个数；注意负数、小数运算准确。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【分析】本题考查的是平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键． 根据平均数的定义，计算所有数据的和除以数据的个数． 【详解】解：这组数据的平均数为， 故答案为：10． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东威海·期末）某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是________分（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的求解，先计算两个班的总分数和总人数，再求总平均分，最后精确到分即可． 【详解】解：一班总分数为（分）， 二班总分数为（分）， 两个班总分数为（分）， 总人数为（人）， 总平均分为（分）， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在青年歌手电视大奖赛中，采用10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，已知10位评委给某位歌手的打分分别是（单位：分）：，，，，，，，，，．则这位歌手的最后得分为___________分 【答案】 【分析】先确定打分中的最高分与最低分并去掉，再依据算术平均数的计算方法，计算剩余8个数据的平均数即可得到最后得分． 【详解】解：由题意得，去掉最高分分和最低分分，剩余的8个分数为，，，，，，，． 计算剩余分数的总和： 根据算术平均数的定义，最后得分（分）． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校对各年级的人数及某天大课间的出勤率统计如下表： 年级 学生人数 出勤率 七年级 420 95 八年级 480 95 九年级 450 96 求这所学校大课间的出勤率为___________．（结果保留整数） 【答案】95 【详解】解：． 【题型2】直接计算中位数 1.核心知识点 先排序；奇数个取中间，偶数个取中间两数平均。 2.解题方法技巧 口诀：先排序，再定中；务必从小到大排列。 【例题2】.（2026·湖南岳阳·二模）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 【答案】 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，， 这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数， 因此这组数据的中位数是． 【变式题2-1】.（2026·云南临沧·二模）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 【答案】 【分析】根据中位数的定义，先将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再找出最中间的数，即可得到这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列得：21，22，22，22，22，22，23，23，23，这组数据共有个，是奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第5个数，又第个数为， ∴这组数据的中位数是． 【变式题2-2】.（2026·江西九江·二模）适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分．某班班主任随机测量了班上15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 5 5 1 2 则这15名学生的心率的中位数是（     ） A．68次/分 B．69次/分 C．70次/分 D．72．5次/分 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解，即可． 【详解】解：∵把这15个数据从小到大排列，位于第8个数据为70， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分． 【变式题2-3】.（2026·河南郑州·模拟预测）年是我国航天事业持续突破的关键一年，神舟系列载人飞行、探月探火工程等任务广受关注．某初级中学为考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，随机在校园内抽查100名学生，对他们能说出的我国重大航天工程数量进行调查，整理成如图所示的条形统计图，则这名学生对我国重大航天工程了解情况的中位数为______． 【答案】 【分析】根据中位数的定义，需将数据从小到大排列.由于样本容量为，是偶数，中位数是排序后第个和第个数据的平均数，通过计算累计频数确定这两个数据的具体数值即可． 【详解】解：由条形统计图可知，样本容量为，将这个数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数分别是第个数和第个数， 因为，，且，， 所以第个数据和第个数据都落在说出个工程这一组，即这两个数都是， 所以中位数为． 【题型3】直接找众数 1.核心知识点 找出现次数最多的数据；可多众数。 2.解题方法技巧 数频率，频率最高即为众数；不唯一要写全。 【例题3】.（2026·江苏无锡·三模）2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 【变式题3-1】.（2026·海南三亚·模拟预测）某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．174，175 B．175，176 C．176，176 D．176，177 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取最中间的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，根据定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：170，172， 172，174，176， 176，176，180，190 ∵这组数据共9个，为奇数个，中位数是排序后第个数， ∴中位数为176； ∵176在这组数据中出现次数最多，共出现次， ∴众数为176． 【变式题3-2】.（2026·山东东营·二模）在体育运动技能测试中，参与排球连续垫球项目的15名学生的成绩如下表所示： 个数 18 21 25 27 30 35 人数 2 1 4 3 3 2 则这15名学生连续垫球个数的众数是________个． 【答案】25 【分析】根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格中的数据即可确定众数． 【详解】解：由统计表可知，垫球个数为25的人数最多，为4人， ∴众数为25． 【变式题3-3】.（2026·云南玉溪·二模）某校举办“校园歌手”比赛，有七位评委为选手打分，其中甲选手的个分数分别是，，，，，，，则甲选手成绩的众数是_______． 【答案】90 【分析】利用众数的定义求解即可． 【详解】解：观察甲选手的个分数发现出现次数最多， 因此，甲选手成绩的众数是． 【题型4】加权平均数计算（权重为次数/比/百分比） 1.核心知识点 加权平均数公式；权的含义。 2.解题方法技巧 数据×权重求和→除以总权重；权重为比时直接按比例计算。 【例题4】.（2026·河南信阳·二模）为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 【变式题4-1】.（2026·湖南郴州·二模）某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】分别用每个项目的成绩乘以其权重，再将所得结果相加即可得到总成绩． 【详解】解：小明的模拟训练成绩． 【变式题4-2】.（2026·福建漳州·模拟预测）某烘焙社团招募新成员，测试项目包括配方掌握、实操烘焙、创意装饰，规定三项成绩依次按的比例计入总成绩．某成员这三项的测试得分分别为 90分，92分，88分，则该成员的总成绩为________分． 【答案】 【详解】解：由题意，该成员的总成绩（分）. 【变式题4-3】.（2026·河南·模拟预测）小明在一次中考体育模拟测试成绩得分情况如表，4项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩．则小明的最终成绩为_____分． 测试项目 1000米跑 一分钟跳绳 立定跳远 篮球技能 测试成绩（分） 95 90 100 100 【答案】96.5 【分析】根据加权平均数的运算方法运算即可． 【详解】解：（分）． 【培优高频题型】 【题型5】已知平均数/中位数/众数求参数 1.核心知识点 逆用定义列方程；注意分类讨论。 2.解题方法技巧 按定义列式→解方程→检验是否符合题意。 【例题5】.（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据平均数的定义可得 ， 解得． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 【变式题5-2】.（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：数据之和为， 平均数为， 解得． 故答案为：3． 【题型6】数据修正对统计量的影响判断 1.核心知识点 平均数易受极端值影响；中位数、众数一般不受影响。 2.解题方法技巧 只改极端值：平均数变，中位数、众数常不变。 【例题6】.（2025·河北邯郸·二模）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．在这次活动中，某兴趣小组的10名学生的成绩如下（满分100分）：85，78，92，88，76，90，85，79，87，82．已知这组成绩的平均数为分，中位数为85分．现在有一名新同学加入该小组，他的成绩为85分．加入新数据后，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数不变 B．平均数不变，中位数变大 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数变大，中位数变大 【答案】C 【分析】根据中位数，平均数的定义解答即可． 本题考查了平均数，中位数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得85，78，92，88，76，90，85，79，87，82．已知这组成绩的平均数为分，中位数为85分． ∴即中位数为第5个数据，第6个数据的平均数即， 当添加数据85，得即中位数为第6个数据即， 故中位数不变； 故B，D错误； 根据题意，得数据的总分为（分）， 当添加数据85，后总分为（分）， 故新平均分为即（分）， 故新平均分增大； 故A错，C正确； 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某校篮球队名队员的身高分别为：，，，，，（单位：cm），现增加了一名身高为的队员，与之前相比，篮球队队员的身高（  ） A．平均数变大，中位数变大 B．平均数变大，中位数不变 C．平均数不变，中位数变大 D．平均数变小，中位数变小 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数和中位数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．分别求出变化前后的平均数和中位数，进行求解即可． 【详解】解：∵ 原始数据：，，，，，， 总和为：， 平均数为： ， 排序后：， 中位数为：； 增加一名队员后，新数据：， 新总和为：， 新平均数为：， 排序后：， 新中位数为：， ∴ 平均数从变为，变大；中位数从变为，变大． 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______． 【答案】7 【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，先求出原始数据的中位数和众数，然后逐一检验去掉每个数后中位数和众数是否保持不变． 【详解】解：原始数据排序后为5，5，6，7，8，9，10，中位数为7，众数为5． 去掉一个数后，数据个数为6，中位数为第3和第4个数的平均值． 若去掉5（任一），众数改变； 去掉6、8、9、10时，中位数均不为7； 只有去掉7时，剩余数据排序后为5，5，6，8，9，10，众数为5，中位数为，保持不变．故去掉的数可能是7． 故答案为： 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到不相同的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；若去掉一个最低分，平均分为y；若同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z．x，y，z的大小关系为________________． 【答案】 【分析】设五位评委的打分从低到高为，然后根据题目条件分别写出的表达式，再通过作差比较它们的大小． 【详解】解：设五位评委的分数为， 去掉一个最高分，剩余分数的平均分为： ． 去掉一个最低分，剩余分数的平均分为： ． 同时去掉一个最高分和一个最低分，剩余分数的平均分为： ． ①比较与： ， ∵， ∴，即： ∴． ②比较与： ， ∵， ∴，即：． ∴． 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数的计算与大小比较，解题关键是通过设出分数的大小顺序，将平均分用表达式表示，再利用作差法比较大小． 【题型7】统计量与统计图（条形/扇形/折线）结合 1.核心知识点 读图提取数据；计算平均数、中位数、众数。 2.解题方法技巧 先从图中读出所有数据→排序→再计算。 【例题7】.（2026·安徽黄山·二模）为了增强中学生的反诈意识和防范能力，某中学组织了全员反诈知识培训测评．以下是本次反诈知识测评成绩抽样与数据分析过程： 【收集数据】随机抽取了部分学生的测评成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为50分，最高分为满分100分．对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分组 频数 百分比 1 m 2 21 3 24 n 4 60 5 33 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制出如上不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题∶ (1)_______，_______；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生测评成绩的中位数处于第______组的分数段内； (3)该中学计划将测评成绩不低于90分的学生评为“反诈知识小卫士”，请估计全校2500名学生中获得“反诈知识小卫士”的人数． 【答案】(1)12；；频数分布直方图补充如下： (2)4 (3)估计全校2500名学生中获得“反诈知识小卫士”的人数为550人 【分析】（1）先求出样本容量，再根据频数、频率计算方法计算即可；根据m的值画图即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）由样本所占百分比估计总体的数量即可． 【详解】（1）解：样本容量为， ，； （2）解：将150名学生的测评成绩从小到大排列，第75名和76名的学生处于这一组，即所抽取学生测评成绩的中位数处于第4组的分数段内； （3）解：估计全校2500名学生中获得“反诈知识小卫士”的人数为（人）． 【变式题7-1】.（2026·安徽合肥·三模）安徽合肥“人造太阳”（）实验装置的科研团队，为优化实验观测系统的操作便捷性，邀请75名不同领域的科研人员对系统操作界面进行“操作复杂度评分”（评分为整数，单位：分，分数越低表示操作越便捷），并将评分按以下六组整理，同时统计了各组对应的“操作耗时”（单位：分钟），部分信息如下： 组别 A B C D E F 分组 （复杂度评分） 人数 8 15 22 10 6 该组平均操作耗时 （分钟） 3 5 7 10 14 18 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求的值； (2)若以“复杂度评分的中位数对应的组”来代表整体操作复杂度水平，判断该中位数落在哪个组； (3)科研团队规定：若“平均操作耗时”不超过9分钟，则认定界面“操作高效”．请结合各组人数与对应平均耗时，计算这75名科研人员的平均操作耗时，并判断该界面是否达到“操作高效”标准． 【答案】(1) (2)中位数落在组（即组） (3)平均操作耗时约为分钟，该界面达到“操作高效”标准 【分析】（1）利用总人数等于各组人数之和，计算的值； （2）根据中位数的定义，确定75个数据的中位数是从小到大排列的第38个数据，通过累计频数判断中位数所在分组即可； （3）计算75人的平均操作耗时，与9分钟比较，判断是否符合“操作高效”标准． 【详解】（1）解：已知总人数为75，因此； （2）解：75个数据从小到大排列，中位数为第个数据， 累计各组人数：A组有8个，累计到B组共个，累计到C组共个，累计到D组共个， ， 第38个数据落在D组，即中位数落在D组； （3）解：计算总操作耗时： （分钟）， 平均操作耗时为（分钟）， ， 该界面达到“操作高效”标准． 【变式题7-2】.（2026·湖南湘潭·二模）2026年4月24日是第十一个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】请根据上述信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． (3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)图见解析，；； (2)七年级学生的成绩好，理由见解析 (3)七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人 【分析】（1）根据题干中所给的数据求出八年级的中位数、七年级的众数，用八年级竞赛成绩在D组的学生的占比乘以求出圆心角的度数即可； （2）根据平均数和中位数可判断七年级学生的成绩好； （3）求出七年级竞赛成绩不低于分的学生百分比，再乘以相应的人数即可． 【详解】（1）解：七年级D组人数为（人）； 补全图形如下： 将八年级的数据按从小到大的顺序排列，则八年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数， 八年级组和组共有（人）， 第10、第11位的两个数据为79，85， ． 七年级测试成绩出现次数最多的是89分， ． 八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为； （2）解：七年级学生的成绩好． 理由：从平均数看，七年级样本数据的平均数大于八年级样本数据的平均数； 从中位数看，七年级样本数据的中位数大于八年级样本数据的中位数，说明七年级学生中至少有一半以上的成绩高于88.5，而八年级约有一半的学生成绩低于82； （3）解：（人）， 答：七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人． 【变式题7-3】.（2026·陕西西安·三模）“大国重器”是国家综合实力的体现，为了激发学生对国家科技硬实力的兴趣，增强文化自信．实验中学组织了男生组和女生组各100人，参加“大国重器我来讲”的主题知识竞赛，赛后张老师随机从男生组和女生组的竞赛成绩（成绩用x分表示）中，用科学的抽样方法各抽取了10名学生的成绩，整理如下： 其中抽取的10名女生成绩中，成绩在分的数据为：83，86，87，88． (1)抽取的学生中，男生组学生成绩的众数是________分，女生组学生成绩的中位数是________分； (2)求抽取的男生组这10名学生的平均成绩； (3)估计参加竞赛的学生中，成绩不低于90分的学生有多少人？ 【答案】(1)87； (2)85分 (3)60人 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据平均数的公式解答即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：∵抽取的学生中，男生组学生成绩出现次数最多的为87分， ∴男生组学生成绩的众数是87分； ∵抽取的学生中，女生组学生成绩从小到大排列后位于第5位和第6位的分别为86分和87分， ∴女生组学生成绩的中位数是分； （2）解：分， 即抽取的男生组这10名学生的平均成绩为85分； （3）解：人， 即成绩不低于90分的学生有60人． 【压轴素养题型】 【题型8】统计量的合理选择与决策 1.核心知识点 平均数：整体水平；中位数：中间水平；众数：多数水平。 2.解题方法技巧 有极端值选中位数；关注最受欢迎选众数；数据均匀选平均数。 【例题8】.（2026·山东潍坊·二模）花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 (1)将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； (2)求出，的值； (3)如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 【答案】(1)图见解析，； (2)，； (3)理由见解析． 【分析】（）由粒的频数除以对应的所占百分比即可求出样本容量，通过即可求出粒的频数，再由粒的所占比乘以即可求出粒时对应的扇形圆心角的度数，然后补全频数直方图即可； （）根据中位数的定义即可求出，再利用即可求出的值； （）通过中位数、众数、方差、平均数相关定义即可求解． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴粒的频数为，粒对应扇形圆心角的度数为：， ∴频数直方图补全如图， （2）解：∵样本容量为， ∴将这组数据由小到大排列后处于第和的数均为， ∴中位数，； （3）解：新培育品种与本地主栽品种的统计量相比，中位数、众数、方差均相同，但新培育品种的平均数和丰产果率均大于本地主栽品种，因此新培育品种优于本地主栽品种． 【变式题8-1】.（2026·四川成都·二模）某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； (2)乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； (3)在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 【答案】(1)240 (2)见解析 (3)甲，理由见解析 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及运用加权平均数作决策．（1）先算场景演示的占比，再用场景演示得分除以占比，得到甲的三项总分；（2）用乙的总分减去已知两项得分，算出专业笔试分数，补全条形图；（3）先算出甲的各项得分，再按的权重分别计算两人的最终得分，比较后择优分配即可． 【详解】（1）解：∵扇形统计图中，专业笔试和综合素质各占， ∴场景演示的占比为：， 已知场景演示得分为分，设总分为，则： ， 解得： (分)； 答：甲的三项总得分是分； （2）解：∵乙的三项总得分也为240分，其中场景演示78分、综合素质80分， ∴乙的专业笔试得分为： (分) ； （3）解：甲的各项得分： 甲的场景演示：84分（占比) ， 甲的专业笔试： 分， 甲的综合素质：分， 按的比例计算最终得分，甲的最终得分为： (分)； 乙的各项得分： 乙的场景演示78分， 乙的专业笔试82分， 乙的综合素质80分， 按的比例计算最终得分，乙的最终得分为： (分)； 因为，所以甲的最终得分更高，甲将被分配到产品推广团队． 【变式题8-2】.（2026·广东广州·一模）某单位计划从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 (1)请算出三人的民主评议得分； (2)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分． (2)丙将被录用． 【分析】本题考查了加权平均数与扇形统计图的应用，解题的关键是利用扇形统计图计算民主评议得分，再根据给定的权重计算加权平均数进行比较． （1）根据总票数和扇形统计图中的得票率，计算三人的民主评议得分； （2）根据笔试、面试、民主评议三项得分及权重，计算三人的加权平均成绩，比较后确定录用者． 【详解】（1）解：甲的民主评议得分（分）， 乙的民主评议得分（分）， 丙的民主评议得分（分）． 答：甲、乙、丙的民主评议得分分别为50分、80分、70分． （2）解：甲的个人成绩 乙的个人成绩 丙的个人成绩 ∵ ， ∴ 丙的个人成绩最高． 答：丙将被录用． 【变式题8-3】.（2025·福建福州·模拟预测）在某线上购物平台，商家售卖智能手机需要关注四个方面的评分：外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分．每个方面的评分满分均为5分，这四个方面的评分对商家的最终综合评分都有影响．只有当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号．现在我们关注两家商家A和B，他们在智能手机销售中的部分评分已经公布． 商家 外观设计评分 手机性能评分 拍照功能评分 售后服务评分 A 5 B (1)若平台考虑将外观设计评分，手机性能评分，拍照功能评分和售后服务评分的权重设为计算综合评分，请为商家A计算出这一得分，并判断它是否达到了“优质商家”的标准； (2)根据表中数据，能否判断商家B一定达到了“优质商家”的标准，若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 【答案】(1)分，商家A达到了“优质商家”的标准； (2)商家B未达到了“优质商家”的标准，举例见解析． 【分析】（1）根据加权平均数计算即可； （2）根据平均数的计算公式计算，然后作出判断即可． 本题考查了平均数和加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 【详解】（1）商家A的综合评分为：（分）， 当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号， 商家A达到了“优质商家”的标准； （2）商家B不一定达到了“优质商家”的标准， 证明：商家B的综合评分为：， 当商家的综合评分超过分时，才能被授予“优质商家”的称号， 商家B的综合评分为，商家B未达到了“优质商家”的标准． 【题型9】新定义/阅读理解与统计量结合 1.核心知识点 按新定义运算→转化为求平均数/中位数/众数。 2.解题方法技巧 严格按定义列式，再用本节知识求解。 【例题9】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，中位数，一次函数的其他应用．首先计算的算术平均数，得到 ，然后根据 的取值范围确定 的中位数表达式，并分别在不同情况下设求解方程，最终在内得到解 ，代入求出值，即可作答． 【详解】解：设，，， 则为的中位数， 依题意， 求两两相等的点：当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， 解得， 依题意，把代入，得， 则函数与的交点为， 故答案为：． 【变式题9-1】.（21-22八年级下·福建漳州·期中）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{3，1，1}＝1，min{1，2，－3}＝－3，请结合上述材料，解决下列问题： (1)____________ (2)，则x的取值范围是____________ (3)若M{－2x，x，2x＋3}＝2，求x的值 (4)若M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，求x的值 【答案】(1) (2)-2≤x≤4 (3)x=3 (4)x=1 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可； （2）根据不等式解决问题即可； （3）构建方程即可解决问题； （4）把问题转化为不等式组解决即可． 【详解】（1）=， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴﹣2≤x≤4， 故答案为：﹣2≤x≤4； （3）∵M{－2x，x，2x＋3}＝2， ∴， 解得：x＝3； （4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，且， ∴， 解得：1≤x≤1， ∴x＝1． 【点睛】本题考查不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）阅读以下材料：对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；．请解决下列问题： (1) ； ； (2)若，求的取值范围； (3)如果，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）由定义得到不等式组求解即可； （3）先求，再由定义得到不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ， 由①得， 由②得， ； （3）解：， 由可得， ∴， 解①得， 解②得, ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广西百色·期末）背景材料： 党和国家高度重视青少年身心健康．一种少年儿童的标准体重(单位：)计算方式为：标准体重．某校七年级某小组6位同学(年龄均为岁)的体重情况如下表所示，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 同学编号 1 2 3 4 5 6 差值 (1)根据公式，计算岁少年的标准体重．并分别求出编号1、5两位同学的实际体重． (2)计算该小组6位同学的体重差值(即上表中的数据)的平均偏离值．【注：平均偏离值，结果保留一位小数】 (3)对于重视青少年身心健康，在6位同学中，你想对哪一个编号的同学说一句话？这一句话是什么？ 【答案】(1)13岁少年的标准体重为；编号1同学实际体重为，编号5同学实际体重为； (2)； (3)示例：编号4的同学；同学，你的体重超出标准较多，请注意合理饮食，加强体育锻炼，保持健康体魄。（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算及实际应用，涉及代数式求值、绝对值的计算和平均数的求解。 （1）先利用给定的标准体重公式代入年龄计算标准体重，再根据“实际体重=标准体重+体重差值”分别计算1号、5号同学的实际体重； （2）根据平均偏离值的定义，先求所有体重差值的绝对值之和，再除以总人数6，最后按要求保留一位小数； （3）结合各同学体重与标准体重的差值情况，从健康角度给出合理建议即可，答案具有开放性。 【详解】（1）解：根据标准体重公式， ； 编号1同学的实际体重为； 编号5同学的实际体重为； （2）解：根据平均偏离值的定义，先计算各差值的绝对值之和： ； 再计算平均偏离值； （3）解：选择编号4的同学，想对他说：“同学，你的体重超出标准较多，请注意合理饮食，多参加体育锻炼，保持健康的体重哦！”。（答案不唯一，针对体重偏差较大的同学给出合理健康建议即可） 易错点 1、求中位数时忘记先排序，直接取中间数导致错误。 2、加权平均数把权重当数据直接相加，未按“数据×权重”计算。 3、众数误认为必须唯一，漏写多众数情况。 4、混淆平均数与中位数的意义，错误判断数据水平。 5、数据个数统计错误，导致中位数位置找错。 6、极端值影响判断失误，以为平均数能代表所有情况。 重点 1、算术平均数、加权平均数的计算。 2、中位数的计算：先排序，再定中。 3、众数的查找。 4、三种统计量的意义与适用场景。 5、统计图与统计量结合计算。 难点 1、已知统计量反求参数（分类讨论）。 2、统计量的合理选择与实际决策。 3、样本平均数估计总体的实际应用。 4、多组数据综合对比评价。 【对应练习题】 一、单选题 1．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（    ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】B 【分析】根据给定权重比计算加权总评成绩，结合总评不低于85分的要求列不等式求解即可． 【详解】解：设小王期末成绩为x分，根据题意得： 解得： 小王期末成绩不低于86分． 2．某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（     ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A．91，91 B．91，90 C．90.5，90 D．90，91 【答案】A 【分析】中位数是将数据从小到大排列后最中间位置的数，数据个数为奇数时即为中间的数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义即可求解． 【详解】解：∵共有15个参赛选手，数据个数为奇数， ∴中位数是从小到大排列后第个数据． 计算累计人数得 ，即成绩小于91分的共有6人，第7到第10个数据都是91分，因此第8个数据为91分，即中位数为91． ∵91分出现了4次，是所有成绩中出现次数最多的数， ∴众数为91． 3．现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中位数的定义确定的取值，再计算这组数据的平均数． 【详解】解：若这组数据的中位数是，则， 该组整数从小到大排列且不重复，则， 故这组数据的平均数为． 二、填空题 4．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 【答案】88.5 【分析】根据已知的三项成绩和权重比例，代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小万的分数分别是90分、95分、85分，三项成绩的权重比为， ∴最终成绩 ， 故答案为：． 5．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【答案】8 【分析】根据中位数的定义，先确定20个数据从小到大排列后中位数的位置，再找到对应位置的数据计算即可得到结果． 【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数． 分享4本的累计人数为， 分享6本的累计人数为， 分享8本的累计人数为， 因此第10个和第11个数据都为， 则中位数为． 6．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 则． 三、解答题 7．为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图如图所示，请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图1中的值为____________； (2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； (3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校1800名九年级男生中该项目良好的人数． 【答案】(1)40；25 (2)平均数为5.8，中位数为6，众数为5 (3)990 【分析】（1）根据条形统计图中的各组数据即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数，由条形统计图可知测试成绩为6次的人数和被调查的总人数，由此可求出m的值； （2）由平均数，中位数，众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：（名）， ，即， （2）解：平均数为（次）， 将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次， 可知数据5出现了12次，次数最多，故众数为5； （3）解：（人）， 答：该校1800名男生中该项目良好的人数大约为990人. 8．在某次体育测试中，甲、乙两名男生进行了次引体向上测试，成绩整理成如图的条形统计图，其中乙同学第次测试成绩尚未记录，已知甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同． (1)①补全条形统计图； ②直接写出乙同学次引体向上测试成绩的中位数和众数； (2)学校规定：引体向上次及以上为达标，次及以上为优秀． ①分别计算甲、乙两名同学的达标率； ②若按“达标一次计分，优秀一次额外加分”的规则计分，分别计算两人的总得分． 【答案】(1)①；②中位数为9，众数为9 (2)①甲同学的达标率为，乙同学的达标率为；②甲同学的总得分为6分，乙同学的总得分为9分 【分析】（1）①求出甲同学次引体向上测试成绩的平均数，即可求解；②根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据达标率的意义解答即可；②根据按“达标一次计分，优秀一次额外加分”，解答即可． 【详解】（1）解：①甲同学次引体向上测试成绩的平均数为 ， ∵甲，乙两位同学次引体向上测试成绩的平均数相同， ∴乙同学次引体向上测试成绩的平均数为8， ∴乙同学第次测试成绩为次， 补全条形统计图，如答案所示∶ ②把乙同学次引体向上测试成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，位于正中间的是9， ∴乙同学次引体向上测试成绩的中位数为9， ∵9出现的次数最多， ∴乙同学次引体向上测试成绩的众数为9； （2）解：①甲同学的达标率为， 乙同学的达标率为； ②甲同学的总得分为分， 乙同学的总得分为分． 9．为了科普春季卫生防疫知识，学校组织了一次知识竞赛，团委老师分别从七、八两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两个年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； ②七年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 70，72，73，73，75，77，78，78，79． 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级抽取的40名同学成绩的中位数是__________； (2)补全知识竞赛成绩频数分布直方图； (3)若成绩为90分以上（含90分）为优秀，学校七年级有600人，八年级有700人，估计两个年级成绩优秀的总人数． 【答案】(1)78 (2) (3)245人 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）先求出七年级分数段的人数，再补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：40个数据按大小顺序排列，最中间的两个数是第20，21个数据，即78，78， 故七年级抽取的40名同学成绩的中位数是； （2）解：（名）．     补全的知识竞赛成绩频数分布直方图略： （3）解： （人） 答：估计两个年级成绩优秀的总人数为245人． 10．【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 (2)根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ (3)集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)队成绩更稳定，理由见解析 (3) 【分析】本题考查分析统计图中的数据，中位数，平均数，方差等数值的概念，利用方差对两组数据进行比较与评价，等可能事件的概率和画树状图求概率． （1）根据中位数，平均数的概念，分析统计图中的数据，得出队的中位数和队平均数． （2）根据方差可以用来评价数据的稳定程度，可得队成绩更稳定． （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两队都选中七号队员的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵队中投中次数排序为，共个人， ∴中位数为第与第个数的平均值：， ∵队中投中次数排序为，共个人， ∴平均数为：， 故答案为：；； （2）解：队成绩更稳定，理由如下，            ∵，，方差越小数据越稳定， ∴队成绩更稳定； （3）解：队投中次数最高的同学有两位，为五号和七号，队投中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号， 根据题意绘制树状图如下， ∴共有六种等可能情况，其中两队都选七号的结果只有一种，        ∴两队都选七号的概率． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $