精品解析：山东省枣庄市第八中学2025-2026学年高一下学期5月数学素能综合检测试题

高一年级数学素能综合检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若平面，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C. 若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 11. 已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体外接球的体积为 B. 若直线与底面所成角为，则取值范围为 C. 若，则异面直线与所成的角为 D. 过且与垂直的截面与交于点，则棱锥体积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 13. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，． （1）求． （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求证：． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． （3）求点C到平面PBD的距离． 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学素能综合检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项. 【详解】，则， 故的虚部为. 故选：D. 2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若平面，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A、B；线面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，因为平面，，所以平面，又因为， 所以，故A正确； 对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则可能与相交，故D错误. 故选：D. 3. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 4. 已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算法则求得，利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故选：C. 5. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 6. 已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 因为方差为，则， 即， 所以， 则， 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 故选：C. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长方体性质和线面成角的定义计算，再计算和的值即可. 【详解】依题意，体对角线l满足则， 设l与上下底面成角，则，； 设l与左右侧面成角，则，； 设l与前后面成角，则，. 所以，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C. 若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】使用中位数，平均数，极差，方差的定义求解. 【详解】若样本数据的极差为，中位数为，平均数为，方差为，则样本数据的极差为，选项正确； 中位数为，选项错误； 平均数为，选项正确； 方差为，选项D错误. 10. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知求出棱台的斜高与高，求出侧面积与体积判断A与B；求出侧面与底面所成角的正切值判断C；分析外接球的球心位置，设其半径为R，结合四棱台的几何结构可得关于R的方程，求出R的值，计算外接球的体积判断D即可． 【详解】如图所示， 正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为， 侧面积为，故A错误； 正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为． 连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得． 过点作，使并交与点，侧棱长为2， 则，则有， 则正四棱台的体积，故B正确； 侧面与底面所成角的正切值为，故C正确； 由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上. 设其外接球的球心为G，半径为R，则有， 则有，解得. 故其外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 四面体外接球的体积为 B. 若直线与底面所成角为，则取值范围为 C. 若，则异面直线与所成的角为 D. 过且与垂直的截面与交于点，则棱锥体积最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用正三棱柱外接球的通用公式快速求解，简化计算；对于B，几何法分析线面角的最值，结合三角函数关系求范围；对于C，补形法构造异面直线所成角，结合几何关系计算验证；对于D，体积转化 + 几何轨迹分析，求体积最小值． 【详解】 对于A，四面体外接球即为正三棱柱外接球， 因为外接圆的半径，且， 设正三棱柱外接球的半径为，设正三棱柱的高为h＝， 则由得，故其体积为，A正确； 对于B，取的中点，连接，，，， 由正三棱柱的性质可知平面平面， 所以当点与重合时，最小为∠，， 当点与重合时，最大为，， 所以，易求得，B正确； 对于C，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱， 则(或其补角)为异面直线与所成的角，，， 因为，，所以，所以， 所以，即，C错误； 对于D，因， 故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大， 设的中点为，作出截面如图所示， 因为，所以，所以点在以为直径的圆上， 所以点到底面距离的最大值为， 所以三棱锥的体积的最小值为，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据百分数的定义就可求得第40百分位数. 【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据 ， 所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11， 故答案为：11. 13. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 【答案】 【解析】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断点在或处时最长，位于线段中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，利用线面角的定义可求出与平面所成角的正切值. 【详解】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 因为，所以由可得， 所以，所以. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，． （1）求． （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 【答案】（1） （2）选条件②；选条件③；不能选择条件①，此时不存在 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理及三角形内角和与二倍角公式计算即可得； （2）若选条件②：结合（1）中所得可求出，再求出，结合正弦定理与余弦定理可求出、，即可得周长；若选条件③：利用面积公式及余弦定理计算可得，即可得周长；不能选择条件①，结合余弦定理计算可得，该方程无解，即不存在. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以； 【小问2详解】 若选条件②：： 因为，由（1）可知，所以， 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 所以三角形的周长； 若选条件③：的面积为： 因为，由（1）可知，所以， 由三角形面积公式，得， 再由余弦定理，得，即， 所以，所以， 所以三角形的周长； 不能选条件①：，理由如下： 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以边不存在，故不存在. 16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面平面，即可得到平面. （2）过作于，则可知为三棱锥底面上的高，然后利用计算体积即可. 【小问1详解】 连接，分别是中点，，平面，平面，平面. 在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面. 又，平面，平面平面，平面，平面. 【小问2详解】 过作交于点. 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面. ，，又为中点，. . . 17. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，解得； 【小问2详解】 由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. 【小问3详解】 设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． （1）求证：． （2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值． （3）求点C到平面PBD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【小问1详解】 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． 【小问2详解】 连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． （1）若 求该几何体的体积与表面积． （2）若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 【答案】（1）该几何体的体积为，表面积为. （2） 【解析】 【分析】（1）分别求题中的正四棱锥和正四棱柱的体积和表面积，再对应相加可得该几何体的体积与表面积； （2）将侧面和侧面展开，易知的最小值为点到线段上点的最小值，即展开图中的最小值.由已知条件，求出，从而求得，结合余弦定理，判断的最小值为点到的距离，并求得该距离. 【小问1详解】 由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为. 【小问2详解】 如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以. 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $