山东滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年滕州一中高一（下）4月月考数学卷，以复数、向量、解三角形为核心，通过猫儿山索道测量等现实情境题，融合数学眼光观察、思维推理与语言表达，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数虚部、三角形形状判断|基础概念辨析，如第1题复数运算| |多项选择|3/18|复数性质、向量投影|选项分层，如第10题向量单位向量与投影辨析| |填空|3/15|复数方程、向量最值|运算与推理结合，第13题三点共线求最值| |解答题|5/77|解三角形综合、向量与函数|情境化与综合性，第18题锐角三角形周长范围考查逻辑推理|

2025-2026学年山东省枣庄市滕州一中高一(下)月考数学试卷(4月份) 一、单项选择题:本大题共8小题,共40分。 1.复数的虚部为( ) A. 1 B. C. 3 D. 2.在中,若,则的形状是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 3.如图,已知,,,,则( ) A. B. C. D. 4.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,若,,,则( ) A. B. 20 C. 16 D. 5.已知向量满足,且在上的投影向量为单位向量,则( ) A. B. C. 3 D. 2 6.猫儿山位于广西桂林,是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰,因峰顶巨石形似卧猫得名,它是漓江发源地,也是国家级自然保护区,生物多样性丰富,有“华南之巅”的美誉.如图,计划在猫儿山的两个山顶M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,工作人员在同一水平面选取三个观测点A,B,C,在A处测得山顶M,N的仰角分别为和,测得两个山顶的高分别为,且测得,则M,N间的距离为( ) A. 500m B. C. D. 7.已知i是虚数单位,则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.在菱形ABCD中,,点E是AB的中点,点F在线段BD上包含端点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题,共18分。 9.已知复数,a,,且,下列说法正确的是( ) A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若,则是实数 10.已知向量,则下列结论正确的是( ) A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角,则实数的取值范围是 11.已知的面积为,若,,则( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.方程在复数范围内的解为 . 13.如图,在中,D为BC边上一点,且过D点的直线EF与直线AB相交于E点,与直线AC相交于F点两点不重合若,则的最小值为 . 14.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,的平分线交AC于点D,且,则的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数,i为虚数单位. 求; 若复数z是关于x的方程的一个根,求实数m,n的值. 16.本小题15分 已知向量与的夹角为,且,,若, 当时,求实数的值; 求的最小值. 17.本小题15分 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 求B的大小; 若外接圆的半径为,的面积为,求的周长. 18.本小题17分 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 求角C的值 若,的面积为,求的周长. 若为锐角三角形,且,求的周长取值范围. 19.本小题17分 在中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知 求角A; 若D为边BC上一点不包含端点,且满足; 若,,求CD的长; 求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解:因为, 所以复数的虚部为 故选: 由复数的除法结合虚部的概念可得. 本题主要考查复数的基本运算,属于基础题. 2.【答案】C 【解析】解:,可得, ,整理可得:, ,即,或者, 的形状是等腰或直角三角形. 故选: 由已知利用余弦定理可得整理可得:,从而可求,或者,即可得解. 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了分类讨论思想,属于基础题. 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算,属于基础题. 根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出. 【解答】 解:, , 故选: 4.【答案】D 【解析】解:根据题意可知,,,根据正弦定理可知,, 根据正弦定理可知,,所以,, 又,所以,所以, 根据余弦定理知,,所以,即, 又, 所以,所以 故选: 根据正弦定理、余弦定理求解即可. 本题考查了正弦定理、余弦定理,解三角形,属于中档题. 5.【答案】A 【解析】解:因为, 则,展开得, 整理得, 由题意可得,, 即,解得 故选: 将的两边同时平方得,根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程,解方程即可. 本题主要考查了向量数量积的性质的应用,属于中档题. 6.【答案】D 【解析】解:根据题意可知,在同一水平面选取三个观测点A,B,C,在A处测得山顶M,N的仰角分别为和, 则可得, 且,在中,可得, 在中,可得, 在中,由余弦定理得: 所以 故选: 根据已知条件先求出中的两边,再利用余弦定理求MN即可. 本题考查了余弦定理,解三角形,属于中档题. 7.【答案】A 【解析】解:, 在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限. 故选: 利用虚数单位i的运算性质及复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题. 8.【答案】D 【解析】解:在菱形ABCD中,,点E是AB的中点,点F在线段BD上包含端点, 设,因为四边形ABCD是菱形, 所以, 由点E是AB的中点,得, 根据平面向量数量积公式可得, 所以 , 因为,所以的取值范围是 故选: 设,根据向量的线性运算及数量积可得,结合得到范围即可. 本题考查了平面向量数量积的运算,属于中档题. 9.【答案】AD 【解析】解:复数,a,,且, 且是纯虚数,故A正确; 不是实数,故B错误; ,当时,不是虚数,故C错误; 由,得,即, 则是实数,故D正确. 故选: 利用复数的基本概念及复数的模判断即可. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 10.【答案】AB 【解析】解:,故A选项正确; B选项,与共线的单位向量, 同向为,故B选项正确; 在上的投影向量为,故C选项错误; D选项,因, 则, 由与的夹角为锐角,可得:,解得且,故D选项错误. 故选: 对于A,利用向量的模的坐标公式计算即得;对于B,利用单位向量的定义计算可判断;对于C,利用向量投影向量的坐标公式求解判断;对于D,利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 本题考查了平面向量的数量积公式,属于中档题. 11.【答案】AD 【解析】解:对于A,由二倍角公式,, 整理可得:,故A正确; 对于BD,因,则, 从而,则, 则, , 从而,故B错误,D正确; 对于C,由A分析可得,下证, 因,则 则,, 从而,由正弦定理边角互化可得 若,则, 注意到,,则, 又三角形中至多1个钝角,则,,均为锐角, 又,正弦函数在上单调递增, 则,, 从而,这与矛盾, 故从而,,,, , 则,易得,不妨设,则, 从而,故C错误. 故选: 对于A,由二倍角公式结合题设可判断选项正误;对于BD,由C分析可得,然后由可得,,据此可判断选项正误;对于C,由A分析可得,结合余弦定理可得然后利用反证法可得,,据此可判断选项正误. 本题考查余弦定理的应用,诱导公式的应用,属于中档题. 12.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了复数集内解方程或分解因式,属于容易题. 利用求根公式以及虚数单位的定义计算,即可得到答案. 【解答】 解:由求根公式可得 故答案为: 13.【答案】4 【解析】解:在中,由, 又,所以, 所以 , 又, 所以, 又D,E,F三点共线,且A在直线外, 所以有:,且,, 所以,, 当且仅当时,等式成立, 所以的最小值为 故答案为: 先用表示,代入表达式,结合D,E,F三点共线可得,然后利用基本不等式可得答案. 本题主要考查平面向量的加减混合运算,属于中档题. 14.【答案】 【解析】解:如图,因, 则可得, 即,化简得, 因a,,则 , 当且仅当时,即时,取等号, 故的最小值为 故答案为: 根据题意,利用三角形面积相等,推得,再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 本题考查了解三角形,基本不等式,属于中档题. 15.【答案】解:因为复数, 所以; 因为复数z是关于x的方程的一个根, 所以, 可得,即, 所以,解得, 【解析】利用复数的除法运算法则可得,即可求得; 将z代入方程,利用复数相等的概念即可求得, 本题考查了复数的四则运算,共轭复数的求法,是基础题. 16.【答案】 【解析】解:已知向量与的夹角为, 且,,若, 当时,有, 即, 所以, 又, 所以, 所以; 因为, 所以, 由知,且,, 所以, 则, 故当时,最小为 由,结合向量数量积的定义及运算律即可求解; 由,平方得到,通过配方法即可求解. 本题考查了平面向量数量积的运算,属于中档题. 17.【答案】解:由余弦定理及, 可得:, 又由正弦定理,可得:, 又因为, 所以, 所以,可得 又因为, 所以 由可知,又知外接圆的半径为, 则由正弦定理可得: 又由,可得:, 根据余弦定理:, 所以, 所以, 所以的周长为 【解析】由余弦定理,正弦定理,同角三角函数基本关系式化简已知等式,结合,可求,结合范围,可求B的值. 由已知及正弦定理可得b,利用三角形的面积公式可求ac的值,根据余弦定理可求,即可得解三角形的周长. 本题主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. 18.【答案】 【解析】解:已知等式利用正弦定理化简得:, 整理得:,,,, ,又,; 由余弦定理得,, ,,,, 的周长为; 由正弦定理得,可得, , 为锐角三角形,且, 则,,,, 的周长取值范围是 由正弦定理和三角恒等变换求得以及C的值; 由三角形的面积公式和余弦定理,即可求得的周长; 利用正弦定理和三角恒等变换,结合正弦函数的性质,即可求得周长的取值范围. 本题考查了正弦定理,解三角形,属于中档题. 19.【答案】 ; 【解析】由已知及正弦定理得, 因为,所以,则, 即,即, 因为,所以; 因为,故, 由,可知, 故,,又, 所以; 由知,所以, 令,则,,, 在中,由正弦定理可得, 所以, 因为,所以,则, 所以 由已知及正弦定理得,结合三角恒等变换得,即可求得角A; 由题意求得,从而求得AD,由可得结果; 令,则,在中,由正弦定理可得,从而得,根据,得,即可求得结论. 本题考查正弦定理及三角恒等变换的应用,属中档题. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $