期末复习：空间几何体的表面积问题、空间几何体的体积问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积，以典型例题和变式题构建从基础公式到组合体、与球结合的递进训练，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体的表面积问题|8题（4例+4变式）|涵盖圆台、圆锥、半球、正棱台等表面积计算，涉及内切球、旋转体等情境|从基本几何体表面积公式推导，到组合体、挖切体表面积计算，强调空间图形转化与公式灵活应用| |空间几何体的体积问题|10题（5例+5变式）|包含圆柱与圆台、半球与圆台等组合体体积，祖暅原理应用，外接球相关体积计算|从规则几何体体积公式，到组合体、不规则几何体体积转化，注重空间关系推理与体积割补思想|

期末复习：空间几何体的表面积问题、空间几何体的体积问题专项训练 期末复习：空间几何体的表面积问题、空间几何体的体积问题专项训练 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 考点一 空间几何体的表面积问题 例1．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 例4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如下图，在直角三角形ABC中，，，将绕直角边AC旋转所得的旋转体的表面积为____________.    变式4．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 考点二 空间几何体的体积问题 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）我国古代数学家祖暅提出祖暅原理：幂势既同，则积不容异，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现将一个棱长为4的正方体内部挖掉一个圆锥，其中圆锥底面为正方体一个面的内切圆，顶点为该面相对面的中心.现有一个几何体与所得几何体夹在同一对平行平面之间，且满足祖暅原理的等截面条件，则该几何体的体积为________. 例4．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 例5．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 变式1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 变式3．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 变式4．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 变式5．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求三棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：空间几何体的表面积问题、空间几何体的体积问题专项训练 期末复习：空间几何体的表面积问题、空间几何体的体积问题专项训练 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 考点一 空间几何体的表面积问题 例1．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则母线. 所以圆台侧面积为. 例2．（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 例3．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 【答案】1 【详解】令圆锥的半径为，且母线，则侧面积，可得. 例4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 【答案】 【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 所以，设，所以， 又，所以，即， 化简得：，解得或（舍去）， 所以圆锥的表面积为：. 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    变式2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 变式3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如下图，在直角三角形ABC中，，，将绕直角边AC旋转所得的旋转体的表面积为____________.    【答案】 【详解】因为在直角三角形ABC中，，，根据勾股定理得， 将绕直角边AC旋转所得的旋转体为圆锥， 底面半径，母线 侧面积，底面积 变式4．（25-26高一下·广东广州·期中）若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【答案】 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. 考点二 空间几何体的体积问题 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出轴截面后，利用条件求出圆台与圆柱的各个长度，即可求出两个几何体的体积. 【详解】作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中， 分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以． 因为上底的直径是下底直径的倍， 所以， 解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以． 设圆台上底半径为，下底半径为，则，， 所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 例2．（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 例3．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）我国古代数学家祖暅提出祖暅原理：幂势既同，则积不容异，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现将一个棱长为4的正方体内部挖掉一个圆锥，其中圆锥底面为正方体一个面的内切圆，顶点为该面相对面的中心.现有一个几何体与所得几何体夹在同一对平行平面之间，且满足祖暅原理的等截面条件，则该几何体的体积为________. 【答案】 【详解】由题意，正方体棱长，故此正方体的体积为， 因为圆锥底面是正方形的内切圆，故半径，圆锥的高等于该正方体棱长4， 故圆锥体积. 根据祖暅原理：满足夹在平行平面间、任意截面面积相等，则体积相等， 所以所求几何体体积等于正方体与挖掉的圆锥的体积之差，即. 例4．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 【答案】 【分析】分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求. 【详解】 如图可知，过的截面为五边形，其中四边形为矩形， 为等腰三角形，，在直角中，，， 故圆锥的底面半径为，高为，其体积为. 圆柱的底面半径为，高为，其体积为. 所以几何体的体积为. 例5．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 变式1．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算得到上下底面对角线的长度，进而得到四棱台的高，最后利用棱台体积公式计算得到结果. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2， 则上下底面对角线的长度为2和4， 所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 变式2．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】C 【分析】设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为， 由题知，可得，， 所以棱台的体积. 变式3．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 变式4．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果。 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 变式5．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为是的中点． 所以，， 因为和都垂直于平面， 所以，又， 所以，， 所以四边形为平行四边形， ，平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过构造辅助线和利用平行线的性质证明线面平行；（2）由异面直线所成角的定义作出异面直线与所成的角或补角，求出角的度数；（3）先求底面积，通过线面垂直的判定得到平面，代入体积公式求解. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以即为异面直线与所成的角或补角， 是正三角形，是的中点， 所以， 异面直线与所成的角为. （3） 因为是的中点． 所以， 是正三角形，是的中点， 所以，， 因为平面，平面， 所以， ，所以平面， 因为， 所以平面，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $