期末培优：向量与几何最值问题、向量与解三角形综合问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦向量与几何最值、解三角形综合两大模块，通过精选例题与变式，强化知识综合应用与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与几何最值问题|10题（5例+5变式）|求取值范围或最值，涉及动点在矩形、半圆等图形上运动|向量模与数量积运算结合几何图形性质，体现几何直观与空间观念| |向量与解三角形综合问题|6题（3例+3变式）|多问解答题，先求角/边再结合向量求长度/参数|向量工具与正余弦定理、面积公式融合，培养运算能力与推理意识|

期末培优：向量与几何最值问题、向量与解三角形综合问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量与解三角形综合问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量与解三角形综合问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·北京·阶段检测）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论： ①的最大值为；    ②的最小值为； ③的最小值为；    ④的最大值为． 其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 例5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 变式1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 变式4．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 变式5．（2026·云南保山·二模）已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 考点二 向量与解三角形综合问题 例1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 例2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 例3．（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，角的对边分别为，已知，. (1)若，求的面积； (2)若，是线段的中点，求的长. 变式1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若是边的中点，求的长． 变式2．（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求边AC上的中线BE长； (2)在边BC上取一点D，使得，求. 变式3．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：向量与几何最值问题、向量与解三角形综合问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量与解三角形综合问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量与解三角形综合问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把条件几何化，得出，从而计算出点到直线的距离，然后对所求表达式进行化简，最后利用三点共线的结论可得的几何意义即可求解. 【详解】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得， ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为 ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 例2．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段的函数，当线段取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值. 【详解】    因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 根据平行四边形法则，所以所在直线是的角平分线， 又， 所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，， 取中点，则有， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以根据勾股定理， 根据极化恒等式，， 要使得取得最小值，即线段最小，此时， 在直角三角形中，由等面积法，得到， 所以的最小值为. 例3．（25-26高一下·河北沧州·期中）已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以单位向量为基底建立坐标系，将用夹角表示，通过向量模长公式将转化为含的三角函数，再结合，确定的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设与的夹角为，与的夹角为， 又因为，， 所以且，即与和的夹角均为锐角， 又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间， 如图所示，其中，，，则有， 则， 因为即，所以， 则，则， 即． 例4．（25-26高一下·北京·阶段检测）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论： ①的最大值为；    ②的最小值为； ③的最小值为；    ④的最大值为． 其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 【答案】②③④ 【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴的平面直角坐标系，设，然后表示出，，的坐标，得出，再逐个分析即可. 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 因，则点在以点为原点，半径为2的圆上，可设，， 则，，， 可得，则，即， 则，其中，， 因，所以的最小值为，最大值为，故①错误，③正确； 因为，， 则 ，其中，， 又因为，所以，故②④正确； 综上所述，正确命题的序号是②③④. 例5．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值. 【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 变式1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 变式3．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 变式4．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）记的外心为点O，且，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】设的三边分别为，利用三角形的外心的性质推得，根据向量数量积的运算律将待求式化成二次函数，利用其性质即可求得最小值. 【详解】 如图，设的三个内角所对的边分别为，因点是的外心， 过点分别作于，于，则. 于是，， ， 故（*）， 因即，也即， 代入（*），可得， 因，故当时，取得最小值为. 变式5．（2026·云南保山·二模）已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】的运动轨迹实际上是等边三角形内一条线段，分别令，，可得线段两端点，然后求出的取值范围． 【详解】取，，，． 由题， 因为，所以M，E，F三点共线． 在中，， 记中EF边上的高为，，解得， 即的最小值为，当与点重合时，的最大值为5， 所以． 考点二 向量与解三角形综合问题 例1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【详解】（1），， ，. . 又，. （2）周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. （3）是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 例2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理，将角C用A、B表示，然后通过三角恒等变换化简等式，进而求出角A （2）利用三角形面积公式求出边c的长度，将的面积拆分为和的面积之和，结合三角形面积公式建立关于AE的方程求解 （3）先求出，再用b和c分别表示和，最后将转化为，计算求解即可 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又因为， 所以. 因为，所以，则， 即. 由，得，解得. 又因为，所以. （2）由，，得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 因为， 所以， 所以. （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 例3．（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，角的对边分别为，已知，. (1)若，求的面积； (2)若，是线段的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式，正弦定理以及三角形面积公式求解即可； （2）利用余弦定理与向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）在中，由， 所以 ， 因为，由正弦定理，可得，则， 所以. （2）如图所示： 因为， 由余弦定理：，解得， 因为是线段的中点，所以， 所以， 即 ， 所以. 变式1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若是边的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，所以． （2）因为是边的中点，所以， 所以， 则． 变式2．（25-26高二上·重庆·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求边AC上的中线BE长； (2)在边BC上取一点D，使得，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用向量数量积的运算律可求的长. （2）先利用余弦定理求边，再利用正弦定理求，进而得到，即为. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 两边平方得：. 所以. （2）由余弦定理：， 所以. 在中，由正弦定理可得：. 又，所以为锐角，所以. 又，且为三角形内角，所以. 所以. 所以 变式3．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【详解】（1）由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． （2）由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $