期末复习：正弦定理解三角形、判定三角形解的个数、正弦定理边角互化及其应用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理三大核心应用，构建"基础求解-解的判定-综合互化"递进式训练体系，通过区域真题培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理解三角形|8题（4例+4变式）|已知两边一角/两角一边求边长角度|从基本公式应用到实际航海问题，强化数学建模| |判定三角形解的个数|5题（3例+2变式）|已知两边及对角判断解的个数|通过多选项对比，培养逻辑推理与分类讨论思维| |边角互化及应用|6题（3例+3变式）|结合面积、周长考查边角转化|从单一互化到综合最值问题，提升数学语言表达能力|

期末复习：正弦定理解三角形、判定三角形解的个数、正弦定理边角互化及其应用专项训练 期末复习：正弦定理解三角形、判定三角形解的个数、正弦定理边角互化及其应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理判定三角形解的个数 正弦定理边角互化及其应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 例2．（25-26高一下·河北石家庄·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C． D．或 例3．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）在中，已知，，，则____． 例4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则的面积为______. 变式1．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）在中，若，则角A=________． 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 考点二 正弦定理判定三角形解的个数 例1．（25-26高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 例2．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 例3．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，内角所对的边分别为．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 考点三 正弦定理边角互化及其应用 例1．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 变式1．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)已知，且的面积为，求的值． 变式2．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 变式3．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值； 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：正弦定理解三角形、判定三角形解的个数、正弦定理边角互化及其应用专项训练 期末复习：正弦定理解三角形、判定三角形解的个数、正弦定理边角互化及其应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理判定三角形解的个数 正弦定理边角互化及其应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 例2．（25-26高一下·河北石家庄·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 例3．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）在中，已知，，，则____． 【答案】 【详解】因为，又，所以， 由正弦定理可得，代入已知条件得， 所以. 例4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【分析】先利用两角和的正弦公式求出 ,再由正弦定理算出sin并结合边角大小确定,接着用三角形内角和求出,最后代入两边及夹角正弦的面积公式化简,求得三角形面积. 【详解】由正弦定理：，代入得. 而. 故. 因为，故为锐角，. . 面积 变式1．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 变式2．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理得，则. 变式3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）在中，若，则角A=________． 【答案】或 【详解】由正弦定理，得， ，，， ，解得或. 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 【答案】4 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 考点二 正弦定理判定三角形解的个数 例1．（25-26高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 例2．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 例3．（25-26高一下·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，内角所对的边分别为．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理，结合大角对大边和三角形内角和，判断三角形解的个数. 【详解】对于A，当时， ，该三角形唯一确定，A选项错误； 对于B，当时，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故可能为大于的锐角，也可能为小于 的钝角， 故此时三角形有两解，B选项正确； 对于C，，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故此时三角形无解，C选项错误； 对于D，，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故此时三角形的解唯一确定，D选项错误. 考点三 正弦定理边角互化及其应用 例1．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）通过正弦定理边化角结合三角恒等变换求角A； （2）（ⅰ）结合面积公式和余弦定理列方程组求解边长；（ⅱ）借助余弦定理和基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）由正弦定理将已知等式边化角得： ， 代入， 消去得： . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. （2）（ⅰ）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. （ⅱ）由余弦定理得，由基本不等式得： ，当且仅当时取等号， 则，故面积最大值为. 例2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若D在边上且，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. （2）由得，又，， 则由余弦定理得，即， 即， 由基本不等式得， 所以，所以， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）． 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得. （2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值． 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， ， 则，由，得，所以，则． （2）（Ⅰ）由正弦定理得，， 所以，. △ABC的周长， 由，得. 则， 所以的周长的取值范围为． （Ⅱ）由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以， 所以面积的最大值为． 变式1．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)已知，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求解. （2）利用三角形的面积公式及余弦定理列式求解. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. （2）由（1）知，由的面积为，得， 解得，由余弦定理得， 则，所以. 变式2．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. （2），. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 变式3．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后利用正弦定理求. 【详解】（1）已知，由正弦定理得，则， 由于，所以， 因为， 所以； （2）由于，所以是锐角，所以， 由，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $