期末培优：线性回归、非线性回归复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末培优：线性回归、非线性回归复习讲义 期末培优：线性回归、非线性回归复习讲义 考点目录 线性回归 非线性回归 考点一 线性回归 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 回归直线方程： 1. 关键性质：回归直线必过样本中心点。 1. 相关系数： 线性相关性越强；正相关；负相关。 解题思路 1. 先算； 1. 代入公式求，再求； 1. 得到方程后代入自变量做预测。 【例题分析】 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）随机变量与之间具有相关关系，在一次实验中得到如下表数据： 1 3 5 7 9 4 6 10 其中且，，.参考公式： (1)求的值; (2)求关于的回归直线方程. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据和列出关于的方程组，求解出即可. （2）先根据公式求解出，再根据求解出，然后写出经验回归方程. 【详解】（1），①， 又，②， 联立①②解得. （2） . . 关于的回归直线方程为 例2．（2026·浙江·二模）近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 (1)求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； (2)从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； (3)销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 【答案】(1)极差为174，第75百分位数为418； (2) (3) ，522.87千辆或，千辆 【分析】（1）利用极差公式与总体百分位数的估计求解即可. （2）利用组合数的性质与古典概型概率公式得到与，再结合条件概率公式求解即可. （3）利用最小二乘法求解回归方程，再进行估计即可. 【详解】（1）由题意得极差为， 而，向上取整可得第75百分位数为418. （2）设事件表示：其中一个数据不小于400（千辆）， 事件表示：另一个数据不小于400（千辆）， 则， （3）由题意得 ， 法一：可得， ， 则关于的经验回归方程为 ， 将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为522.87千辆. 法二：可得， 此时， 此时回归方程为，将代入回归方程，得到 ， 故预测第8年新能源车的年销量为千辆. 例3．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 (1)求关于的经验回归方程； (2)已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1) (2)该对数据不正常． 【分析】（1）代入公式，计算出，，即可得到线性回归方程； （2）代入公式求出残差范围，结合线性回归方程求解判断即可. 【详解】（1）由题表得，，     所以， 则，     所以关于的经验回归方程为．     （2）由（1）得时，；时，； 时，；时，；时，．     所以， ，     所以为． 因为时，， 所以， 所以该对数据不正常． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南湘西·三模）党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 (1)求关于的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】(1)，13 (2) 0 1 2 ． 【分析】（1）由公式求解，，在将代入即可. （2）由题意可得，列出分布列，即可求解. 【详解】（1）由表格中的数据可得，所以 ． 故． 故关于的线性回归方程为． 当时，， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13． （2）由题意可得， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以． 变式2．（25-26高二下·河北沧州·期中）新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第x轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量y（个/像素） 67 57 50 42 34 并计算得：． (1)计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）； (2)若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，． 【答案】(1) (2)，8 【详解】（1）由题可得：， ， 样本相关系数； （2）噪声残留量y的取值为67，57，50，42，34， 所以， 根据题意可得， 所以y关于x的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于10个/像素，则， 即，所以该AI模型至少需要迭代8轮才可以完成降噪． 变式3．（25-26高二下·河南南阳·期中）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2025年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额y/万元 350 440 580 700 880 (1)求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年7月份该公司的直播带货金额； (2)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 35 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考数据：，，，． 参考公式：，； ，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，1118万元 (2)列联表见解析，有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关 【分析】（1）由系数公式直接计算即可求解； （2）由计算公式，再比较临界值即可求解. 【详解】（1）因为，， ，， 所以，， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，（万元）， 所以预测2025年7月份该公司的直播带货金额为1118万元； （2）补全完整的列联表如下： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 5 35 男性 10 10 20 总计 40 15 55 根据以上数据，经计算得到． 因为，所以有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关． 考点二 非线性回归 【知识点解析】 一、核心知识点 不能直接用直线，换元转化为线性回归。 常见变换： 1. ，令； 2. ，令； 3. ，令。 解题思路 1. 观察函数类型，变量替换，化成； 1. 按线性回归算出； 1. 换回原变量，写出非线性回归方程。 【例题分析】 例1．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 例2．（2026·广东·模拟预测）某应用平台为了优化成本，统计了其模型推理任务中，单批请求量（单位：千次）与单请求平均算力成本（单位：元/次）之间的关系，对近10组任务数据进行了统计分析，得到如下散点图： (1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)利用（1）中的结果回答问题：已知该平台的单批推理总收入预报值为（单位：千元），当单批请求量为何值时，平台单批推理的总收入预报值最大?（总收入预报值=单批请求量单请求平均算力成本） 参考公式及部分参考数据： ①对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． ②参考数据： 22.725 5.5 2.25 7655.2 20.625 注：表中， 【答案】(1)更适宜， (2)月销售量(千次)时，平台单批推理的总收入预报值最大 【分析】（1）结合图形可知更适宜，令，根据最小二乘法结合题中数据计算求解即可； （2）由题意可得 ，求导，根据导数计算可得最大值. 【详解】（1）根据散点图判断更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型． 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为 ，因此关于的回归方程为 ． （2）依题意得： ，． 令，即 ，解得 ，所以， 当时 ，，在上单调递增， 当 时，，在上单调递减， 故当，即单批请求量 (千次)时，平台单批推理的总收入预报值最大． 例3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.    (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 【答案】(1)更适宜作为回归模型. (2)（i）；（ii）会报警提示，理由见解析 【分析】（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合. （2）（i）两边取对数得，进而利用最小二乘法可求得回归方程；（ii）代入，计算可得结论. 【详解】（1）函数是均匀变化的，图象是一条直线， 函数的图象是一条曲线，选择恰当的可使更好拟合散点图. 所以更适宜作为回归模型. （2）（i）两边取对数得， 由于，故， ， 即，故， （ii）会报警提示，理由如下： 中，令得， 故会报警提示 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某生物学家研究酶促反应，测得不同底物浓度[S]（单位：mmol/L）下的反应速率（单位：），共8组数据，已知该反应遵循Michaelis-Menten动力学模型：，其中为最大反应速率，为米氏常数，实验数据经过整理得到如下统计量：，，， (1)请参照利用最小二乘法估计经验回归直线方程中估计斜率参数和截距参数的方法，结合上面的数据，求和的估计值； 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (2)在酶动力学实验中，为验证米氏常数的可靠性，研究者从一批共12个底物样品中随机抽取4个样品进行检测．已知这批样品中恰好有M个“高活性样品”（M为整数，且），从这12个样品中随机抽取4个，记事件“恰好抽到2个高活性样品”的概率为，求取最大值时的M值； (3)在实际生产中，每单位反应速率可创造利润2万元，而每单位底物浓度的成本为0.5万元，求使得净利润最大的底物浓度． 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】（1）将动力学模型取倒数，转化为线性回归问题，利用公式求线性回归方程，可求求和的估计值. （2）列出，代入的可能取值，进行验证可得. （3）列出利润与底物浓度的函数关系，求导，分析函数的单调性，即可得使得净利润最大的底物浓度. 【详解】（1）因为，两边取倒数，可得. 令，，则模型转化为，其中，. 且，． 由． 由． （2）．要使最大，只需分子最大． ． 或者利用对称性，函数关于对称． 考察： 所以当时，取最大值． （3）设净利润为W． 令，则． 求导： 令，得． . 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 故使得净利润最大的底物浓度为． 变式2．（25-26高二下·福建福州·月考）经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表． 360 54.5 1360 44 384 — 3 588 32 6430 — 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及均值． 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)适合， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而运用期望公式可求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令，则， 则， 所以，所以y关于x的回归方程为． （2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的所有可能取值为0，1，2， 设事件“所取两个鱼卵来自第i批”， 所以， 设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”，由全概率公式 ， ， ． 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 P 所以． 所以取出“死卵”个数的均值为． 变式3．（24-25高三下·浙江宁波·阶段检测）某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【答案】(1) (2)10月 【分析】（1）对两边同时取自然对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得经验回归方程； （2）根据回归方程代入计算求解. 【详解】（1）令，则， ， ， 故. （2）令， 故， 故10月开始超过. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：线性回归、非线性回归复习讲义 期末培优：线性回归、非线性回归复习讲义 考点目录 线性回归 非线性回归 考点一 线性回归 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 回归直线方程： 1. 关键性质：回归直线必过样本中心点。 1. 相关系数： 线性相关性越强；正相关；负相关。 解题思路 1. 先算； 1. 代入公式求，再求； 1. 得到方程后代入自变量做预测。 【例题分析】 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）随机变量与之间具有相关关系，在一次实验中得到如下表数据： 1 3 5 7 9 4 6 10 其中且，，.参考公式： (1)求的值; (2)求关于的回归直线方程. 例2．（2026·浙江·二模）近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续6年的年度销售数据，设年份编码为（第1年､第2年……第6年），年度总销量为（单位：千辆），对应数据如下： 年份编码 1 2 3 4 5 6 销售量 276 312 354 386 418 450 (1)求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； (2)从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个数据也不小于400（千辆）的概率； (3)销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第8年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位）. 参考公式及数据： （1）（2）. 例3．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 (1)求关于的经验回归方程； (2)已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南湘西·三模）党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 (1)求关于的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 变式2．（25-26高二下·河北沧州·期中）新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第x轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量y（个/像素） 67 57 50 42 34 并计算得：． (1)计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）； (2)若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，． 变式3．（25-26高二下·河南南阳·期中）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2025年前5个月的带货金额： 月份x 1 2 3 4 5 带货金额y/万元 350 440 580 700 880 (1)求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年7月份该公司的直播带货金额； (2)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 女性 30 35 男性 10 总计 请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？ 参考数据：，，，． 参考公式：，； ，其中． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 考点二 非线性回归 【知识点解析】 一、核心知识点 不能直接用直线，换元转化为线性回归。 常见变换： 1. ，令； 2. ，令； 3. ，令。 解题思路 1. 观察函数类型，变量替换，化成； 1. 按线性回归算出； 1. 换回原变量，写出非线性回归方程。 【例题分析】 例1．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 例2．（2026·广东·模拟预测）某应用平台为了优化成本，统计了其模型推理任务中，单批请求量（单位：千次）与单请求平均算力成本（单位：元/次）之间的关系，对近10组任务数据进行了统计分析，得到如下散点图： (1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为单批请求量关于单请求平均算力成本的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)利用（1）中的结果回答问题：已知该平台的单批推理总收入预报值为（单位：千元），当单批请求量为何值时，平台单批推理的总收入预报值最大?（总收入预报值=单批请求量单请求平均算力成本） 参考公式及部分参考数据： ①对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． ②参考数据： 22.725 5.5 2.25 7655.2 20.625 注：表中， 例3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量（库仑）与使用时间（小时）的散点图，其中为正整数.    (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ii）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由. 参考公式：.参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 -4.25 45.07 3.42 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某生物学家研究酶促反应，测得不同底物浓度[S]（单位：mmol/L）下的反应速率（单位：），共8组数据，已知该反应遵循Michaelis-Menten动力学模型：，其中为最大反应速率，为米氏常数，实验数据经过整理得到如下统计量：，，， (1)请参照利用最小二乘法估计经验回归直线方程中估计斜率参数和截距参数的方法，结合上面的数据，求和的估计值； 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (2)在酶动力学实验中，为验证米氏常数的可靠性，研究者从一批共12个底物样品中随机抽取4个样品进行检测．已知这批样品中恰好有M个“高活性样品”（M为整数，且），从这12个样品中随机抽取4个，记事件“恰好抽到2个高活性样品”的概率为，求取最大值时的M值； (3)在实际生产中，每单位反应速率可创造利润2万元，而每单位底物浓度的成本为0.5万元，求使得净利润最大的底物浓度． 变式2．（25-26高二下·福建福州·月考）经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表． 360 54.5 1360 44 384 — 3 588 32 6430 — 表中． (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型并求出y关于x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及均值． 附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 变式3．（24-25高三下·浙江宁波·阶段检测）某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 (1)用模拟与的关系，求出回归方程； (2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $