期末培优：矩形中的折叠问题、正方形中的折叠问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形与正方形折叠问题，通过分层例题与变式训练，系统培养几何直观与推理能力，强化中考高频考点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形中的折叠问题|3例+3变式|含基础计算、动点折叠、最值探究，涉及折叠后点位置与线段关系|从静态折叠到动态探究，渗透方程思想，衔接矩形性质与轴对称| |正方形中的折叠问题|3例+3变式|涵盖新定义结合、翻折路径、面积最值，融合全等与勾股定理|在矩形基础上深化，突出正方形特殊性，强化空间观念与推理意识|

期末培优：矩形中的折叠问题、正方形中的折叠问题专项训练 期末培优：矩形中的折叠问题、正方形中的折叠问题专项训练 考点目录 矩形中的折叠问题 正方形中的折叠问题 考点一 矩形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 例2．（25-26八年级下·河北邢台·月考）某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕与、分别交于点D、E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将矩形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在矩形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 例3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． (1)【操作】 如图，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接，． ①的长为 ； ②求的度数； (2)如图，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； (3)【应用】 沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 变式1．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 变式2．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 考点二 正方形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 例3．（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点 ，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． 【数学思考】 (1)如图①，当点落在折痕上时，延长交于点，猜想与的数量关系为_______； 【灵活应用】 (2)小明在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为时，（如图②），过点作于点，请求出的长． 【拓展延伸】 (3)如图③爱思考的小欧又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮小欧进行证明． 变式2．（25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 变式3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：矩形中的折叠问题、正方形中的折叠问题专项训练 期末培优：矩形中的折叠问题、正方形中的折叠问题专项训练 考点目录 矩形中的折叠问题 正方形中的折叠问题 考点一 矩形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查勾股定理相关的翻折问题．先根据翻折，得到．在中，运用勾股定理，求出，从而求得，设，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵和关于对称， ∴． ∴，． ∵矩形，，， ∴，． 在中， 由勾股定理，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 例2．（25-26八年级下·河北邢台·月考）某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕与、分别交于点D、E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将矩形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在矩形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1)的长为24 (2)的长为6 (3)的长为5或20 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由矩形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在矩形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在矩形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）∵四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为6； （3）∵四边形是矩形， ，， 设线段的垂直平分线交于点M，交于点N，则， 分两种情况：①如图1，当点F在矩形内部时． ∵点F在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即的长为5； ②如图2，当点F在矩形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即的长为20； 综上所述，点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 例3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． (1)【操作】 如图，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接，． ①的长为 ； ②求的度数； (2)如图，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； (3)【应用】 沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【答案】(1)①8；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：垂直平分，可证明为等边三角形，即可解答； （2）先以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，再作的平分线，即可求解； （3）根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，，可得点在以B为圆心，长为半径的圆上，连接，，点D， ，B三点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠的性质得：； ②由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴点在以B为圆心，长为半径的圆上， 如图，连接，， ∴点D， ，B三点共线时，最小，此时， 在中，， ∴， 解得：． 变式1．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 变式2．（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 变式3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 考点二 正方形中的折叠问题 例1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据，结合角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点作，交于，利用勾股定理可求出，由（1）可得，根据，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，证明，得出，根据轴对称的性质得出点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于， ∵边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中， ∴，，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴． 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②利用“神奇四边形”的性质求得，由勾股定理求得，据此计算即可得出结论； （3）延长交于点，由翻折的性质可知，，，，，由勾股定理求得，，设，则，再由勾股定理计算即可解决问题． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直平分； 正方形的对角线互相垂直平分且相等； 正方形一定是“神奇四边形”； 故答案为：④； （2）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ∴， ∴， ∵正方形边长为7， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， ∵， ∴由翻折的性质可知，，，，， 又∵正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； （2）证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 变式1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点 ，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． 【数学思考】 (1)如图①，当点落在折痕上时，延长交于点，猜想与的数量关系为_______； 【灵活应用】 (2)小明在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为时，（如图②），过点作于点，请求出的长． 【拓展延伸】 (3)如图③爱思考的小欧又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮小欧进行证明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，证明，即可证明结论； （2）连接，设，则，根据勾股定理计算即可． （3）连接，证明得出，，进而证明四边形是平行四边形，得出，根据为的中垂线，得出，进而证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1），理由如下： 连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图，连接， 由折叠可知，，则， 又∵， ∴， ∴，， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵为的中垂线， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 变式2．（25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 变式3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)或 (4)的最小值为，此时线段的长为 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $